浅谈初中数学观点下的“相等”与“不等”关系

新人教版八年级上《数学》教科书第十二章《轴对称》有一个"实验与探究"材料《三角形中边与角之间的不等关系》,它是在学习了三角形中"等边对等角"和"等角对等边"性质后提出来的反思:如果三角形的边(角)不相等,那么它们所对的角(边)的大小关系怎样?大边所对的角也大吗?     

等腰三角形的综合研究(上)

<正>(一)基础知识提要有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.其中相等的两条边叫做腰,第三边叫做底边.底边对的角叫做顶角,其余两个角叫做底角.一、等腰三角形的基本定理定理1等腰三角形的两个底角相等,两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称为,三角形中等边对等角,等角对等边).定理2等腰三角形顶角的平分线也是底边上的中线、高线和垂直平分线.即等腰三角形的内心、重心、垂心和外心在一条直线上,     

旋转与四点共圆

<正>贵刊2017年8月下,刊发了《例谈旋转角的确定及其在解题中的应用》,我读后收获良多,进一步思考:由旋转角相等带来等角的条件证明四点共圆,借助圆可便捷地导角,更灵活地解几何综合题.现与同学们分享如下.1旋转共顶点相似三角形与等角在初二学习全等三角形时,我们遇到这样的题目:共顶点的等边三角形可证得全等三角形(如图1);将条件弱化,共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形(即相似的两个等腰三角形),仍可得全等三角形(如图2);将条件再一般化,共顶点的相似三角形,仍可得相似三角形(如图3).至此,三个图可化归为图3.在初三学习旋转后,从动态角度看,     

关于解斜三角形的补充说明

用正弦定理解斜三角形 ,即已知两边和其中一边的对角 ,可有两解 ,一解或无解 ,这是本节的难点 .在实际解题中 ,如何判断解的情况呢 ?现将笔者归纳的一种可行的方法介绍如下 .类型 1　根据三角形边角关系及三角形内角和定理 ,可直接判断无解或只有一解的 .1)若已知条件与三角形边角关系及三角形内角和定理有矛盾 ,可直接判断无解 .例 1　已知三角形的边ａ =18,ｂ =2 0 ,角Ａ =15 0° ,解此三角形 .解　∵Ａ为钝角 ,∴ａ应是最大边 ,但这里ｂ>ａ ,矛盾 ,故无解 .2 )若可判断另一边所对的角等于已知锐角 ,或小于已知角 ,则此角为锐角 ,且只有一…     

再谈用60°角构造等边三角形解题

2010年5期《中学生数学》刊发了笔者文章《用60°角构造等边三角形解题》,同年全国初中数学联赛一道选择题的条件中有两个角是60°.本文以该赛题为例,通过选择不同的边结合题中的60°角,构造等边三角形解题.     

一道课外练习题的简解与挖掘

<正>《中学生数学》(初中刊)2014年第8期刊登的《课外练习及参考答案》栏目初三年级的第1题及参考答案为:已知:如图1,正方形ABCD的边长为2,从各边往外作等边三角形ABE、BCF、CDG、DAH,求四边形AFGD的面积.参考答案解如图2,连接DF,并过点F作FM⊥BC于点M,延长FM交AD于点N,△BCF是等边三角形,且其边长为2,     

三角形形状判断的三大策略

正确理解三角形的六要素间的关系和熟练运用三角形的正、余定理,才能迅速判断三角形的形状.一般有两种思路:其一是化边为角,求出三个角之间的关系式;其二是化角为边,求出三条边之间的关系式.实施转化的主     

此类问题亦可用余弦定理来解

新编教材数学第一册 (下 ) (Ｐ1 2 8) ,在总结正弦定理的应用时指出 :已知三角形两边和其中一边的对角 ,求解三角形其余元素时 ,可利用正弦定理 .而在 (Ｐ1 30 )总结余弦定理的应用时指出 ,利用余弦定理 ,可以解决以下两类有关三角形的问题 :(1)已知三边 ,求三个角 ;(2 )已知两边和它们的夹角 ,求第三边和其它两个角 .在这里给学生造成了一种错觉 ,似乎已知三角形两边和其中一边的对角 ,求解三角形其余元素这类问题 ,只能用正弦定理来解 ,从而忽视了此类问题亦可用余弦定理来解 ,甚至可能用余弦定理来解反而比用正弦定理来解更方便、更简单 …     

等腰三角形与等边三角形

<正>我们在学习了全等三角形和对称知识的基础上,进一步学习了等腰三角形的概念、性质及其判定定理,我们知道等边三角形是特殊的等腰三角形,等边三角形的性质与判定可以根据等腰三角形的性质与判定类比得出.先将等腰三角形与等边三角形的基础知识进行简单的梳理:等腰三角形定义:有两边相等的三角形.性质1等腰三角形的两个底角相等(简写成"等边对等角").     

相似三角形解题中的常见错误分析

在《相似三角形》这一章中 ,同学们往往对概念不清或考虑不周而出现解题错误 .两个三角形一旦用“∽”表示出来 ,就明确了边、角的对应关系 ;而只说两个三角形相似 ,并没有用符号表示出来 ,就可能存在边角对应的不唯一性 .下面就学习中常见的解题错误举例剖析如下 .例 1　要做两个形状相同的三角形框架 ,其中一个三角形框架的三边分别为 4,5 ,6.另一个三角形框架的一边为 2 ,怎样选料可使这两个三角形相似 ?【错解】设另一个三角形框架的三边分别为 2 ,x ,y ;由题意得2∶4=x∶5 =y∶6.得x=52 ,y =3 .【剖析】题目中只要求两个三角形相似 ,而…     

聚焦竞赛中的等边三角形

等边(正)三角形以其独有的三边相等,三个内角都等于60°的性质而受到各类竞赛的青睐,除此之外,等边三角形还具有一些其它的特殊性质:三线合一将等边三角形分成含有30°角的直角三角形;重心、外心、内心、垂心四心合一;等边三角形内任一点到三边的距离之和等于重心到三边的距离之和也等     

竞赛中的解三角形问题

解三角形问题,主要是处理三角形中的边、角关系.即通过已知的边角关系,确定三角形中未知量和未知关系.数学竞赛中的解三角形问题,常涉及以下知识点.设△ABC的三个角为A,B,C,它们对应的边分别为a,b,c,△ABC的外接圆的半径为R,△ABC的面积为S.1)正弦定理:sinaA=sinbB=sinCC=2R;2)     

探究学习的有效铺垫

1 引言探究学习是学生学习数学的重要方式,它需要教师通过合适引导进行有效的铺垫.下面试通过几个教学片断的案例及分析说明如何对探究学习进行有效铺垫.2教学片断实录与点评2.1 等边三角形探究学习中的类比铺垫师:我们在研究等腰三角形时先研究了什么?生1:首先学习了等腰三角形的概念.师:然后接下来我们研究什么?生2:同一三角形中等边对等角,等角对等边师:等腰三角形还有哪些重要性质?生3:等腰三角形的三线合一,师:是哪三线合一?生3:等腰三角形的角平分线、中线、高线.师:是等腰三角形中的任意三线(前面不带条件)都可以吗?     

如何证明线段相等

在平面几何中 ,证明两条线段相等是一种最常见的题型 .常用的证明方法有 :利用三角形全等、利用等角对等边、利用特殊四边形 (如平行四边形、等腰梯形等 )的有关性质、利用平行线等分线段定理、利用比例线段等等 .本文仅谈谈如何利用三角形全等和等角对等边证明线段相等的问题 ,供参考 .(一 )利用三角形全等利用三角形全等是证明两条线段相等最常用的手段 .当要证明两条线段相等时 ,可以证明它们所在的三角形全等 .证明三角形全等最主要的方法有SAS、ASA、SSS以及HL .例 1　如图 ,已知AC⊥BD于C ,AC =BC ,BE⊥AD于E ,BE交AC于F …     

构造全等三角形解题举例

<正>本文介绍用构造全等三角形的"方法"解决与图形有关的计算、求值、判断推理等问题.一、构造全等三角形"证明等边等角".例1如图1,在△ABC中,∠B=2∠C,BC=2AB,AD为中线.求证:△ABD是等边三角形.分析与思考如图1,作∠ABC的平分线BE,连接DE.因为∠B=2∠C,于是∠EBD=∠C.由"等角对等边"得知BE=CE.但AD为中线,所以BD=CD.所以在△BDE与△CDE中,BE=CE,BD=CD,ED=ED,所以△BDE≌△CDE.这样∠BDE=∠CDE=90°.在△BAE与△BDE     

用几何画板来演示一道课本例题

现行上海高一年级第二学期数学课本第六章第十节余弦定理中有一道例题:在△ABC中,已知c=21,b=19,B=60&;#176;,求a.这个问题就是解三角形中的已知三角形的两边与其中一边的对角求第三边的类型.这种类型的解三角形问题既可使用正弦定理又可使用余弦定理来解.由于在边、边、角对应相等的情形下不能断定两个三角形全等,所以解的情况会多种多样.使用正弦定理来解时需按一定的关系来判断解的取舍.……     

正则点、等力点及其他

1　近三年来关于三角形“正则点”的研究自 1 999年文 [1 ]提出三角形“正则点”概念后 ,近三年来围绕“正则点”的文章不断涌现 (见文 [2 ]～ [9]) ,形成了一个小小的热潮 .三角形所在平面内关于其三边的对称点构成正三角形的点称为三角形的“正则点”.关于三角形的“正则点”的主要结果有 :( 1 )正则点的分布1正三角形只有一个正则点 ,即其中心 ;2最大角小于 1 2 0°的非等边三角形 ,内部外部各有一个正则点 ;3最大角等于 1 2 0°的三角形 ,在外部及最长边上各有一个正则点 ;4最大角大于 1 2 0°的三角形 ,其两个正则点都在三角形的外部 .…     

等力点等角中心布洛卡点及外心垂心之间的度量关系

由文献[1]知,非等边三角形都有一对等力点--正、负等力点;一对等角中心--正、负等角中心;一对布洛卡点--正、负Brocard点;一个外心和一个垂心(这两个"心"互为等角共轭).本文将揭示它们的重要特征量之间的深刻联系.     

等边三角形性质在证几何题中的应用

等边三角形具有下述基本性质:1.三边相等,2.三内角都等于60’,3.三条高(也是中线)相等且等于江。;4.面积为它了。2。(。表边 艺4长)。 这些性质在平面几何、立体几何的求解与证明中经常用到。当证明角相等,线段相等时,灵活运用它,容易打开思路,便于找出规律。在解决极值间题时,使用旋转的方法很有效。然而旋转60。,实质就是作一个辅助等边三角形,使思考过程由繁变简,由难变易,效果很好,在有关曲边形计算问题中,若把复杂图形视作某些基本图形的组合体,等边三角形常常是重要的奠基石,分解组合后,问题便由隐变显了,思路豁然开朗。因此,等边三角…     

关于两角相等问题的证明

在几何中 ,证明两角相等是我们经常遇见的问题之一 ,它所涉及的知识内容十分广泛 ,是平面几何中一项重要的基本技能 ,因而成为中考的一个热点问题 .解决此类问题的依据很多 ,本文拟给予归类说明 ,供读者参考 ,愿能对读者有所启迪 .一、利用三角形中“等边对等角”来证 .当所要证相等的两个角是一三角形中的角时 ,我们优先考虑的是能否利用“等边对等角”来证 .例 1　已知 :如图 1 ,在四边形ABCD中 ,AD =BC ,P ,M ,N分别为AB ,AC ,BD的中点 .求证 :∠PMN =∠PNM .分析 :欲证∠PMN =∠PNM ,观察图形 ,可以发现∠PMN和∠PNM都是△PMN的内角 ,因此 ,只要证出它们所对的边相等 ,即PN =PM ,然后利用“在同一三角形中 ,等边对等角”即可推出结论 .证明 :∵P ,M ,N分别为AB ,AC ,BD的中点 ,∴PN =12 AD ,　PM =12 BC .又∵AD =BC ,∴PN =PM .∴∠PMN =∠PNM .二、利用“全等三角形的对应角相等” ,或“相似三角形的对应角相等”来证 .当所要证相等的两个角分别是两个三角形的内角时 ,我们首先考虑的是能否...