数学问题解答

20 0 1年 8月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 2 6　设ｍ >0 ,ｎ >0 ,α∈ (0 ,π2 ) ,求证 :ｍｓｅｃα ｎｃｓｃα≥ (ｍ23 ｎ23) 32 .(江苏省灌云县中学　朱兆和　 2 2 2 2 0 0 )证明　设点Ｐ的坐标为 (ｍ ,ｎ) ,直线ｌ过点Ｐ ,倾角为π-α ,ｌ与ｘ、ｙ轴的正半轴分别交于点Ａ、Ｂ(如图 ) .则 ｜ＰＡ｜ =ｎｓｉｎα,｜ＰＢ｜ =ｍｃｏｓα则 ｜ＡＢ｜ =｜ＰＡ｜ ｜ＰＢ｜=ｍｓｅｃα ｎｃｓｃα .又设Ａ(ａ ,0 ) ,Ｂ(0 ,ｂ) ,则直线ｌ的方程为 ｘａ ｙｂ =1 ,ｌ过Ｐ(ｍ ,ｎ) ,所以 ｍａ ｎｂ =1 .｜ＡＢ｜2 =ａ2 ｂ2 =(ａ2 ｂ2…     

反三角函数和三角方程

选择题1　下列各等式成立的是 (　　 )(Ａ)ａｒｃｓｉｎ π3=32 .(Ｂ)ｃｏｓ(ａｒｃｃｏｓ π3) =π3.(Ｃ)ｔｇ(ａｒｃｔｇ 3) =3.(Ｄ)ｓｉｎ(ａｒｃｃｏｓ12 ) =12 .2　下列命题不正确的是 (　　 )(Ａ)函数 ｙ =ａｒｃｃｏｓｘ - π2 是奇函数 .(Ｂ)当ｘ∈ ( 22 ,1)时 ,ａｒｃｓｉｎｘ >ａｒｃｃｏｓｘ .(Ｃ)ｔｇ(ａｒｃｃｏｓ0 ) =0 .(Ｄ)当ｘ∈ ( -∞ ,0 )时 ,ａｒｃｃｔｇｘ >ａｒｃｔｇｘ .3　若 π4 <α <5π4 ,则ａｒｃｓｉｎ[22 (ｓｉｎα ｃｏｓα) ]的值为(　　 )(Ａ) π4 -α .　　 (Ｂ)α - π4 .(Ｃ)α - 3π4 . (Ｄ) 3π4 -…     

高一数学同步测试题

三角函数的图象与性质　　选择题1　若α为第一象限角 ,那么ｓｉｎ2α ,ｃｏｓ2α ,ｓｉｎ α2 ,ｃｏｓ α2 中必定取正值的有 (　　 )(Ａ) 0个 .　 (Ｂ) 1个 .　 (Ｃ) 2个 .　 (Ｄ) 3个 .2　已知1 ｓｉｎｘｃｏｓｘ =- 12 ,则 ｃｏｓｘｓｉｎｘ - 1的值是 (　　 )(Ａ) 12 .(Ｂ) - 12 .　 (Ｃ) 2 .(Ｄ) - 2 .3　已知ｓｉｎαｃｏｓα =18且 π4 <α <π2 ,则ｃｏｓα -ｓｉｎα的值等于 (　　 )(Ａ) 32 .(Ｂ) 34.(Ｃ) - 32 .(Ｄ)± 32 .4　下列函数中 ,在 (0 ,π2 )上为增函数 ,且以π为周期的奇函数是 (　　 )(Ａ) ｙ =ｓｉｎｘ .(Ｂ) ｙ =…     

名校基础知识自测

高一年级北京师范大学二附中 (10 0 0 88)　汪燕铭一、选择题1.若ｃｏｔα =125 ,则有 (　　 ) .(Ａ)ｓｉｎα =513 　　　　 (Ｂ)ｓｅｃα >ｔａｎα(Ｃ)ｃｏｓα =±1213 (Ｄ)ｔａｎα =± 5122 .若ｔａｎ10°·ｃｏｔ10° + 1-ｓｉｎ2 α·ｃｏｓα +1-ｃｏｓ2 α·ｓｉｎα =0 ,则 (　　 ) .(Ａ)α =10°(Ｂ)α =ｋ·3 60°+ 10°(ｋ∈Ｚ)(Ｃ)α为任意角　　 (Ｄ)α是第三象限角3 .若α∈ (-π ,-π2 ) ,则 1-2ｓｉｎ α2 ·ｃｏｓ α2化简的结果是 (　　 ) .(Ａ)ｓｉｎ α2 -ｃｏｓ α2 (Ｂ)ｃｏｓ α2 -ｓｉｎ α2(Ｃ)± (ｓｉｎ α2 …     

HAMILTON-JACOBI-BELLMAN方程的混合元方法

0　引　　言考虑下列随机微分方程 :ｄＸｔｄｔ =σ(Ｘｔ,αｔ) ζｔ+ｂ(Ｘｔ,αｔ)　ｔ≥ 0 ( 1 .1ａ)　　　　Ｘ0 =ｘ ∈ＲＮ ( 1 .1ｂ)　　此处 ,σ和ｂ分别是定义在ＲＮ×Ａ上的矩阵值和向量值函数 ,Ａ是给定的可分空间 ,αｔ值位于Ａ中的随机过程 更严格地 ,方程 ( 1 .1ａ)可写成下列形式 :Ｘｔ =ｘ + ∫ｔ0 σ(Ｘｓ,αｓ)ｄＢｓ+ ∫ｔ0 ｂ(Ｘｓ,αｓ)ｄｓ　ｔ≥ 0 ( 1 .2 )此外 ,Ｂｔ 是ｍ 维Ｂｒｏｗｎ运动 ,使得 :Ｅ(Ｂｔ) =0 ,Ｅ(Ｂ2 ｔ) =ｔ;∫ｔ0 σ(Ｘｓ,αｓ)ｄＢｓ 是随机积分 我们知道 ,σ ,ｂ若足够光滑 ,则保证了对每一…     

一个反三角恒等式的应用

在反三角函数中,有一个重要的恒等式:ａｒｃｓｉｎｘ ａｒｃｃｏｓｘ=π2,其中ｘ∈[-1,1].本文例举这一恒等式的应用.1　求值例1　(1996年全国高考题)若0<α<π2,则ａｒｃｓｉｎ[ｃｏｓ(π2 α)] ａｒｃｃｏｓ[ｓｉｎ(π α)]等于(　　)(Ａ)π2.　　　　　　(Ｂ)-π2.(Ｃ)π2-2α.　　　　(Ｄ)-π2-2α.解法1　原式=ａｒｃｓｉｎ(-ｓｉｎα) ａｒｃｃｏｓ(-ｓｉｎα)=π2.故选(Ａ).解法2　原式=ａｒｃｓｉｎ(-ｓｉｎα) π2-ａｒｃｓｉｎ[ｓｉｎ(π α)]=ａｒｃｓｉｎ(-ｓｉｎα) π2-ａｒｃｓｉｎ(-ｓｉｎα)=π2.故选(Ａ).2　解反三角不等…     

正,余弦函数单调区间的快速求法

在求函数 ｙ =Ａ·ｓｉｎ(ωｘ φ)及 ｙ =Ａ·ｃｏｓ(ωｘ φ)的单调区间时 ,学生往往容易出错 ,特别是在ω <0的情况下 ,尤为突出 .本文介绍一种既保险又快捷的求法 ,解法分三步 .第一步 :求出函数的最小正周期Ｔ =2π|ω|;第二步 :寻找一个ｘ0 ,使ｘ =ｘ0 时 ,ｙ值最大 ;图 1　ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ)示意图第三步 :写出函数的单调增区间[ｋＴ ｘ0 -Ｔ2 ,ｋｔ ｘ0 ] ,ｋ∈Ｎ ;单调减区间 [ｋＴ ｘ0 ,ｋＴ ｘ0 Ｔ2 ] ,ｋ∈Ｎ .以上解法 ,请同学们结合图 1就不难理解了 ,关于ｘ0 的求法 ,只须根据Ａ的符号及函数名称 ,令ωｘ φ =…     

一道竞赛题的三角简证及空间推广

1999年全国高中数学联赛加试第一题 :在四边形ＡＢＣＤ中 ,对角线ＡＣ平分∠ＢＡＤ ,在ＣＤ上取一点Ｅ ,ＢＥ与ＡＣ交于Ｆ ,延长ＤＦ交ＢＣ于Ｇ .求证 :∠ＧＡＣ =∠ＥＡＣ .证明　如图 1,连接ＢＤ交ＡＣ于Ｏ点 ,在△ＢＣＤ中运用塞瓦定理ＢＧＧＣ&;#183;ＣＥＥＤ&;#183;ＤＯＯＢ =1,∴ ＯＢＤＯ =ＢＧＧＣ&;#183;ＣＥＥＤ.又∵　ＡＯ是△ＡＢＤ中∠Ａ的平分线 ,∴　 ＡＢＡＤ =ＢＯＤＯ =ＢＧＧＣ&;#183;ＣＥＥＤ.图 1　　　　　　　　　图 2设∠ＧＡＣ =α ,∠ＥＡＣ =β ,则∠ＢＡＧ =Ａ2 -α ,∠ＤＡＥ =Ａ2 -β ,由相似三角形比的性质有　　 ＢＧＧＣ =ＡＢｓｉｎ( Ａ2 -α)ＡＣｓｉｎα ,　　 ＣＥＥＤ =ＡＣ&;#183;ｓｉｎβＡＤｓｉｎ( Ａ2 -β),代入上式得到ｓｉｎ( Ａ2 -α) &;#183;ｓｉｎβ=ｓｉｎα&;#183;ｓｉｎ( Ａ2 -β) .按三角函数的差角公式展开即得ｓｉｎ(α -β) =0 ,其中α、β∈ ( 0 ,π2 ) ,∴　α=β ,即是　∠ＧＡＣ =∠ＥＡＣ .它的空间形式如图 2 :在四面体ＡＢＣＤ中 ,∠ＢＡＣ =∠ＤＡＣ ,ＡＯ是△ＡＢＤ中∠Ａ的平分线 ,Ｅ是ＣＤ边上任一点 ,连结ＢＥ交...     

三角形中的几个三角关系及其应用

记△ＡＢＣ的三个内角为Ａ ,Ｂ ,Ｃ .定理 1　若△ＡＢＣ为直角三角形Ｃ =π2 ,则Ａ ,Ｂ中任一角的正弦值等于另一角的余弦值 .定理 2　若△ＡＢＣ为锐角三角形 ,则Ａ ,Ｂ ,Ｃ中任一角的正弦值大于其它角的余弦值 .定理 3　若△ＡＢＣ为钝角三角形Ｃ >π2 ,则Ａ ,Ｂ中任一角的正弦值小于另一角的余弦值 .证　定理 1 :略 .定理 2 :任取两个角 ,不妨设为Ａ ,Ｂ ,则Ａ +Ｂ >π2 ,即 0 <π2 -Ｂ <Ａ <π2 .又 ｙ =ｓｉｎｘ在 0 ,π2 上为增函数 ,∴ｓｉｎＡ >ｓｉｎ π2 -Ｂ =ｃｏｓＢ .问题得证 .定理 3 :∵ 0 <Ａ +Ｂ <π2 ,∴ 0 <Ａ <π2 -Ｂ…     

2000年莫斯科大学数学力学系入学考试试题

试卷 1 (3月 )1　解不等式｜ｘ- 4｜- ｜ｘ- 1｜｜ｘ- 3｜-｜ｘ- 2 ｜ <｜ｘ- 3｜ ｜ｘ- 2｜｜ｘ- 4｜ .2　已知一个递减等差数列的前 7项的 5次幂之和等于 0 ,而它们的 4次幂之和等于 51 .求这个数列的第 7项 .3　在区间 [- 92 π ,- 32 π]上 ,求下列方程的所有的根 :ｃｏｓｘｓｉｎ ｘ4 91 0 ｓｉｎｘ 2ｓｉｎ ｘ4ｃｏｓ ｘ2 ｓｉｎ ｘ4 - 12 ｃｏｓ ｘ4 - 92 0 =0 .4　经过梯形ＡＢＣＤ的腰ＡＢ的中点Ｋ作出ＡＢ的垂线与边ＣＤ相交于点Ｌ .已知四边形ＡＫＬＤ的面积是四边形ＢＫＬＣ的面积的 5倍 ,ＣＬ=3,ＤＬ =1 5,ＫＣ =4.求线段Ｋ…     

课外练习

高一年级1 .当函数 ｙ =2ｃｏｓｘ - 3ｓｉｎｘ取最大值时 ,求ｔａｎｘ的值 . 2 .求证 :ｔａｎ5=ｔａｎ2 +ｔａｎ3 +ｔａｎ2·ｔａｎ3·ｔａｎ5.3 .函数 ｆ(ｘ)是定义在 {ｘ|ｘ≠ 0 ,ｘ∈ｋ}上的奇函数 ,且 ｆ(ｘ)在 ( 0 ,+∞ )上为减函数 ,又ｆ( 3 ) =0 ,ｇ(θ)=ｃｏｓ2θ - 2ｍｃｏｓθ + 4ｍ ,θ∈ [0 ,π2 ] .若集合Ｍ ={ｍ| ｇ(θ) >0 },Ｎ ={ｍ| ｆ[ｇ(θ) ] <0 }.求Ｍ∩Ｎ .高二年级1 .已知不等式 1ｎ + 1 + 1ｎ + 2 +… + 12ｎ>11 2 ｌｏｇａ(ａ -1 ) + 23 对一切大于 1的自然数都成立 ,求实数ａ的取值范围 .(2 .已知 :△ＡＢＣ的顶…     

约分时应注意公因式的取值范围

许多同学碰到等式或不等式两边有公因式时 ,不管公因式的取值范围如何就马上约去 ,从而造成解题失误 .请看下面例子 .例 1( 1990年高考试题 )方程ｓｉｎ2ｘ =ｓｉｎｘ在区间 ( 0 ,2π)内的解的个数是 (　　 )(Ａ) 1.　 (Ｂ) 2 .　 (Ｃ) 3.　 (Ｄ) 4 .误解 :原方程可化为　　　　 2ｓｉｎｘｃｏｓｘ =ｓｉｎｘ ( 1)两边约去ｓｉｎｘ ,得 2ｃｏｓｘ =1,即ｃｏｓｘ =12 ,∵ｘ∈( 0 ,2π) ,∴ｘ =π3或5π3,故应选 (Ｂ) .辨析　∵ｓｉｎｘ =0在 ( 0 ,2π)内有解ｘ =π ,∴等式 ( 1)两边约去了公因式ｓｉｎｘ ,就导致失去解ｘ =π .此题应选 (Ｃ)…     

对解集合问题的两点建议

集合问题常涉及函数、方程、不等式等多种知识 .怎样解好集合问题 ,初学集合的同学最好将抽象的集合问题具体化 ,实际操作时可从下面两个方面入手解决 .1　抽象集合问题具体化　解集合问题时常将用描述法表示的集合 ,如有可能应先化简 ,最好用列举法给出 .例 1　已知集合Ａ ={ｘ|ｘ2 - 3ｘ 2 =0 } ,Ｂ ={ｘ|ａｘ - 2 =0 } ,若Ａ∪Ｂ =Ａ ,求实数ａ的值 .分析 :Ａ ={ｘ|ｘ2 - 3ｘ 2 =0 } ={ 1,2 } .由Ａ∪Ｂ =Ａ知Ｂ Ａ .所以当 1∈Ｂ时得ａ =2 ;当 2∈Ｂ时得ａ =1;又当ａ =0时 ,方程ａｘ - 2 =0无解 ,即Ｂ= Ａ .所以ａ的值为 0或 1或 2 …     

2001年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史财经类)

参考公式与理科卷相同一、选择题 :在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .(1 )ｔｇ3 0 0° ｃｔｇ40 5°的值为(Ａ) 1 3　　　 (Ｂ) 1 - 3(Ｃ) - 1 - 3 (Ｄ) - 1 3(3 )若一个圆锥的轴截面是等边三角形 ,其面积为 3 ,则这个圆锥的全面积是(Ａ) 3π　 (Ｂ) 3 3π　 (Ｃ) 6π　 (Ｄ) 9π(5 )已知复数ｚ=2 6ｉ,则ａｒｇ1ｚ 是(Ａ) π6 　 (Ｂ) 1 1π6 　 (Ｃ) π3 　 (Ｄ) 5π(6 )函数ｙ=2 -ｘ 1 (ｘ>0 )的反函数是(Ａ)ｙ=ｌｏｇ21ｘ - 1 ,ｘ∈ (1 ,2 )(Ｂ)ｙ=-ｌｏｇ2 1ｘ- 1 ,ｘ∈ (1 ,2 )(Ｃ)ｙ =ｌｏｇ21ｘ- 1 ,ｘ∈ (1 …     

空间两直线所成角的一个性质

平面Ｍ内的一条直线和平面Ｍ的斜线及其在Ｍ内的射影间所成的角有下述关系 :图 1　命题 1图命题 1　如图 1所示 .平面Ｍ内的一条直线ＢＣ和Ｍ的斜线ＰＡ成角θ ,ＢＣ与斜线ＰＡ在平面Ｍ内的射影ＯＡ成角 ,则1)当 0 <θ<π2 时 ,θ> ;2 )当 π2 <θ <π时 ,θ < ;3)当θ=π2 时 ,θ = .证　 1)如图 1,∠ＰＡＣ =θ ,且 0 <θ <π2 ,∠ＣＡＯ= .过点Ｐ作ＰＣ⊥ＢＣ于Ｃ ,连ＯＣ .由三垂线逆定理知ＯＣ⊥ＢＣ .显然由ｃｏｓ∠ＰＡＣ =ｃｏｓ∠ＰＡＯ·ｃｏｓ∠ＣＡＯ ,有ｃｏｓ∠ＰＡＣ <ｃｏｓ∠ＣＡＯ .∵在 ( 0 ,π)内余弦函数为…     

2002年《通讯杯》高中数学综合应用能力竞赛试题

(2 0 0 2年 5月 1 2日上午 8:30— 1 1 :0 0 )选择题 :本大题共 6小题 ,每小题 5分 ,共 30分 .在每小题给出的四个选项中 ,有且仅有一个符合题目要求 .把你认为符合题目要求的选项的代表字母填在黑方括号内 .填错、不填或填的代表字母超过一个 (不论是否写在黑方括号内 )均记 0分 .　　 1 .设集合Ａ ={ｘ|ｘ∈Ｒ且ｘ2 - 3ｘ + 2=0 },Ｂ =ｘ|ｃｏｓπ2 ｘ =0 ,ｘ∈Ｒ ,全集Ｉ ={- 3,- 2 ,- 1 ,0 ,1 ,2 ,3},则Ａ∩Ｂ =【　　】(Ａ) {- 3,- 1 ,0 ,3}.(Ｂ) {- 3,- 1 ,1 ,3}.(Ｃ) {- 3,- 1 ,3}.　 (Ｄ) {- 3,3}.2 .直线ａ在平面α内 ,直线ｂ在平…     

课外练习

高一年级1.在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ =2 0° ,ＡＢ =ＡＣ =ｂ ,ＢＣ=ａ .求证 :ａ3 +ｂ3 =3ａｂ2 .2 .若 π6 ≤ｘ≤ π3,求函数 ｙ =ｔａｎｘ -ｓｉｎ2 ｘｔａｎｘ +ｓｉｎ2 ｘ的最大值和最小值 .3 .若函数ｆ(ｘ)在 (-∞ ,3]上是减函数 ,且ｆ(ａ2 -ｓｉｎｘ)≤ｆ(ａ+ 1+ｃｏｓ2 ｘ)对一切ｘ∈Ｒ恒成立 ,求实数ａ的取值范围 .高二年级1.在棱长为ａ的正方体ＡＢＣＤ -Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 Ｄ1中 ,过ＢＤ1 的截面分别交ＡＡ1 、ＣＣ1 于Ｅ、Ｆ两点 ,求四边形ＢＥＤ1 Ｆ面积的最小值 .(北京　含　笑 )2 .已知 :ｘ ,ｙ∈Ｒ+ ,且ｘ + ｙ =1.求ｕ =1ｘ3 +12ｙ的…     

由三角函数图象求解析式的方法及误解剖析

给出三角函数 ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ)的图象一部分 ,确定其解析式是同学们感到很头痛的一类题目 ,特别是ω和 φ的确定 ,稍一疏忽就会出错 .例　已知函数 ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ) (Ａ >0 ,ω >0 ,|φ|<π)的图象如图 1所示 ,试确定该函数的解析式图 1　例题图误解 1　∵ ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ) (Ａ >0 )的值域为区间[-Ａ ,Ａ] ,由图象表明 -2≤ｙ≤ 2 ,∴Ａ =2 ,即函数ｙ =2ｓｉｎ(ωｘ φ) .∵函数图象过点Ｐ( -7π12 ,0 )和Ｑ( 0 ,1) ,∴ｓｉｎ( -7π12 ω φ) =0 ,ｓｉｎφ =12 .∵ |φ|<π ,ｓｉｎφ =12 ,∴φ =π6或 φ =5π6.当 …     

2002年《通讯杯》高中数学综合应用能力竞赛试题及解答

(2 0 0 2年 5月 1 2日上午 8:30— 1 1 :0 0 )选择题 :本大题共 6小题 ,每小题 5分 ,共 30分 .在每小题给出的四个选项中 ,有且仅有一个符合题目要求 .把你认为符合题目要求的选项的代表字母填在黑方括号内 .填错、不填或填的代表字母超过一个 (不论是否写在黑方括号内 )均记 0分 .　　 1 .设集合Ａ ={ｘ|ｘ∈Ｒ且ｘ2 - 3ｘ + 2=0 },Ｂ =ｘ|ｃｏｓπ2 ｘ =0 ,ｘ∈Ｒ ,全集Ｉ ={- 3,- 2 ,- 1 ,0 ,1 ,2 ,3},则Ａ∩Ｂ =【　　】(Ａ) {- 3,- 1 ,0 ,3}.(Ｂ) {- 3,- 1 ,1 ,3}.(Ｃ) {- 3,- 1 ,3}.　 (Ｄ) {- 3,3}.2 .直线ａ在平面α内 ,直线ｂ在平…     

高三数学复习代数训练题(一)

选择题 :本大题共 12小题 ;每小题 5分 ,共 6 0分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .1　已知集合Ｍ∪Ｎ ={ａ ,ｂ ,ｃ ,ｄ},Ｍ∩Ｎ ={ｃ ,ｄ},则满足条件的集合Ｍ的个数是 (　　 )(Ａ) 1.　　　　　 (Ｂ) 2 .(Ｃ) 4 . (Ｄ) 6.2　函数 ｙ =ｃｏｓ( 2ｘ - π4 )的一个递减区间是 (　　 )(Ａ) [- 3π8,π8] .　　　 (Ｂ) [π8,5π8] .(Ｃ) [5π8,9π8] . (Ｄ) [0 ,π2 ] .3　函数ｆ(ｘ) =ｘ-12 的定义域为Ａ ,ｆ(ｘ)的反函数ｆ-1 (ｘ)的定义域为Ｂ ,设Ａ∩Ｂ =Ｄ ,当Ｃ Ｄ时有 ｆ(ｘ) <ｆ-1 (ｘ) ,则Ｃ等于 (　　 )(Ａ) …