一个充要条件的应用

命题　已知Ａ ,Ｂ是△ＡＢＣ的两个内角 ,则ｓｉｎＡ >ｓｉｎＢ Ａ >Ｂ .设Ｒ是△ＡＢＣ外接圆半径 ,ｓｉｎＡ >ｓｉｎＢ 2ＲｓｉｎＡ >2ＲｓｉｎＢ 正弦定理ａ >ｂ 大边对大角 Ａ >Ｂ .命题为真 .利用上述命题 ,有时可以比较方便地解决一些三角形的问题 .例 1　在△ＡＢＣ中 ,Ａ >Ｂ ,则不等式①ｓｉｎＡ >ｓｉｎＢ ;　②ｃｏｓＡ <ｃｏｓＢ ;　③ｓｉｎ2Ａ >ｓｉｎ2Ｂ ;　④ｃｏｓ2Ａ <ｃｏｓ2Ｂ中恒成立的个数是(　　 )(Ａ) 1.　 (Ｂ) 2 .　 (Ｃ) 3.　 (Ｄ) 4.分析 :在△ＡＢＣ中 ,Ａ >Ｂ ｓｉｎＡ >ｓｉｎＢ >0 ｓｉｎ2 Ａ >ｓｉｎ2 …     

再谈“广义三角形角的关系及应用”

文 [1]从三角形中的正、余弦定理的角度出发 ,将余弦定理ａ2 =ｂ2 +ｃ2 - 2ｂｃｃｏｓＡ和正弦定理 ａｓｉｎＡ= ｂｓｉｎＢ=ｃｓｉｎＣ=2Ｒ结合得 :定理 1　在△ＡＢＣ中 ,ｓｉｎ2 Ａ =ｓｉｎ2 Ｂ +ｓｉｎ2 Ｃ -2ｓｉｎＢｓｉｎＣｃｏｓＡ .并将其推广到广义三角形中 ,即得 :定理 1′　若∠Ａ +∠Ｂ +∠Ｃ =π ,则ｓｉｎ2 Ｂ +ｓｉｎ2 Ｃ - 2ｓｉｎＢｓｉｎＣｃｏｓＡ =ｓｉｎ2 Ａ .定理 1称为三角函数形式余弦定理 ,它揭示了三角形内角的关系 .定理 1′称为广义三角函数形式余弦定理 ,它揭示了广义三角形内角的关系 .在教学中 ,笔者曾对课…     

三角形广义正弦定理的统一形式

文 [1 ]、[2 ]分别类似于三角形的正弦定理 ,给出了一系列等式 ,并分别称之为“类正弦定理”和“广义正弦定理” .本文试就一般情形 ,利用正弦定理给出了三角形广义正弦定理 (或类正弦定理 )的统一形式 ,作为其特殊情况 ,我们得到了文 [1 ]、[2 ]中的主要结果 .定理　在△ＡＢＣ中 ,设Ａ′、Ｂ′、Ｃ′分别为边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ上的点 ,△ＡＢＣ的外接圆半径为Ｒ ,λ1、λ2 、λ3∈ [0 ,1 ],则有ＡＡ′ｓｉｎＢｓｉｎＣｃｓｃ(λ1Ａ +Ｂ) =ＢＢ′ｓｉｎＣｓｉｎＡｃｓｃ(λ2 Ｂ +Ｃ)= ＣＣ′ｓｉｎＡｓｉｎＢｃｓｃ(λ3Ｃ +Ａ) =2Ｒ (1 )或…     

构造相似三角形探讨三角问题

众所周知 ,相似三角形有许多重要的性质 .如果在探讨三角问题时 ,构造一些相似三角形 ,对我们研究问题和解决问题是大有帮助的 .下面不妨介绍一个重要性质及它在三角中的应用 .1　一个重要性质在△ＡＢＣ中 ,以ｓｉｎＡ ,ｓｉｎＢ ,ｓｉｎＣ为边可以构造一个△Ａ′Ｂ′Ｃ′ ,且△ＡＢＣ～△Ａ′Ｂ′Ｃ′ .△Ａ′Ｂ′Ｃ′外接圆半径为 12 .图 1　三角形边角关系证　 (如图 1)设△ＡＢＣ外接圆半径为Ｒ ,由正弦定理有 :ｓｉｎＡ ｓｉｎＢ =12Ｒ(ａ ｂ)>ｃ2Ｒ=ｓｉｎＣ .同理ｓｉｎＢ ｓｉｎＣ >ｓｉｎＡ ,ｓｉｎＣ ｓｉｎＡ >ｓｉｎＢ .因…     

三角形内接正三角形的个数问题

文 [1 ]中研究了三角形内接正三角形的存在性问题 ,得到结论 :任意三角形至少存在一个内接正三角形 .同时指出 :关于三角形内接正三角形的个数问题 ,有待进一步研究 .本文就此问题做一些探讨 .图 1　内接正三角形图如图 1 ,在△ＡＢＣ中 ,设Ａ≥Ｂ≥Ｃ ,ＢＣ =ａ ,ＣＡ =ｂ ,ＡＢ =ｃ,△ＰＱＲ为它的一个内接正三角形 ,其边长为ｍ ,∠ＡＲＱ =α ,∠ＡＱＲ =β,ＡＲ =ｘｃ ( 0 <ｘ<1 ) ,ＡＱ =ｙｂ ( 0 <ｙ <1 ) .在△ＡＲＱ中 ,由正弦理有 :ＱＲｓｉｎＡ=ＡＱｓｉｎα=ＡＲｓｉｎβ,∴ｍｓｉｎα =ｙｂｓｉｎＡ ,ｍｓｉｎβ =ｘｃｓｉｎＡ …     

注意三角形中的一个隐含条件

在三角形中 ,隐含着一个非常重要的条件 ,而同学们在解题时常常忽略该条件 ,从而造成解题失误 .这个条件就是 :三角形中 ,任意两内角的余弦之和为正 ,即△ＡＢＣ中 ,ｃｏｓＡ ｃｏｓＢ >0 ,ｃｏｓＢ ｃｏｓＣ >0 ,ｃｏｓＣ ｃｏｓＡ >0 .证明　∵△ＡＢＣ中 ,0 <Ａ Ｂ <π ,∴ 0 <Ａ <π -Ｂ <π ,又余弦函数在 (0 ,π)上是减函数 ,∴ｃｏｓＡ >ｃｏｓ(π -Ｂ) ,即ｃｏｓＡ >-ｃｏｓＢ ,故ｃｏｓＡ ｃｏｓＢ >0 .同理可证 :ｃｏｓＢ ｃｏｓＣ >0 ,ｃｏｓＣ ｃｏｓＡ >0 .下面举例说明这一条件的应用 .例 1　已知△ＡＢＣ中 ,ｃｏｓＡ…     

数学问题解答

20 0 1年 1月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 2 91　在△ＡＢＣ中 ,ＢＣ=ａ ,顶点Ａ在平行于ＢＣ且与ＢＣ相距为ａ的直线上滑动 .求 ＡＢＡＣ的取值范围 .(江西永修一中　宋庆　 330 30 4 )解　令ＡＣ =ｘ ,ＡＢ=ｋｘ(ｘ>0 ,ｋ >0 ) ,则ａｓｉｎＡ =ｘｓｉｎＢ,且ｓｉｎＢ=ａｋｘ.于是 ,ａ2 =ｋｘ2 ｓｉｎＡ .在△ＡＢＣ中 ,由余弦定理可得ｘ2 ｋ2 ｘ2 -ｋｘ2 ｓｉｎＡ=2ｋｘ2 ｃｏｓＡ ,∴ｋ 1ｋ =ｓｉｎＡ 2ｃｏｓＡ=5ｓｉｎ(Ａ ａｒｃｔｇ2 )≤ 5,∴ｋ 1ｋ ≤ 5,∴ｋ2 - 5ｋ 1 ≤ 0 ,∴ 5- 12 ≤ｋ≤ 5 12 ,∴ 5- 12 ≤ ＡＢＡ…     

一道竞赛题的三角简证及空间推广

1999年全国高中数学联赛加试第一题 :在四边形ＡＢＣＤ中 ,对角线ＡＣ平分∠ＢＡＤ ,在ＣＤ上取一点Ｅ ,ＢＥ与ＡＣ交于Ｆ ,延长ＤＦ交ＢＣ于Ｇ .求证 :∠ＧＡＣ =∠ＥＡＣ .证明　如图 1,连接ＢＤ交ＡＣ于Ｏ点 ,在△ＢＣＤ中运用塞瓦定理ＢＧＧＣ&;#183;ＣＥＥＤ&;#183;ＤＯＯＢ =1,∴ ＯＢＤＯ =ＢＧＧＣ&;#183;ＣＥＥＤ.又∵　ＡＯ是△ＡＢＤ中∠Ａ的平分线 ,∴　 ＡＢＡＤ =ＢＯＤＯ =ＢＧＧＣ&;#183;ＣＥＥＤ.图 1　　　　　　　　　图 2设∠ＧＡＣ =α ,∠ＥＡＣ =β ,则∠ＢＡＧ =Ａ2 -α ,∠ＤＡＥ =Ａ2 -β ,由相似三角形比的性质有　　 ＢＧＧＣ =ＡＢｓｉｎ( Ａ2 -α)ＡＣｓｉｎα ,　　 ＣＥＥＤ =ＡＣ&;#183;ｓｉｎβＡＤｓｉｎ( Ａ2 -β),代入上式得到ｓｉｎ( Ａ2 -α) &;#183;ｓｉｎβ=ｓｉｎα&;#183;ｓｉｎ( Ａ2 -β) .按三角函数的差角公式展开即得ｓｉｎ(α -β) =0 ,其中α、β∈ ( 0 ,π2 ) ,∴　α=β ,即是　∠ＧＡＣ =∠ＥＡＣ .它的空间形式如图 2 :在四面体ＡＢＣＤ中 ,∠ＢＡＣ =∠ＤＡＣ ,ＡＯ是△ＡＢＤ中∠Ａ的平分线 ,Ｅ是ＣＤ边上任一点 ,连结ＢＥ交...     

名校基础知识自测

★高一年级一、选择题1 .已知△ＡＢＣ中 ,若ｓｉｎＡ >ｓｉｎＢ ,则必有 (　　 ) .(Ａ)Ａ >Ｂ　　　 (Ｂ)ｃｏｓＡ >ｃｏｓＢ(Ｃ)ｃｏｓＡ <ｃｏｓＢ (Ｄ)ｔａｎＡ >ｔａｎＢ或ｔａｎＡ <ｔａｎＢ2 .在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ =60° ,ＡＣ =1 ,Ｓ△ＡＢＣ =3 ,则ａ +ｂ +ｃｓｉｎＡ +ｓｉｎＢ +ｓｉｎＣ=(　　 ) .(Ａ) 3 3　 (Ｂ) 2 3 93 　 (Ｃ) 2 633 　 (Ｄ) 3 923 .已知△ＡＢＣ中的三边为ａ ,ｂ ,ｃ,且ａ -ｂ =Ｃ·ｃｏｓＢ-Ｃ·ｃｏｓＡ ,则△ＡＢＣ为 (　　 ) .(Ａ)直角三角形　　　 (Ｂ)等腰三角形(Ｃ)等腰直角三角形　 (Ｄ)等腰或直角三…     

关于椭圆的十个最值问题

本文利用初等方法讨论了与椭圆有关的若干几何最值问题 ,得到了十个有趣的结论 ,为方便读者选用 ,现用定理形式叙述如下 .定理 1　椭圆ｂ2 ｘ2 +ａ2 ｙ2 =ａ2 ｂ2 (ａ>ｂ >0 )的内接三角形的面积的最大值为3 34ａｂ .证明　设该椭圆内接三角形ＡＢＣ三顶点坐标按逆时针方向依次为Ａ(ａｃｏｓθ1 ,ｂｓｉｎθ1 ) ,Ｂ(ａｃｏｓθ2 ,ｂｓｉｎθ2 ) ,Ｃ(ａｃｏｓθ3,ｂｓｉｎθ3) ,则 △ ＡＢＣ的面积为Ｓ=121　ａｃｏｓθ1 　ｂｓｉｎθ11　ａｃｏｓθ2 　ｂｓｉｎθ21　ａｃｏｓθ3　ｂｓｉｎθ3=12 ａｂ1　ｃｏｓθ1 　ｓｉｎθ11　ｃｏｓθ2…     

三角形角的关系及应用

三角形角的关系及应用山东省惠民师范学校李风坤众所周知，在△ＡＢＣ中，Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π，这是三角形三内角的基本关系．在此条件下，我们容易得到三角形三内角的另一关系，用定理形式叙述如下：定理三角形任一角的正弦的平方，等于其他两个角的正弦的平方和，再减去这两...     

2002年中国数学奥林匹克试题解答

1　△ＡＢＣ的三边长分别为ａ ,ｂ ,ｃ ,ｂ <ｃ,ＡＤ是∠Ａ的平分线 ,点Ｄ在边ＢＣ上 ,1)求在线段ＡＢ ,ＡＣ内分别存在点Ｅ ,Ｆ(不是顶点 )满足ＢＥ =ＣＦ和∠ＢＤＥ =∠ＣＤＦ的充要条件(用角Ａ ,Ｂ ,Ｃ表示 ) ;图 1　题 1图2 )在点Ｅ和Ｆ存在的情况下 ,用ａ ,ｂ ,ｃ表示ＢＥ的长 .解　 1)设∠ＦＤＣ =∠ＥＤＢ =α ,则在△ＤＦＣ中 ,由正弦定理得ＣＦｓｉｎα =ＣＤｓｉｎ∠ＤＦＣ =ＣＤｓｉｎ(α +Ｃ) .即　　ＣＦ =ＣＤｓｉｎαｓｉｎ(Ｃ +α) (1)在△ＤＥＢ中 ,同理有　　　ＢＥ =ＤＢｓｉｎαｓｉｎ(Ｂ +α) (2 )由 (1) ,(2 )及ＢＥ …     

高一数学同步测试题

三角函数的图象与性质　　选择题1　若α为第一象限角 ,那么ｓｉｎ2α ,ｃｏｓ2α ,ｓｉｎ α2 ,ｃｏｓ α2 中必定取正值的有 (　　 )(Ａ) 0个 .　 (Ｂ) 1个 .　 (Ｃ) 2个 .　 (Ｄ) 3个 .2　已知1 ｓｉｎｘｃｏｓｘ =- 12 ,则 ｃｏｓｘｓｉｎｘ - 1的值是 (　　 )(Ａ) 12 .(Ｂ) - 12 .　 (Ｃ) 2 .(Ｄ) - 2 .3　已知ｓｉｎαｃｏｓα =18且 π4 <α <π2 ,则ｃｏｓα -ｓｉｎα的值等于 (　　 )(Ａ) 32 .(Ｂ) 34.(Ｃ) - 32 .(Ｄ)± 32 .4　下列函数中 ,在 (0 ,π2 )上为增函数 ,且以π为周期的奇函数是 (　　 )(Ａ) ｙ =ｓｉｎｘ .(Ｂ) ｙ =…     

解三角题应重视对角的范围的考察

例 1　已知ｓｉｎθ ｃｏｓθ =- 15( 0 <θ <π) ,求ｔｇθ的值 .分析 :本题解法甚多 ,但若由ｓｉｎθ ｃｏｓθ <0把θ的范围进一步缩小 ,则解法较简洁 .解　由 (ｓｉｎθ ｃｏｓθ) 2 =( - 15) 2 =12 5得ｓｉｎ2θ =- 2 42 5.∵ 0 <θ<π且ｓｉｎθ ｃｏｓθ <0 ,∴ 3π4 <θ <π ,则3π2 <2θ <2π ,∴ｃｏｓ2θ=72 5,　∴ｔｇθ =1-ｃｏｓ2θｓｉｎ2θ =- 34.评述 :只有把 2θ的范围缩小 ,才能确定ｃｏｓ2θ的符号 ,进而求出ｔｇθ的值 .例 2　已知α ,β均为锐角 ,ｓｉｎα =210 ,ｓｉｎβ =1010 ,求α 2 β的值 .分析 :为了求…     

由三角函数图象求解析式的方法及误解剖析

给出三角函数 ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ)的图象一部分 ,确定其解析式是同学们感到很头痛的一类题目 ,特别是ω和 φ的确定 ,稍一疏忽就会出错 .例　已知函数 ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ) (Ａ >0 ,ω >0 ,|φ|<π)的图象如图 1所示 ,试确定该函数的解析式图 1　例题图误解 1　∵ ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ) (Ａ >0 )的值域为区间[-Ａ ,Ａ] ,由图象表明 -2≤ｙ≤ 2 ,∴Ａ =2 ,即函数ｙ =2ｓｉｎ(ωｘ φ) .∵函数图象过点Ｐ( -7π12 ,0 )和Ｑ( 0 ,1) ,∴ｓｉｎ( -7π12 ω φ) =0 ,ｓｉｎφ =12 .∵ |φ|<π ,ｓｉｎφ =12 ,∴φ =π6或 φ =5π6.当 …     

三角形的一个边角变换的推广

王开广老师在贵刊 2 0 0 1年第 5期给出了一个三角形边到角的三角函数的变换 :定理　 ｆ (ａ ,ｂ ,ｃ,△ )≡ ｆ (ｃｏｓ Ａ2 ,ｃｏｓ Ｂ2 ,ｃｏｓ Ｃ2 ,18(ｓｉｎＡ ｓｉｎＢ ｓｉｎＣ) ) ,其中ａ ,ｂ ,ｃ ,△分别是△ＡＢＣ的三边和面积 .下同 .本文予以推广推广　ｆ(ａ ,ｂ ,ｃ,△ )≡ｆ(ａ′ ,ｂ′ ,ｃ′ ,△′) ,其中　　ａ′ =ｙ2 ｚ2 2 ｙｚｃｏｓＡ,ｂ′=ｚ2 ｘ2 2ｚｘｃｏｓＢ ,ｃ′ =ｘ2 ｙ2 2ｘｙｃｏｓＣ,△′ =12 | ｙｚｓｉｎＡ ｚｘｓｉｎＢ ｘｙｓｉｎＣ| .ｘ ,ｙ ,ｚ是任意实数 ,且ｘｙｚ≠ 0 .为证明该推广…     

反三角函数和三角方程

选择题1　下列各等式成立的是 (　　 )(Ａ)ａｒｃｓｉｎ π3=32 .(Ｂ)ｃｏｓ(ａｒｃｃｏｓ π3) =π3.(Ｃ)ｔｇ(ａｒｃｔｇ 3) =3.(Ｄ)ｓｉｎ(ａｒｃｃｏｓ12 ) =12 .2　下列命题不正确的是 (　　 )(Ａ)函数 ｙ =ａｒｃｃｏｓｘ - π2 是奇函数 .(Ｂ)当ｘ∈ ( 22 ,1)时 ,ａｒｃｓｉｎｘ >ａｒｃｃｏｓｘ .(Ｃ)ｔｇ(ａｒｃｃｏｓ0 ) =0 .(Ｄ)当ｘ∈ ( -∞ ,0 )时 ,ａｒｃｃｔｇｘ >ａｒｃｔｇｘ .3　若 π4 <α <5π4 ,则ａｒｃｓｉｎ[22 (ｓｉｎα ｃｏｓα) ]的值为(　　 )(Ａ) π4 -α .　　 (Ｂ)α - π4 .(Ｃ)α - 3π4 . (Ｄ) 3π4 -…     

值得注意的一点

题　已知△ＡＢＣ的外接圆半径为 6 ,ａ ,ｂ ,ｃ分别是角Ａ ,Ｂ ,Ｃ所对应的边 ,角Ｂ ,Ｃ和面积Ｓ满足条件Ｓ =ａ2 - (ｂ -ｃ) 2 且ｓｉｎＢ+ｓｉｎＣ =43,求△ＡＢＣ的面积Ｓ的最大值 .乍一看 ,这是一道易解的与不等式知识结合的三角题 ,可以很快给出解答如下 .解　由余弦定理 ,得ａ2 =ｂ2 +ｃ2 -2ｂｃｃｏｓＡ ,即ａ2 =(ｂ -ｃ) 2 + 2ｂｃ( 1 -ｃｏｓＡ) ( 1 )又∵Ｓ =12 ｂｃｓｉｎＡ =ａ2 - (ｂ -ｃ) 2 ( 2 )由 ( 1 ) ,( 2 )可得　ｓｉｎＡ =4 ( 1 -ｃｏｓＡ) ,∴1 -ｃｏｓＡｓｉｎＡ =14 ,∴ｔａｎ Ａ2 =14 ,∴ｓｉｎＡ =81 7.又∵ｓｉ…     

一道选择题的错解与分析

题目　ＡＤ为△ＡＢＣ的高线 ,ＢＤ =ａ ,ＤＣ =ｂ(ａ <ｂ) ,将△ＡＢＣ沿ＡＤ折叠成二面角Ｂ ＡＤ Ｃ ,其平面角为θ ,若ｃｏｓθ =ａｂ,则四面体Ａ ＢＣＤ的侧面ＡＢＣ是 (　　 ) .(Ａ)锐角三角形　 (Ｂ)钝角三角形(Ｃ)直角三角形　 (Ｄ)由ａ、ｂ的值确定错解　首先考察θ为直角时 ,ＤＡ ,ＤＢ ,ＤＣ两两垂直 ,易证△ＡＢＣ的三个角均为锐角(可用公式ｃｏｓθ =ｃｏｓθ1 ·ｃｏｓθ2 ) ,即△ＡＢＣ为锐角三角形 .因ｃｏｓθ =ａｂ >0 ,θ为锐角 (上述情形可看作θ的一个极端状态 ) ,即二面角Ｂ ＡＤ Ｃ由直二面角连续折叠成了锐二面角 .…     

数学问题解答

20 0 1年 1 1月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 4 1　锐角三角形ＡＢＣ中有内接△ＤＥＦ ,且ＦＤ⊥ＢＣ于Ｄ ,ＤＥ ⊥ＡＣ于Ｅ ,ＥＦ ⊥ＡＢ于Ｆ ,求证 :Ｓ△ＡＢＣ ≥ 3Ｓ△ＤＥＦ.(武汉华中理工大学西十四舍 5号　黄元兵　 43 0 0 74)证　△ＡＢＣ三边分别与△ＤＥＦ三边垂直 ,又△ＡＢＣ为锐角三角形 ,有∠Ａ =∠ＤＥＦ ,∠Ｂ =∠ＥＦＤ ,∠Ｃ =∠ＦＤＥ即有△ＡＢＣ ∽△ＤＥＦ .又公比ｑ=ＢＣＤＦ =ＢＤＤＦ ＣＤＤＦ=ｃｏｔＢ ＤＥＤＦｓｉｎＣ=ｃｏｔＢ ｓｉｎＢｓｉｎＡｓｉｎＣ =ｃｏｔＢ ｓｉｎ(Ａ Ｃ)ｓｉｎＡｓｉｎＣ=…