数学问题解答

20 0 2年 9月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 91　已知实数ａ ,ｂ ,ｃ满足不等式｜ｂ-ｃ｜≥3｜ａ｜,｜ｃ-ａ｜≥ 3｜ｂ｜ ,｜ａ-ｂ｜≥ 3｜ｃ｜ ,求证 :ａ+ｂ+ｃ=0 .(南昌大学附中　宋庆　 3 3 0 0 2 9)证明　因为ａ ,ｂ,ｃ∈Ｒ ,｜ｂ-ｃ｜≥ 3｜ａ｜,所以 (ｂ-ｃ) 2 ≥ 3ａ2 ,所以 3ａ2 -ｂ2 -ｃ2 +2ｂｃ≤ 0 ,同理得 3ｂ2 -ｃ2 -ａ2 +2ｃａ≤ 0 ,3ｃ2 -ａ2 -ｂ2 +2ａｂ≤ 0 ,以上三式相加 ,便得ａ2 +ｂ2 +ｃ2 +2ｂｃ+2ｃａ+2ａｂ≤ 0 ,所以 (ａ+ｂ +ｃ) 2 ≤ 0 ,所以ａ+ｂ+ｃ =0 .1 3 92　数列 {ａｎ}中 ,ａｎ =ｎ3·Π99ｉ=1(ｎ2…     

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2007年9月号问题解答（解答由问题提供人给出）1691AABC中，AB-AC，D在BC上且BD=2DC；E在AD上且∠ABE=∠CAE．     

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2007年11月号问题解答(解答由问题提供人给出)(浙江省义乌市群星中学闵飞322000)证明(1)设直线AI1交BD于P,交BC于G,直线AI2交CD于Q.由AI1平分∠BAD知AADB=DBPP,由AI2平分∠CAD知AADC=DCQQ,又AB=AC,所以DBDP=DCQQ.所以PQ∥BC,所以∠BGP=∠GPQ过I1,I2作PQ的垂线,垂足为X、Y.记⊙I     

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20 0 2年 6月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 76　若实数ａ、ｂ、ｘ、ｙ满足ａｘ+ｂｙ =3 ,ａｘ2 +ｂｙ2 =7,ａｘ3+ｂｙ3=1 6,ａｘ4 +ｂｙ4 =42求ａｘ5+ｂｙ5的值出自于郭要红、戴普庆编著的《中学数学研究》 ,安徽大学出版社 ,1 998年 1 1月Ｐ96第 1 7题解　因为ａｘ3+ｂｙ3=1 6所以　 (ａｘ3+ｂｙ3) (ｘ +ｙ) =1 6(ｘ+ｙ)所以　 (ａｘ4 +ｂｙ4 ) +ｘｙ(ａｘ2 +ｂｙ2 ) =1 6(ｘ+ｙ)即　 42 +7ｘｙ=1 6(ｘ +ｙ) ①因为　ａｘ2 +ｂｙ2 =7所以　 (ａｘ2 +ｂｙ2 ) (ｘ +ｙ) =7(ｘ+ｙ)所以　 (ａｘ3+ｂｙ3) +ｘｙ(ａｘ+ｂｙ) =7(ｘ +ｙ)…     

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20 0 0年 6月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 2 56　求 77 7　 (n个 7,n≥ 3)的末四位数 .解　∵ 74≡ 1 (mod1 0 0 )∴　 74 x ≡ 1 ((mod1 0 0 ) ,x∈ N又　 7≡ - 1 (mod4) ,故 77≡ (- 1 ) 7≡- 1 (mod4) .因而 77 7　 (n - 1个 7,n - 1≥ 2 )≡- 1 (mod4) .所以可设77 7　 (n - 1个 7,n - 1≥ 2 ) =4x 3,x∈N∴　 77 7≡ 74 x 3≡ 73≡ 43(mod1 0 0 )于是可设 77 7　 (n个 7,n≥ 3) =710 0 m 4 3,m∈ N (1 )而　 74 ≡ 2 4 0 1 (mod1 0 0 0 0 )∴　 78≡ 480 1 (mod1 0 0 0 0 )716≡ 960 1 (mod1 0 0 0 0 )732 ≡ 92 0 1 (mod1…     

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20 0 2年 8月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 86　试证明 :有两边及一个角的角平分线对应相等的两个三角形全等 .(湖北宜昌市十一中学　是海松　443 0 0 3 )证明　设△ＡＢＣ和△Ａ′Ｂ′Ｃ′的三边分别记为ａ、ｂ、ｃ和ａ′、ｂ′、ｃ′,三条角平分线分别记为ｔａ、ｔｂ、ｔｃ和ｔａ′、ｔｂ′、ｔｃ′,半周长分别记为ｐ和ｐ′.当有两边及它们的夹角的平分线对应相等时 ,不妨设ｂ=ｂ′,ｃ =ｃ′,ｔａ =ｔａ′.由ｔａ =2ｂ+ｃ ｂｃｐ(ｐ -ａ) ,ｔａ′ =2ｂ′+ｃ′ ｂ′ｃ′ｐ′(ｐ′ -ａ′)得 :2ｂ+ｃ ｂｃｐ(ｐ -ａ) =2ｂ+ｃ ｂｃｐ…     

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20 0 2年 1 1月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 40 1　邮局发行一套四种不同面值的邮票各 1张(面值为正整数 ) ,如果每封信允许贴邮票张数不超过 3 ,存在正整数Ｒ ,使得用不超过三枚邮票 ,其和可以形成连续整数 1 ,2 ,3 ,… ,Ｒ ,找出这四种面值数 ,使得Ｒ值最大 ,并把结果推广 .(山东省青岛市四方区鞍山五路 2 7号楼二单元 70 2　王大鹏　 2 6 6 0 0 0 )解　从四种邮票中选取不超过三张的取法 :共有 =Ｃ1 4 +Ｃ24 +Ｃ34=4+6 +4=1 4(种 )那么　Ｒ≤ 1 4.设四种邮票的面值分别是ａ ,ｂ ,ｃ ,ｄ .(∈Ｎ) .且　ａ<ｂ<ｃ <ｄ .所以　ａ =1 …     

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2006年11月号问题解答(解答由问题提供人给出)1641如图,BC是半圆O的直径,AC⊥BC于C,AD切半圆于D,设圆的半径为r,且BD OA=29r,求:AD.(安徽省肥西中学刘运宜231200)解连结OD、CD.因为AD是半圆O的切线,所以OD⊥AD,即∠ADO=90°.又因为AC⊥BC,所以∠ACO=90°,所以∠ADO ∠ACO=180°     

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20 0 4年 6月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 4 96　已知M ,N是正方形ABCD的边BC ,DC延长线上的点 .求证 :正方形ABCD的面积与三角形CMN的面积相等的充要条件是∠MAN =45°.(中南大学附属铁道中学　李一麟　 410 0 0 4)解 　如图 ,以点B为原点 ,BC为横轴 ,BA为纵轴建立直角坐标系 .设正方形的边长为 1 .∠DAM =α ,点A( 0 ,1 ) ,M(cotα ,0 ) .若∠MAN =45°,则N 1 ,1 -tan( π4 α) ,｜CM｜ =cotα- 1 ,｜CN｜=tan( π4 α) - 1 .S MCN =12 (cotα- 1 ) [tan( π4 α) - 1 ]=12 ( 1 -tanαtanα ) 2tanα1 -tanα=1 …     

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20 0 4年 8月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 5 0 6　在△ABC中 ,AB=AC ,∠B的平分线交AC于D ,且BC =BD AD .求∠A .(山东大学数学与系统科学学院 3 62信箱　王大鹏　2 50 1 0 0 )解法 1 　在BC上取一点E ,使BE =BD .连结DE .因为AB =AC ,所以∠ABC=∠C .设∠C =2α ,因为     

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20 0 4年 9月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 5 1 1 　锐角△ABC中 ,∠A=60°,H ,I,O分别为垂心、内心、外心 ,连结AI并延长交BC于P ,连结BI并延长交AC于Q .求证 :BH=IO的充要条件是AB BP=AQ QB .(湖南师大数学系　沈文选 )( 1 )充分性 :如图 ( 1 ) ,延长AB到B1 ,使BB1 =     

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2004年3月号问题解答 (解答由问题提供人给出)1481 四边形ABCD中,G1,G2,G3,G4,分别为△BCD,△CDA,△DAB,△ABC的重心,求证:SG1G2G34=(1/9)SABCD. (天津市赤土中学 贯福春 300300) 证明 取BC的中点M,连接AM,DM,则     

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20 0 4年 2月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 4 76　设锐角△ABC的外接圆、内切圆的半径分别为R ,r.求证垂心到三顶点的距离之和为 2 (R +r) .(山东单县二中　齐行超　 2 7430 0 )证明　如图 ,设△ABC的垂心为H ,则 AHsinABH=ABsinAHB即AHsin ( π2 -A)=ABsin (π -C)因为　 AHcosA=ABsinC=2R ,　　同理 BHcosB=2R ,CHcosC=2R ,所以　AH +BH +CH=2R (cosA +cosB +cosC)=2R ( 1 + 4sinA2 sin B2 sin C2 )=2 (R +R·rR)=2 (R +r)1 4 77　试证明 :具有公共焦点的椭圆和双曲线 ,若它们的离心率互为倒数时 ,则以它…     

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20 0 4年 7月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 5 0 1　设点O、I、P分别为△ABC的外心、内心和BC边外的旁切圆圆心 ,R和ra分别为外接圆半径和BC边上的旁切圆半径 .AD是高 ,且R=ra,求证点I在OD上 .(辽宁省瓦房店市第二十五中　田　晶　 1 1 63 0 9)证明 　如图 ,设AP交OD于I′,交BC于H ,交⊙O于M .⊙P切BC于E .连结OM、MC、PE .作直径AK ,连结KC .则∠ABC =∠AKC ,∠ADB =∠ACK=90° .于是∠BAD =∠CAK .由点P为旁心知∠BAP=∠CAP .所以∠DAM =∠KAM .又∠KAM =∠OMA ,故OM ∥AD .　　所以 AI′I′M =…     

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20 0 4年4月号问题解答(解答由问题提供人给出)1 486　求函数f(x) =x( 1 -x)(x+ 1 ) (x+ 2 ) ( 2x + 1 ) ,x∈( 0 ,1 ]的最大值解　记f(x) =y ,令x=1 -t1 +t( 0 ≤t<1 ) ( 1 )代入f(x) ,可得y=t( 1 -t2 )9-t2 ( 2 )引入待定正常数α,得y=αt( 1 -t2 )α( 9-t2 ) ≤(α2 +t2 ) ( 1 -t2 )2α( 9-t2 )=α2 + ( 1 -α2 )t2 -t42α( 9-t2 )=- 12α( 9-t2 ) + 8( 9+α2 )9-t2 + 1 7+α22α≤- 12α·2 8( 9+α2 ) + 1 7+α22α=1 7+α2 - 42 ( 9+α2 )2α(定值) ( 2′)以上y取最大值的条件是:t=α9-t2 =8( 9+α2 )9-t2　(α>0 ,t∈[0 ,1 ) ) .解出…     

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20 0 3年 1 0月号问题解答(解答由问题提供人给出 )145 6　如图 ,在⊙O中 ,两弦AC、BD垂直于P .过A、B、C、D分别作⊙O的切线 ,相交于E、F、G、H ,求证 :AEAH =PBPD =CFCG,或 BEBF =APPC =DHDG证明　分三步证 :Ⅰ )过H引FG的平行线与AC交于X ,则∠GCA =∠HXA又因∠GCA =∠HAC所以∠HXA=∠HAC　即得HA=HX同样地 ,过H引EF的平行线与BD交于Y ,则有HD =HY又因HA =HD　所以HX =HY　　①设AC与HF交于P1 ,则有 HP1 P1 F =HXFC　　②又设BD与HF交于P2 ,则有 HP2P2 F =HYFB　　③又因在FB =FC　④结合…     

对数学通报《数学问题解答》专栏的一点建议

数学通报《数学问题解答》专栏经常提出一些颇有兴趣的数学问题，刊载一些独到的解题技巧不仅对中学师生帮助很大，对我们也有很大的参考价值．几十年来数学通报保留了这一特色栏目，越来越起到了对全国的初等数学教学促进和指导的作用．最近看到2006年第6期上《一个“数学问题”的简解》一文，为了把《数学问题解答》这个栏目办得更具特色，想提一个建议：     

与现实生活联系密切的数学应用题

数学应用题是近年来高考改革的一个热点 ,也是学生感到十分棘手的一个问题 .数学应用题就在现实生活中 ,比如 ,“住房、医疗改革与结构工资问题”、“人员分流与创办经济实体问题”、“分期付款”与“购物方式”等问题 ,是人们常感兴趣的话题 .然而 ,这些问题与数学有十分密切的联系 ,你是否意识到呢 ?下面就这些问题选择几例 .1　结构工资问题例 1　某公司取消福利分房和公费医疗 ,实行年薪制工资结构改革 .该公司从 2 0 0 1年起 ,每人的工资由三个项目组成并按下表规定实施 :项　目金额 (元 /人 ,年 )性质与计算方法基础工资 10 0 0 0元 …     

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2008年4月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 1726 已知△ABC为锐角三角形,AB≠AC,以BC为直径的圆分别交边AB、AC于M、N,BC的中点为O,∠BAC的平分线和∠MON的平分线交于R点,△AMN、△BMR、△CNR的外心分别为O1、O2、O3.