复数

选择题1.若ａ ,ｂ∈Ｒ ,则ａ =0是ａ +ｂｉ为纯虚数的(　　 )(Ａ)充分不必要条件 .(Ｂ)必要不充分条件 .(Ｃ)充要条件 .(Ｄ)既不充分又不必要条件 .2 .实数ｘ ,ｙ满足 (1+ｉ)ｘ + (1-ｉ) ｙ =2 ,则ｘｙ的值是 (　　 )(Ａ) 1.　 (Ｂ) 2 .　 (Ｃ) - 2 .　 (Ｄ) - 1.3.复数ｉ- 1ｉ6的虚部为 (　　 )(Ａ) 8.　 (Ｂ) - 8.　 (Ｃ) 6 4 .　 (Ｄ) 0 .4 .复数ｚ满足 |ｚ| 2 =ｚ2 ,则ｚ一定是 (　　 )(Ａ)零 .　　　　　　 (Ｂ)任意实数 .(Ｃ)任意虚数 . (Ｄ)任意复数 .5 .已知复数ｚ满足ｚｚ =ｚ +ｚ ,则ｚ在复平面内对应点的轨迹是 (　　 )(Ａ)直线 …     

纯虚数的充要条件及应用

纯虚数是高中数学复数这一章中较重要的概念之一 .本文就纯虚数的充要条件与相关题的解题策略浅谈见解 .1　纯虚数的充要条件由纯虚数的定义 ,不难得到下面的结论 1.结论 1　复数ｚ =ａ ｂｉ (ａ ,ｂ∈Ｒ)是纯虚数的充要条件为ａ =0且ｂ≠ 0 .结论 2　复数ｚ是纯虚数的充要条件为ｚ ｚ =0 (ｚ≠ 0 ) .证　 (充分性 )设ｚ =ａ ｂｉ (ａ ,ｂ∈Ｒ) .∵ｚ ｚ =0 ,∴ａ ｂｉ ａ -ｂｉ=0 ,∴ａ =0 .而ｚ为非零复数 ,则ｂ≠ 0 ,∴ｚ为纯虚数 .(必要性 )ｚ =ａ ｂｉ (ａ ,ｂ∈Ｒ)是纯虚数 ,则ａ= 0且ｂ≠ 0 .∴ｚ =ｂｉ,则ｚ ｚ =ｂｉ …     

利用复数的性质z=|z|~2解高考题

教材中关于共轭复数的性质有下面一条 :一对共轭复数ｚ , ｚ的乘积是一个实数 ,且这个实数等于每一个复数的模的平方 ,即ｚ ｚ =|ｚ| 2 =| ｚ| 2 .这一性质可以实现复数乘法与复数模之间的转换 .运用这种转换 ,可以使解题过程更为简捷、新颖 .本文以高考试题为例 ,谈其四种应用 ,以供参考 .1　用于求复数例 1　 (1989年全国高考题 )设复数ｚ满足关系式ｚ |ｚ| =2 ｉ,那么ｚ =(　　 )(Ａ) - 34 ｉ.　　 (Ｂ) 34-ｉ.(Ｃ) - 34-ｉ. (Ｄ) 34 ｉ.解　由已知可得ｚ =2 - |ｚ| ｉ,则 ｚ =2 - |ｚ|-ｉ ,两式相乘得ｚ ｚ =(2 - |ｚ| ) 2 -ｉ2 ,…     

一个复数设置问题的探究

问题　应用复数知识求函数 ｙ =ｘ2 + 9+ｘ2 - 2ｘ + 5的最小值 .在一次课堂练习中 ,笔者提出以上问题 ,第一步同学们都能将此函数式化为ｙ =ｘ2 + 9+ (ｘ - 1) 2 + 4 ,转化为利用复数的模的性质来求解 .但在第二步设复数具体解的时候 ,所设复数可以说五花八门 ,而所得结果不外乎两种 ,简录四种如下 :(以下ｘ均为实数 )1)设复数ｚ1=ｘ + 3ｉ,ｚ2 =ｘ - 1+ 2ｉ,则原函数可化为 ｙ =|ｚ1| + |ｚ2 |≥ |ｚ1-ｚ2 | =| 1+ｉ| =2 .2 )设ｚ1=ｘ + 3ｉ,ｚ2 =1-ｘ - 2ｉ,则原函数可化为 ｙ =|ｚ1+ |ｚ2 |≥ |ｚ1+ｚ2 | =| 1+ｉ| =2 .3)设ｚ1=ｘ + 3ｉ…     

复数的模与共轭复数

模与共轭复数是复数的两个重要概念 .为此 ,我们先罗列模与共轭复数的一些性质 .1　共轭复数的性质1)ｚ1 ｚ2 =ｚ1 ｚ2 ( 表示加、减、乘、除 ) ;2 )ｚ =ｚ ｚ∈Ｒ ;3)ｚ =-ｚ ｚ∈ {纯虚数 }∪ { 0 } ;4 )Ｒｅ(ｚ) =ｚ +ｚ2 ,Ｉｍ(ｚ) =ｚ -ｚ2 .2　复数模的性质1)ｚ·ｚ =|ｚ| 2 =|ｚ| 2 ;2 ) |ｚ1·ｚ2 | =|ｚ1|·|ｚ2 | ;3) ｚ1ｚ2=|ｚ1||ｚ2 | (ｚ2 ≠ 0 ) ;4 ) |ｚ1| - |ｚ2 | ≤ |ｚ1±ｚ2 |≤ |ｚ1| + |ｚ2 | ,其中左边等号成立的充要条件是 :ｚ1,ｚ2 对应的向量ＯＺ1与ＯＺ2 反向 ;右边等号成立的充要条件是 :ｚ1,ｚ2对应的向量Ｏ…     

巧用z与的关系解题

在复数学习中 ,经常遇到涉及以实数或纯虚数为条件或判断复数为实数或纯虚数的问题 .如果按照常规 ,根据概念来分析与判断 ,有时计算非常复杂 .下面关于ｚ与 ｚ的两个命题能提供一条途径 ,使得上述计算简化 ,同时能加深对复数概念的理解 .命题 1　复数ｚ为实数的充要条件是 : ｚ=ｚ .证　设ｚ =ａ ｂｉ,则 ｚ =ａ -ｂｉ.ｚ∈Ｒ ｂ =0 ｚ = ｚ .命题 2　设ｚ≠ 0 ,则ｚ为纯虚数的充要条件是 ｚ =-ｚ .证　∵ｚ≠ 0 ,设ｚ =ａ ｂｉ,则ａ ,ｂ不全为 0 .ｚ为纯虚数 ａ =0且ｂ≠ 0 ａ ｂｉ ａ -ｂｉ=0 ｚ ｚ =0 .例 1　设复数α ,β ,…     

复数运算的几何意义

自从复数与复平面上的点建立一一对应的关系之后 ,复数与几何便结下了不解之缘 .复数的运算表现出明显的几何意义 ,解题中若能恰当地应用 ,便能获得简捷的解法 .复数加、减法的几何意义即为向量的合成与分解 ,可简化为三角形法则 ;复数乘法、乘方与除法的几何意义即为向量的旋转变换和伸缩变换 ;复数开方的几何意义可概括为圆内接正多边形法则 .除此之外 ,还应重视以下结论 :1 )ｚ -ａ表示由ａ(对应的点Ａ)指向ｚ(对应的点Ｚ)的向量 ,即ＡＺ =ｚ -ａ .2 ) |ｚ -ａ|表示ａ(对应的点 )到ｚ(对应的点 )的距离 .3 )若ｚ1ｚ2 ≠ 0 ,则 |ｚ1+ｚ2 |…     

不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|的补注

“|ａ| -|ｂ|≤ |ａ±ｂ|≤ |ａ| + |ｂ|”是高中数学中的一个重要不等式定理 ,它是处理含有绝对值问题的一个重要工具 .课本主要介绍它在证明不等式中的应用 ,而其它方面很少涉及 ,且何时取等号也未指明 ,但在高考中却多次考查到 .为此本文加以补充并例谈其应用 .一、定理的补注1.等号成立的条件|ａ +ｂ| =|ａ| + |ｂ| ａｂ≥ 0 ;|ａ -ｂ| =|ａ| + |ｂ| ａｂ≤ 0 ;|ａ| -|ｂ| =|ａ +ｂ| (ａ +ｂ)ｂ≤ 0 ;|ａ| -|ｂ| =|ａ -ｂ| (ａ -ｂ)ｂ≥ 0 .2 .字母ａ ,ｂ的范围其实ａ ,ｂ不仅在实数中成立 ,且在复数集中也成立 .同时右边不等式…     

关于复数的一个充要条件及其应用

命题　ｚ1,ｚ2 是两个模相等的非零复数 ,则 (ｚ1+ｚ2 ) 2 =λ2 ｚ1ｚ2 的充要条件是 |ｚ1+ｚ2 | =λ|ｚｋ|(其中λ∈Ｒ+ ,ｋ =1,2 ) .证　①∵ (ｚ1+ｚ2 ) 2 =λ2 ｚ1ｚ2 ,∴ (ｚ1+ｚ2 ) 2 =λ2 ｚ1ｚ2 ,两式相乘得 |ｚ1+ｚ2 | 4 =λ4 |ｚｋ| 4 ,∴ |ｚ1+ｚ2 | =λ|ｚｋ| (其中λ∈Ｒ+ ,ｋ =1,2 ) .②∵ |ｚ1| =|ｚ2 | ,∴ｚ1=ｚ2 ｚ2ｚ1,∴ｚ1+ｚ2 =ｚ2 (ｚ1+ｚ2 )ｚ1,由 |ｚ1+ｚ2 | =λ|ｚ2 |得(ｚ1+ｚ2 ) (ｚ1+ｚ2 ) =λ2 ｚ2 ｚ2 ,所以有 (ｚ1+ｚ2 ) 2 =λ2 ｚ2 ｚ1,则 (ｚ1+ｚ2 ) 2 =λ2 ｚ1ｚ2 .综合① ,② ,命题得证 .这个性质用于…     

等式 z·=|z|~2||~2应用一例

复数运算是复数一章的重点,而共轭复数的性质在解题中起作一定的作用,等式z·z=|z|~2=|z|~2沟通着复数与实数的运算,是这两种运算互相转化的有力工具,下面举一例在求复数上的应用。例设z为复数,且|z|=1,若z~2 2z 1/z是负实数,试求z。解设W=z~2 2_z 1/z,则W=-W 即 z_2 2_z 1/z=z~2 2_z十1/z=z~2 2z 1/z     

高二数学同步测试题

复数的代数形式及其运算选择题1　复数ａ ｂｉ(ａ ,ｂ∈Ｒ)所对应的点在虚轴上的充要条件是 (　　 )(Ａ)ｂ =0 . (Ｂ)ａ =0 .(Ｃ)ｂ =0 ,ａ≠ 0 . (Ｄ)ａ =0 ,ｂ≠ 0 .2　已知ｘ =- 1 3ｉ2 ,ｙ =- 1- 3ｉ2 ,则下列各式中一定成立的是 (　　 )(Ａ)ｘ5 ｙ5=1. (Ｂ)ｘ7 ｙ7=- 1.(Ｃ)ｘ9 ｙ9=- 1. (Ｄ)ｘ11 ｙ11=1.3　设ｚ1,ｚ2 为复数 ,下列四个结论中正确的是(　　 )(Ａ)若ｚ21 ｚ22 >0 ,则ｚ21>-ｚ22 .(Ｂ) |ｚ1-ｚ2 | =(ｚ1 ｚ2 ) 2 - 4ｚ1ｚ2 .(Ｃ)ｚ21 ｚ22 =0的充要条件是ｚ1=ｚ2 =0 .(Ｄ)ｚ1ｚ2 ｚ1ｚ2 一定是实数 .4　设ｚ∈Ｃ…     

高二数学同步训练题

同步内容 :复数的概念 ,复数的运算 ,坐标变换 .选择题 (共 14个小题 ,第 1— 10题每小题 4分 ,第 11— 14题每小题 5分 ,共 6 0分 )1　如果用Ｃ ,Ｒ ,Ｉ分别表示复数集、实数集和纯虚数集 ,其中Ｃ为全集 ,那么有 (　　 )(Ａ)Ｃ =Ｒ∪Ｉ .　　 (Ｂ)Ｒ∩Ｉ ={0 }.(Ｃ)Ｒ∩Ｉ = .　　 (Ｄ)Ｒ =Ｃ∩Ｉ .2　下面四个式子中 ,正确的是 (　　 )(Ａ) 3ｉ>2ｉ.　　　 (Ｂ) | 2 3ｉ| >| 1- 4ｉ| .(Ｃ) | 2 -ｉ| >2ｉ4.　　(Ｄ)ｉ2 >-ｉ .3　ｚ与1-ｚ22 是两个共轭虚数 ,则ｚ是 (　　 )(Ａ) 1 2ｉ.　　　 (Ｂ) 1± 2ｉ.(Ｃ) - 1 2 ｉ . (Ｄ) - 1±…     

求复数模的最值的常用策略

复数的模是复数中的重要概念之一 ,复数ｚ的模 |ｚ|是其对应点Ｚ到原点的距离 (复数模的几何意义 ) .复数模的最值问题既是复数问题中的一个重点 ,也是一个难点 .其最常用的策略有 :用函数思想、方程思想可将问题转化为代数法或三角法 ,用数形结合思想可将问题转化为几何法 ,用重要的不等式公式可将问题转化为不等式法 .下面我们就来分别举例说明这几种策略 .1　用代数法求最值用代数法求复数模的最值 ,在这里是指把问题转化为求代数中的最值问题来解决 .例 1　已知复数ｚ满足 |ｚ - (2 + 3ｉ) | + |ｚ -(2 - 3ｉ) | =4 ,试求 |ｚ|的最值 .…     

复数一个结论的应用

由复数乘法的几何意义不难得到以下结论:“两个非零复数Z1、Z2对应的向量OZ1⊥OZ2的充要条件是Z1/Z2为纯虚数,即Z1/Z2=λi (λ∈R,且λ≠0).”进一步,根据复数减法的几何意义,非零向量是纯虚数. 利用上述结论,可以快捷地解答有关复数问题. 例1 已知非零复数Z1、Z2满足|Z1 Z2|=|Z1-Z2|,则(Z1/Z2)2一定是( ).     

利用复数的性质^-zz=｜z｜^2解高考题

教材中关于共轭复数的性质有下面一条：一对共轭复数z，^-z的乘积是一个实数，且这个实数等于每一个复数的模的平方，即^-zz=|z|^2=|^-z|^2，这一性质可以实现复数乘法与复数模之间的转换．运用这种转换，可以使解题过程更为简捷、新颖．本文以高考试题为例，谈其四种应用，以供参考．     

巧妙变化耳目一新--利用共轭复数的性质解复数方程

复数方程是复数学习中的一个重要内容 ,我在教学中发现 ,不少学生总是迫不及待地将方程中的变量设为代数形式或三角形式 ,将方程转化为实数方程解决 ,然而这种方法有时是非常费时费力的 .当遇到这种情况时 ,我们需要引导学生在解决问题的同时 ,再探求更加简单的方法 .共轭复数的概念在复数学习中占有极其重要的地位 ,若能在解复数方程中灵活运用 ,则可以大量减少运算量 ,起到事半功倍的效果 .共轭复数的性质有很多 ,在此列举几条供大家参考 :( 1 ) z∈ R　 　 z=z;( 2 ) z是纯虚数 ( z≠ 0 )　 　 z z =0或 z2 =- | z| 2 ;( 3) | z| 2 …     

解复数题的几个误区

实数集扩充成复数集后 ,有些在实数集成立的性质 ,在复数集不再成立了 .在复数集中建立了许多新概念、性质和法则 .许多同学对于新的东西理解不深 ,应用不力 ,故常犯错误 .一、混淆复数的模和实数的绝对值例 1　关于x的实系数方程x2 +4x +p=0 ,有两个虚根为α、β ,且 |α -β|=2 .求P的值 .错解　由韦达定理 ,得α +β =-4 ,　αβ =p .又　 |α -β|2 =(α -β) 2=(α +β) 2 -4αβ=( -4 ) 2 -4 p=4.∴　 16-4 p =4,　∴　p =3 .辨析　此题解法似乎正确 ,但实际上是错误的 .错在 |α -β|2 =(α -β) 2 ,例如α -β =2i时 ,|α -β|2 =|…     

圆锥曲线定义与范围联用事半功倍

高级中学试验修订本数学第二册 (上 )第八章介绍了圆锥曲线的定义和范围 ,在解决有关问题时 ,若能灵活运用它们 ,则可事半功倍 .例 1　 ( 1 998年希望杯赛题 )Ｅ ,Ｆ是椭圆ｘ24 + ｙ2 =1的左 ,右焦点 ,Ｐ是椭圆上的动点 ,则 |ＰＥ|·|ＰＦ|的最小值是 .解　由椭圆第二定义知 |ＰＥ|·|ＰＦ| =ｅ| ａ2ｃ-ｘＰ|·ｅ| ａ2ｃ+ｘＰ| =|ａ -ｅｘＰ|·|ａ +ｅｘＰ| =|ａ2 -ｅ2 ｘＰ2 | =| 4- 34ｘ2 Ｐ| .由椭圆范围知ｘ2 Ｐ≤ａ2 =4 .∴ |ＰＥ|·|ＰＦ|ｍｉｎ =| 4- 34·4 | =1 .例 2　 ( 2 0 0 2年全国高考题 )点Ｐ( 1 ,0 )到曲线 ｘ =ｔ2ｙ =2ｔ(…     

综合题新编选登

题 1 1　已知复数 -4 ,4,ｚ0 分别对应复平面内的点Ａ ,Ｂ ,Ｃ ,ｚ0 不在实轴上 ,|ｚ0 |=8.1 )求△ＡＢＣ的外接圆圆心Ｍ的轨迹Ｃ ;2 )若Ｎ是圆 (ｘ -4 ) 2 ( ｙ -ｂ) 2 =4上的动点 ,求 |ＭＮ|ｍｉｎ=ｆ(ｂ)的最大值 ;3 )若二次方程 2ｘ2 ( 2ｍ 4 )ｘ ｍ2 4=0有实根 ,且抛物线 ( ｙ-ｎ) 2 =92 (ｘ ｍ)与轨迹Ｃ有两个不同的交点 ,求实数ｎ的取值范围 .解　 1 )设ｚ0 =ｘ0 ｙ0 ｉ (ｘ0 ,ｙ0 ∈Ｒ) ,则ＡＣ的中点坐标为 ( ｘ0 -42 ,ｙ02 ) ,∴ＡＣ边的中垂线方程为ｙ-ｙ02 =-ｘ0 4ｙ0(ｘ -ｘ0 -42 ) ( 1 )又ＡＢ边的中垂线方程为ｘ =0 …     

一道课本习题的商榷

全日制普通高级中学教材 (试验修订本 (必修 )人民教育出版社编 )《数学》第一册 (下 )Ｐ 15 1复习参考题Ｂ组练习第 4题 :已知ａ +ｂ =ｃ,ａ -ｂ =ｄ ,求证 :|ａ| =|ｂ| ｃ⊥ｄ .我们认为由ａ +ｂ =ｃ,ａ -ｂ =ｄ ,|ａ| =|ｂ|并不能推出ｃ⊥ｄ .例 1　当ａ =ｂ=0时 (此时 |ａ| =|ｂ| ) ,则ｃ =ｄ =0 .例 2　当ａ =ｂ≠ 0时 (此时 |ａ| =|ｂ| ) ,则ｄ =0 .例 3　当ａ =-ｂ≠ 0时 (此时 |ａ| =|ｂ| ) ,则ｃ=0 .以上三例虽然有 |ａ| =|ｂ| ,但均不能推出ｃ⊥ｄ(因为 0与任一向量平行 ) .综上所述 ,此题有误 .笔者认为应改为 :已知ｃ ,ｄ为非…