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相似文献
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1.
一、在正整数集合中 ,求方程 1a2 + 1b2 + 1c2 + 1d2 =1的所有的解 .解 :显然正整数a ,b,c,d中任何一个都不能为 1 .否则 ,不妨设a =1 ,有 1a2 + 1b2 + 1c2 + 1d2 =1 + 1b2 + 1c2+ 1d2 >1 .因此 ,正整数a,b ,c,d中每一个都大于 1 .假设其中有一个大于 2 ,例如a≥ 3 ,则有 1a2 + 1b2 + 1c2 +1d2 ≤ 19+ 14 + 14 + 14 <1 .因此 ,正整数a ,b ,c,d中每一个都不能大于 2 ,所以综上所述 ,只有a =b =c=d= 2 .将a =b =c =d =2代入方程即知这组数为方程的解 .答 :略 .二、设x ,y ,z为三个互不相等的实数 ,且…  相似文献   

2.
1  (第 4 7届拉脱维亚数学奥林匹克 )已知a ,b是互不相同的自然数 ,求证 :存在无穷多个自然数n ,使得a +n与b +n互素 .证 不妨设c =a -b >0 ,则存在非负整数 q ,r ,使得b =qc +r ,这里 0≤r≤c -1 ,令n =c +1 -r +kc ,这里k为非负整数 ,则a +n =(b +c) +(c+1 -r +kc)=qc+r +2c+1 -r +kc=(q +k +2 )c+1 .b +n =(q +n +1 )c +1 .设d是a +n与b +n的最大公约数 ,则d|(a +n) - (b +n) =a -b =c,∴d|1 ,∴d =1 .∴a +n与b +n互素 .2  (拉脱维亚第 4 7届数学奥林匹克 )是否…  相似文献   

3.
数形结合法是解题的基本方法之一 ,许多选择题也可转化为图形问题 ,用数形结合法直图 1接揭示问题的本质 ,直观地看到问题的结果 ,稍加计算或推导就行了 .例 1 函数y=ax,y =bx,y=cx,y =dx 的图像如图 1所示 ,则下列四个式子中 ,成立的是 (   ) .(A)a <b<1 <c<d(B)b <a <1 <d <c(C)a <b<1 <d <c(D)c<d <1 <a <b解 作直线x =1与四条曲线依次交于A、B、C、D ,这四个点的纵坐标分别是a、b、c、d ,由图 1可见 c>d >1 >a >b,故选 (B) .例 2 如果 3sinθ +2cosθ =0 ,那么角 2θ所在的…  相似文献   

4.
波兰数学奥林匹克试题及解答1 设n≥ 3为正整数 ,证明 :所有与n互质且不超过n的自然数的立方和是n的倍数 .2 在锐角三角形ABC中∠ACB =2∠ABC ,点D是BC边上一点 ,使得2∠BAD =∠ABC .证明 :1BD=1AB 1AC.3 已知正实数a ,b ,c的和等于 1 ,证明 :a2 b2 c2 2 3abc≤ 1 .4 圆周上的点都被染上了某三种颜色中的一种 ,证明 :在这个圆周上存在三个点 ,它们是某个等腰三角形的顶点 ,且它们同色 . 5 求所有的正整数对 (a ,b) ,使得a3 6ab 1与b3 6ab 1都是完全立方数 .6 点X是Rt△…  相似文献   

5.
抛物线y =ax2 +bx+c如果与x轴有两个交点 ,以这两点及与y轴交点为顶点的三角形是等腰三角形的充分必要条件是b =0或者b2 =ac(ac+3 ) 2ac+2 .下面加以分析 :(1 )不难证明当b=0时 ,△ABC为等腰三角形 (AC =BC) .当AC =BC时 ,b=0 .图 2图 1(2 )如图 2 ,设A(x1 ,0 ) ,B(x2 ,0 ) .C点坐标为 (0 ,c) .因此 x1 =-b- b2 - 4ac2a ,x2 =-b +b2 - 4ac2a .又∠BOC =90°由勾股定理知BC2 =OB2 +OC2= -b+b2 - 4ac2a2 +c2 而AB=b2 - 4aca(这里以a>0为例 ) .当AB =BC时 ,则b2 -…  相似文献   

6.
相似形是初中几何的重要内容 ,有关线段成比例问题更是这部分习题的重中之重 .但是由于这部分内容概念性强 ,对应讲究 ,因而不少同学总会出现这样那样的错误 .我在批阅作业和试卷时发现一些常见错误 ,剖析如下 .一、忽视四条线段成比例时的顺序性已知线段a =2cm ,b =4cm ,c =1 0cm .那么线段b、c、a的第四比例项d =(   ) .(A) 2 0cm    (B) 5cm(C) 0 .8cm (D)不能确定错解 ∵ b、c、a、d成比例 ,∴ a∶b =c∶d ,即 2∶4=1 0∶d .∴ d =2 0 (cm) .故应选 (A) .剖析 四条线段成比例时具有顺序…  相似文献   

7.
在不等式证明中 ,若能根据其结构特点 ,构造向量 ,运用向量的数量积知识 ,则可使问题得到出其不意地解决 .例 1 已知a、b、c、d∈R ,求证 :(ac+bd) 2 ≤ (a2 +b2 ) (c2 +d2 ) .证明 构造向量m—→ =(a ,b) ,n—→=(c ,d) ,设m—→ 与n—→ 的夹角为θ ( 0≤θ≤π) ,则 m—→·n—→ =ac +bd ,  |m—→| =a2 +b2 ,   |n—→| =c2 +d2 ,∵ m—→·n—→ =|m—→|·|n—→|cosθ≤ |m—→|·|n—→| ,∴  (ac+bd) 2 ≤ (a2 +b2 ) (c2 +d2 ) .例 2 设x ,y∈R+ ,且x + y =1 ,…  相似文献   

8.
初一年级1 .两边连续乘以 2 ,得 12 x + 2 =4,∴ x =4.2 .∵ AB·AAAA =AB·AA·1 0 1 ,ABAB·AA =AB·1 0 1·AA ,∴ 等式成立 .3.分类比较三个有理数的两种表达形式 ,得出a =-1 ,b =1 .故所求式的值为 0 .初二年级1 .由已知得  5 =x -1 .∴ 原式 =x3 -( 2 +x -1 )x2 + ( 1 + 2x-2 )x -x + 1 + 2 0 0 3=x2 -2x + 2 0 0 4=(x -1 ) 2+ 2 0 0 3=2 0 0 8.2 .原式 =a2 d2 -2abcd +b2 c2 +a2 c2+ 2abcd +b2 d2=(a2 +b2 ) (c2 +d2 )=1× 2 0 0 3=2 0 0 3.3.如图 ,记Ai(i =1 ,2 ,…  相似文献   

9.
全日制普通高级中学教材 (试验修订本 (必修 )人民教育出版社编 )《数学》第一册 (下 )P 15 1复习参考题B组练习第 4题 :已知a +b =c,a -b =d ,求证 :|a| =|b| c⊥d .我们认为由a +b =c,a -b =d ,|a| =|b|并不能推出c⊥d .例 1 当a =b=0时 (此时 |a| =|b| ) ,则c =d =0 .例 2 当a =b≠ 0时 (此时 |a| =|b| ) ,则d =0 .例 3 当a =-b≠ 0时 (此时 |a| =|b| ) ,则c=0 .以上三例虽然有 |a| =|b| ,但均不能推出c⊥d(因为 0与任一向量平行 ) .综上所述 ,此题有误 .笔者认为应改为 :已知c ,d为非…  相似文献   

10.
众所周知 ,对于一元二次方程ax2 bx c =0(a≠ 0 ,a ,b,c∈R) ,当Δ =b2 - 4ac≥ 0时 ,在实数集内有两根 ;当Δ <0时 ,在实数集内无根 ,但在复数集内有两根 .但对形如ax2 b|x| c=0 (a≠ 0 ,a ,b,c∈R)的方程 ,其根的情况与系数间的关系就复杂得多 .以下是关于此方程根的存在性情况的讨论 .1 在实数集内根的情况结论 1 对方程ax2 b|x| c =0 (a≠ 0 ,a ,b ,c∈R) (Ⅰ )当a ,b ,c满足条件b2 - 4ac >0- b2a>0ac>0(1)时 ,在实数集内有四个根 ;当a ,b ,c满足条件b2 - 4ac >0ac<0 (2 )时 …  相似文献   

11.
选择题1 给出如下四个命题 :①若a >b ,则ac2 >bc2 ;②若 ac2 >bc2 ,则a >b ;③若a≥b ,ac≥bc,则c≥ 0 ;④若a >b ,则lg(a2 1) >lg(b2 1) .其中正确命题的个数是 (   )(A) 1个 .  (B) 2个 .  (C) 3个 .  (D) 4个 .2 实数a ,b满足 0 <a <b且a b =1,则下列四个数中最大的是 (   )(A) 12 .     (B)a2 b2 .(C) 2ab . (D)a .3 设x >0 ,y >0 ,x y =1,则使 x y≤a恒成立的a的最小值是 (   )(A) 22 .       (B) 2 .(C) 2 . (D) 2 2 .4 已知 0 <2m <1,则…  相似文献   

12.
设△ABC的三边为a、b、c,相应边上的旁切圆半径为ra、rb、rc,文 [1]证明了   ∑(rb +rc) 2 ≥ 34∑(b +c) 2 ( 1)并提出关于指数推广的猜想 :  ∑(rb+rc) k ≥ ( 32 ) k∑(b+c) k ( 2 )其中k &;gt;0 ,∑ 表示对a、b、c轮换求和 .本文证明猜想不等式 ( 2 )成立 .引理  ∑ rb+rcb +c ≥ 332 ( 3)证明 由公式ra =rss -a(r、s分别是△ABC的内切圆半径和半周长 )易证ra(rb +rc) =as ,于是 rb+rc =asra=a(s-a)r =actg A2 ( 4)所以 ,( 3)式等价于刘健证得的不等式[2 ] :   ∑ ab +cctg A2 ≥ 332 ( 5)因此 ,引理得证 .不等式 ( 2 )的证明如下 :(i)当 0 &;lt;k&;lt;1时由 ( 4)式及熟知不等式 :s ≤ 332 R (R是△ABC的外接圆半径 ) ,知  (rb+rc) (rc+ra) (ra+rb)=abc(s -a) (s-b) (s -c)r3=4Rs2 ≥ ( 23s) 3,于是 ∑(rb +rc) k ≥ 3[(rb...  相似文献   

13.
对一个不等式的深入思考   总被引:2,自引:0,他引:2  
问题 在△ABC中 ,角A ,B ,C的对边分别为a ,b ,c ,若A +C≤ 2B ,求证 :a4+c4≤ 2b4.这是《数学教学》2 0 0 1年第 6期问题栏的一道新题 ,我们的深入思考是 :从次数方向探索 ,对自然数n ,此题有无推广的新题呢 ?推广 1 在△ABC中 ,角A ,B ,C的对边分别为a ,b ,c ,若A +C≤ 2B ,求证 :1 )对于 1≤n≤ 4 (n∈N) ,不等式an+cn≤ 2bn 均成立 ;2 )对于n >4 (n∈N) ,不等式an+cn≤2bn不能成立 .证  1 )由原不等式a4+c4≤ 2b4的证明过程易知 ,其等号当且仅当cosB =12 ,且b2 =ac,即a =…  相似文献   

14.
解题时 ,常需将“0”“1”变形 ,使问题得以简化 .一 .“0”的变形与运用关于“0”的变形公式常有 1 ) 0·a =0 ;2 )a -a =0 ;3 )若a·b=0 ,则a =0或b =0 ;4)若a2 +b2 +c2 =0 ,则a=b =c =0 ;5 )若a2 +b +|c|=0 ,则a=b =c =0 .1 .添“0”变形例 1 化简 b -c(a -b) (a -c) +c -a(b -c) (b -a) +a -b(c-a) (c -b) .分析 :在分子中 ,增添“0”并变形为 -a +a ,-b +b ,-c +c.解 :原式 =-a +b+a-c(a-b) (a-c) +-b +c+b -a(b -c) (b -a) +-c+a +c -b(c-a) (c -b)=-1a-c+1a…  相似文献   

15.
《数学通报》2002,(10):47-48,F003
20 0 2年 9月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 91 已知实数a ,b ,c满足不等式|b-c|≥3|a|,|c-a|≥ 3|b| ,|a-b|≥ 3|c| ,求证 :a+b+c=0 .(南昌大学附中 宋庆  3 3 0 0 2 9)证明 因为a ,b,c∈R ,|b-c|≥ 3|a|,所以 (b-c) 2 ≥ 3a2 ,所以 3a2 -b2 -c2 +2bc≤ 0 ,同理得 3b2 -c2 -a2 +2ca≤ 0 ,3c2 -a2 -b2 +2ab≤ 0 ,以上三式相加 ,便得a2 +b2 +c2 +2bc+2ca+2ab≤ 0 ,所以 (a+b +c) 2 ≤ 0 ,所以a+b+c =0 .1 3 92 数列 {an}中 ,an =n3·Π99i=1(n2…  相似文献   

16.
20 0 2年 4月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 366 如图 ,⊙O1 和⊙O2 是△ABC的边AB、AC外的两个旁切圆 ,E、J、G和F、K、H是切点 ,直线EG、FH交于P点 ,直线EJ、FK交于I点 ,AD ⊥BC于D ,求证 :P、A、I、D四点共线 .(江苏省苏州市第十中学 沈建平  2 1 5 0 0 6)证明 设BC=a ,CA=b,AB =c ,R是△ABC外接圆半径 ,直线EG、AD交于P′ ,直线FH、AD交于P″,下面设法证明P、P′、P″是同一点 .因为c+AH=a+CF ,所以c + (b-CF) =a +CF ,CF =b+c-a2 .在Rt△…  相似文献   

17.
平面向量与不等式分别是高中新教材第五、六章内容 .如果我们认真分析不等式的结构特征 ,类比向量相关知识 ,可以建立向量结构 ,用向量方法简捷证明不等式 .例 1 求证 :(ac+bd) 2 ≤ (a2 +b2 ) (c2 +d2 ) .分析 若 (a2 +b2 ) (c2 +d2 )≠ 0 ,原不等式可变形为 ac +bda2 +b2 ·c2 +d2 ≤ 1 .这种结构提示我们构造向量 ,利用两非零向量a—→、b—→的夹角公式cosθ =a—→·b—→|a—→|·|b—→| 求证 .证明设向量OA———→ =(a ,b) , OB———→ =(c,d) .图 1( 1 )当 (a2 +b2 )·(c2 +d2 ) =0…  相似文献   

18.
图 1所示的是常见的钟表表盘 .OA ,OB ,OC分别表示时针 ,分针 ,秒针 ,它们都是绕点O顺时针匀速旋转的 .时针OA每1 2小时旋转 1周 ,即每小时旋转 30°;分针每 6 0分钟旋转 1周 ,即每分钟旋转 6°;秒针每 6 0秒旋转 1周 ,即每秒钟旋转 6°.某一时刻可以表示成a时b分c秒 (a =0 ,1 ,2 ,… ,1 1 ;b =0 ,1 ,2 ,… ,5 9;c∈R ,0≤c<6 0 ) ,也可以表示成t时 (t∈R ,0≤t <1 2 ) ,下文中的字母a ,b ,c ,t均有此限定 .它们之间有以下换算关系 .定理 1 若a时b分c秒就是t时 ,则1 )t=a 16 0 b 136 0 0 c;2 )a =[…  相似文献   

19.
刘治和在 [1 ]中把柯西 (Cauchy)不等式叙述为 :(a1b1+a2 b2 +… +anbn) 2 ≤a21+a22 +… +a2 n b21+b22 +… +b2 n(ai,bi∈R ,i=1 ,2 ,… ,n) ,当且仅当a1b1=a2b2 =… =anbn时等号成立 .这是错误的 .诚然a1b1=a2b2 =… =anbn a1b1+a2 b2 +… +anbn 2= a21+a22 +… +a2 n b21+b22 +… +b2 n但a1b1+a2 b2 +… +anbn 2= a21+a22 +… +a2 n b21+b22 +… +b2 n \a1b1=a2b2 =… =anbn.反例 a1,a2 ,… ,an∈R ,b1=b2 =… =bn= 0 ,a1b1+a2 b2…  相似文献   

20.
题 1 若α、β、γ均为锐角 ,且满足cos2 α+cos2 β +cos2 γ=1.求证 :ctg2 α +ctg2 β+ctg2 γ≥ 32 .证明 如图 1,设以a、b、c为三度的长方体ABCD A1 B1 C1 D1 的对角线AC1 与三条棱AD、AB、AA1 所成角分别为α、β、γ ,则  ctgα=ADDC1=ab2 +c2 ,ctgβ=ABBC1 =ba2 +c2 ,  ctgγ=AA1 A1 C1=ca2 +b2 ,∴ ctg2 α +ctg2 β+ctg2 γ  =a2b2 +c2 +b2a2 +c2 +c2a2 +b2  =a2 +b2 +c2b2 +c2 +a2 +b2 +c2a2 +c2 +a2 +b2 +c2a2 +b2 -3  =(a2 +b2 +c2 ) ( 1b2 +c2 +1a2 +c2 +1a2 +b2 ) -3  =12 [(b2 +c2 ) +(a2 +c2 ) +(a2 +b2 ) ]&;#183;( 1b2 +c2 +1a2 +c2 +1a2 +b2 ) -3 ≥ 12 [(b2 +c2 )&;#183; 1b2 +c2 +(a2 +c2 )&;#183; 1a2 +c2 +(a2 +b2 )&;#183; 1a...  相似文献   

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