一九九一年中国数学奥林匹克试题解答

一、平面上有一个凸四边形月刀口刀, (1)如果平面上存在一点p.使得△月刀尸,△仪华,△cDP和△DAP面积都相等,问四边形A脚要满足什么条件? (2)满足(l)的点尸,平面上最多有几个? 证明你的结论. 解(l)(i)当p在月优’D内部时,如图一,由几捆,”S△‘,知,成和c点到直线I]P的距离相等,     

一个古典几何定理的推广

统编教材《几何》二册有题: 内接于圆的四边形A刀CD对角线月c与刀D垂直相交于K.过K的直线与边摊D、BC分别相交于H和M.那么 (1)’若‘万土乃D,则c材一对B; (2)若C脚=MB,则式H土_月D. 其中(l)是卜拉美古塔(7世纪印度数学家)定理. 由于△B‘‘为直角三角形,所以M为△仪服的外心,因此可作如下推广: 定理过圆内接四边形两对角线交点作任一边的垂线,必过以其对边为一边、以交点为一顶点的三角形的外心.悔 证明如图l,设圆内接四边形月刀‘刀对角线韶、BD相交于尸点,过p作直线PH土AB于H,作DP中垂线交IlP于口,交Dp于刀.我们来证明Q为△…     

数学奥林匹克问题选登

1992年3月号问翅解答 (解答由供坦人给出) 19.设H是平面上△月刀‘区域的任一点,月万、刀万、‘万的延长线交△ABc三边于D、E、F,求证:在△月刀‘区域,存在一个以△刀召尸的某两边为邻边的平行四边形. 证如图,G是△月刀‘的重心,D‘、E‘、F‘分别为肥、“、AB边上中点,则△A肥区域被 一48一划分为六个区域:△AF‘G,△BF‘G,△胳G,才△C刀’G,△口召‘G,△AE‘G,不妨设H点落在△cR,G区域,如~口一口刀一_口召,图易知:筋镇’,兹镇l,篇、,,由塞瓦定李理,得豁·器·釜一1=>器一器·纂、1,器一豁·器、影冷艺BFD)艺FDE,乙”D“)匕…     

塞瓦定理的三维推广

定理l召、尸、G、H、形、N分别为四面体ABcD的棱cD、DB、BC、A刀、AB、月c上的点,若六个平面ABE、月口尸、ADG、召‘万、cDM、DBN共点,则望.禁.嘿·丝一1(l)乃闷召刀刀月万刀口口 证设六个平面交点为0,月口、仪)、‘勺、伪分别交对面于M,、MZ、对3、对;(图1)平面ABE、月口尸、A     

不易发现的失误

(*)式不能用三角形任两边的和大于第三边,据用连结两点的线中线段最短这一重要性质。上述论证中,把“设PE交DD于F’’删去,(*)式改为邢 咫十ED>BD就完全正确了。 有这样一道几何题:△月刀c中,乙A=120。,p是△月zr内任一点,求证:PA PB 代,)月刀十AC。 一同学是这样证明的: 延长6A到D,使月刀=AC,乙BAC=1 200,…匕刀月口=600,:.△月C刀为等边三角形,…月C二摺。 以脚为一边向_,打尸五淤一、;图l上作正△尸C召,连DE,设PE交DD于F(如图l)。则彬二cE,AC~CD,匕尸口月=乙名‘刀,.,.△代悦望△召口刀,…PA二刀召, 丫产公十产孕,>那,护…     

三角形角平分线的一个性质及其应用

:。AB AC A一2弋黔{COS普一2一普·A)乙(l 定理设O口为△月刀‘的外接圆的内(外)角平分线交00于p(Pl),则AB十Ac一ZAPCOS晋}朋一AC}=ZAP,cos汀一A 2(2)证明如图l,乙A的内角平分线交O口于P,连结刀p,易证△月刀尸仍△月2义少,于是有 __月刀·月〔, J心J=~--气二于一一。 ZU夕又由S     

数学奥林匹克问题选登

l,.,年s月号问题解答 (解答由供题人给出)23.在O口外切梯形月刀‘刀中,叨//朋.试证:(l)ADZ+刀叮至<月刀,十刀C,,△月刀C.石净,仪产(头 l。.__了万__).=气犷。职M万犷=--二尸~.刀盯. 乙’乙,_、1 .1_1 .1叹Z)气下十下二吸.丁井十下共. 产U声刃七Z幻口刀L,___,。月,AEEF_了万二,。月。“夕‘‘。‘之几。月‘一几节~石蕊~一气犷~,IIu乙。月L刀笼枯 ZUJL洲奋‘ 证明:设O口切AB、货于M、N,切AD、邵于E、F;显然M、o、万共线,连o月、oD.记乃从=朋=a,刀肘=刀尸一b,角,:.乙刀月口二450.此时乙通刀召=450=匕戒甲, 由四点共圆知识又得乙…     

第五届初中《祖冲之杯》数学邀请赛试题及参考答案

一、选择皿1.如果:=粤沪一l,b护。,那么 廿默等于答〔B〕朋一‘COS‘琳黯-竺二丝=‘上了万、:二土月刀·双,、2’一25.如图,在四边形声。cD中,乙6一乙D~900,乙A(^)一上(B)裂Z宁1(e):一生(o):一二一 岛工十L一。00 .AB一;,AD一5.那么筹等于答[B〕提示:将空的分子、分母同除以阮 任门一p 浦E,,产,(^)一(B)2(e)、/一了第一(5)题图 _、5又”)万-卜 2.在△月刀‘中,若匕A二58。,AB>即,则乙召的取值范围是答〔A] (A)0.邵,所以匕c>匕卢.即乙c>580. 3.设实数。相似文献   

费马问题探讨一得

Fer拼at问题:已知△ABC,找一点尸,使尸A+尸B+尸C为最小. 这是平面几何学中一个脍炙人口的著名问题.问题的答案是大家熟知的,(l)若△ABC的各内角均小于120‘,则当尸点对于三边的视角相等(即乙A尸B‘乙B沁二乙c尸A二120·)时,尸A十尸B十尸c为最小,(2)若△ABC的各内角不全小于12。”,则不小于1加“角的顶点与三顶点的距离之和为最小.在一次数学课外活动时,笔者向学生介绍上F。,。at问题及其推证过程.激起了学生浓厚的兴趣.意外的是有位同学问道:老师,在答案(l)中,尸A+尸B十尸C的值究竞是多少呢牙与原△ABC有什么关系呢?问题提得真好…     

抓住变换,开拓思路

立休几何复习时,化,弓}导学生开拓思路、 一、通过变换题型,让学生多角度的思考。 原题:三棱锥尸一抓住典型题目的各种变培养能力,我的做法是月刀C中,只J_l_平面月刀C,乙月CB二90“,求证:平面尸AC土平面尸BC (图l)。 (C)余弦值是1.(D)正弦值是0. 这样将特殊角的三角函数值寓于其中,当更使学生的认识深化一步。 二、通过变换条件,让学生由浅入深的思考。 原题:圆O在平面aJ匆,P.」L平面a,.j刀是圆O的直径,C是月B上任一点。试间..1在平面尸Bc内的射影落在(图1). 此题学生易证:BC上月C、刀C.LP.4一二)刀C上平面P-吐C一)平而PBC土平…     

关联三边成等差数列的三角形的一个等价命题链

在△月邵中,a油,e分别为角月、刀,c所对边,设 (l)a,乙,e成等差数列则2b=。十。,应用正弦定理即知(l)等价于 (2)ssn月,sin厅,sine成等差数列对式Zsin刀=sin月 sinC进行和差化积,约去t2sin等判,就有(3)eos月一C 2=ZCos月 C 2展开移项整理,两边除以sin河.万钟号,”,得l一3ACtg万tg百= BZctg;犷 ‘ C .A~ctg二干十ctg下‘ “‘、户、.了J,尸O了‘气护‘、 由结论(3)出发,还可导出:卜(6)。S,一普一, 。OSe由于;·*一普一2(l一,B),于是有cosA ZcosB十cosC二2·、一’普 S、一 ·,CSln一~二犷 Z _,B二二二二COS~气丁 Z 十刀一2、.产、…     

第五届全国中学生数学冬令营竞赛试题及解答

第一天 (1990年l月12日8:30一13:30) 一、如图,在凸四i互形月刀CD中,.4刀与CD不平行,圆O、过,4声目.与边CD相切于P,圆O:过C、D且与边月刀相切于Q,圆O:与圆O:相交于刀、厂。求证:石尸平分线段尸口的充分<令(附一刀d)(,Ic一耐)二0、艺一:(显然了、·“,·必要条件是刀C犷通D. 证:如图,设尸Q与石F相交于K,延长PQ交圆O孟于P,,延长口p交圆口2于口,,则刃K·K尸二尸人{.K尸, 二口K·K口,(1) <卜今,.J.O沙刀C 二、设二是一个白然数,若一串自然数厂。=l,x:、二2、…,二,一,,、‘二x,亨两足:‘一,<:‘,二‘一:J:‘,i=l,2,…,l,则称{二。…     

数学诡辩

1.不过圆心的弦 与直径相等题:如图:在00中,ALB是直径,D是弦AC的中点,连结BD并延长交00于E,连结cE,求证:cE~月Z孔 证明:在△滋刀刀与△五汪℃中. 乙A一乙E,匕B一艺C,乙通刀刀一艺召Z刃,月刀二货, △月刀刀望△召之兀),…月刀~C刀认五.都是根又都是增根解方程aretg(:一1) areetg(x 1)=arctg冬. 乙解1设a=aretg(:一l), 则tga一z一1.设刀一areetg(: l),则etg刀=: 1. tga十tg刀 tg(a 刀)一下共一月誓二 ,、一‘厂‘l一tga .tg声 l、1 ~tg(arctg音)一音. ,、一一,2‘2’:一1十即 1劣 1l一劣一lx 1l2 解得:一士1,经检验,知x一1是原方程的…     

初中数学竞赛综合训练题(一)

一、选择肠 1.对实数二、y定义运算·:二.,~已 b 1.若l.2”969,2 .3一983,则2*9=(). (A)蓄989(B)1 990(C)1 991(D)1 992 2.若。~(一3)‘,b~一3‘,。二一含‘,则下列结论错误的是(). (A)】吃价二一4(B)1劝,~0 (c)a、e互为相反数(D)a、b互为倒数 3.已知址2一0.3010,印是日位数,正整数“等于(). 一42一 (A)10(B)11(C)12(D)13 4.若M~3尸一8, gr,一4二 6, 13,则下式一定成立的是().减 (A)M>0(B)M)0 (C)M<0(D)M簇0 5.如图1,在△A肥中.匕月:艺刀:艺e一3:5:1 0.又△才尸c望△J刁及,,则/石忆二月‘:乙。已尸等于().图l场、、中学数学(湖北)1…     

浅谈方程[f(x)]=g(x)的解法

1987年全国初中联赛第一试填空题第三小硕是: 〔aJ表示不大于数。的最大整数.例如[了百〕=l,〔一丫百」=一2,那么方程2解方程了一〔了可x]+l二0. 〔了了刁=护十l多l,例熟〔3x+l]一ZX一告的所有,的和是_·此题可用下法求解:令:x一粤二,(,为整数),贝IJ有二二吝,十今 ‘任喇又由〔3x+;]二Zx共知o‘(3x+,卜(Zx号)<1即。‘(普,+子)一,相似文献   

第二十九届IMO试题与解答

1.在同一平面上,有两个团心为O的同心圆,半径分别为r与R(,(R),尸是小圆上一个固定点,B是大国上个动点,B尸交大圆于另一点C,过尸作刀C的垂线交小圆于点A, (1)求S“月B“+BC“+CA忍所取值的集合: (幻求月B中点轨迹,(若尸月勺小目相切,则月二P). 解(1)如图1.廷长尸月交大圆分别于M、N,设材尸,“,B尸=二,尸N=口,尸C=y.,.i MN土BC,:.““+沪+二,+夕2二(ZR),.(l)设A尸=。,在Rt△刁尸C与Rt△月尸B中应用勾股定理得:月C:二m忿+少2,月B名=m“+x气一S=2川么+、“+y:+(二+y)“=2(。一v)“+2(x忍+y忍)+2二夕二:(。1+t,,+二“+夕2)一4。。+…     

一道数学竞赛题的探索

第四次江苏省初中数学竞赛试题中第五oA=oB一oc=丫乒若点P与O重合,则PA=PB二户C=斌了 3 l’t’)若点P与O不重合,则点尸必在三个等腰三角形:△OAB、△0刀C,△OCA中的一个三角形内或其腰上. 不妨设点尸在等图1,火人尸/题是: 如图l,P为边长为1的正△A刀C内一点,求证:沪 (1)尸通、PB、/pc中至少有一条,其/长度大于于多B~ (2)尸姓、PB、pc巾至少有一条,其长度不超过识一习3. 这是值得探究的一道好题,想能获得一些有趣的结论。 一、结论(l)的加强对它通过联腰△OAB内或其腰上(图2),连尸O,则匕POC多乙AOC(或乙BOC)二120。,,产D、之…     

一个几何不等式的简证

陈计先生在本刊的〔l〕文中提出并证明了如下不等式: 一30一砚 △月、中,专〔。052(B一C) cosZ‘c一”, ·052‘,一B)〕、合‘。%2, 。。SZB 。“Zc):(1)等号当且仅当△ABC为正三角形时成立. 本文对不等式(l)给出一个较简单的证明,同时指出这个不等式就是Gerretsen不等式的一个推论. 证明作变换月一音(,一,),B一音(二-。),c一告(汀一。)·贝,不等式(l)变为4(eosA十eosB e够C)2一3(eosA十eosB eosC)一6(eo、Aeos刀十eosBeos口十eosCeos月))0(2)了刀一2根据一, 。OS。 一。一1 ;S,·普S*·一*·誉一, 贪,。。52‘ …ZB “一ZC-业…     

一道美国竞赛题的简解和推广

2003年美国南卡罗来纳大学高中数学竞赛第30 题是: E F入军人一尸1 //二图 如图l，延长△ABC的 三边，使得BD一冬AB，cE ‘ 一合Bc，AF_ △DEF与△ABC 等于(). 冬以，则 ‘ 的面积比 图2 (A)3，1(B)13， (D)14:15(E)10 解由题愈易得 4(C)7 .2 命.2延长凸四边形 ABCD的四边，使B     

关于三次插值样条的逼近阶

计算数学1983年 设f(二)〔C,。,,:且f(0)~f(l),对[0,l]的分划△,,我们用穿△,(f::)表示f(二)关于分划△,的三次周期样条插值,当△。是,等分分划时,简记为g。(f;二).用了(幻表示广(幻的周期延拓,并令 c志已〕一{f(x)}了(、)〔c乳。, 。)} ~{f(二){f(x)〔C品,1:且f(o)~f(l),f’(o)~f’(l),…,fp(o)~f‘p’(l)},L‘p’‘一{‘(‘)}二;淤l〕}‘(‘ ‘) ‘(一‘)一2‘(·,}一o(“)},Lip,‘l一{f(‘)l、撇I尹(‘ h) 7(x一h)一2了(‘)卜o(“)}·关于穿△,(f;x)对f(幻的逼近阶与f(幻光滑性之间的关系,我们有如下的定理. 定理1.设f(:)〔c鹿.1〕,q>o…