半正定复方阵

综述了有关半正定复方阵的主要研究成果，其中包含半正定复方阵在合同下的标准形、半正定复方阵在合同下的全系不变量、半正定复方阵在其Hermite部分及斜Hermite部分之间的Mindowski型行列式不等式以及两个半正定复方阵的，Kronecker乘积仍为半正定的必要且充分条件．     

正定实方阵的Kronecker积

本文首先引进并讨论正定实方阵的广义特征值，进而导出正定实方阵的Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ积仍是正定的充要条件，最后作为应用给出正定实方阵的Ｈａｄａｍａｒｄ积仍是正定的一个充分条件．     

复正定矩阵的充要条件

本文研究Hermite正定矩阵、实正定矩阵的推广概念复正定矩阵,给出了复方阵复正定性的一些充分必要条件。     

关于对广义的正定矩阵进一步研究

通常讨论矩阵的正定性只局限在实对称矩阵范围内(以下我们把全体n阶实对称正定矩阵的集合记为S~+),随着数学本身的发展和其它学科的需要,有不少人开始研究未必对称的较广义的实正定矩阵.李炯生在文[1]中给出了一类较广义的实正定矩阵的定义: 设A是n阶实方阵.如果对于任何非零的n维列向量X都有 X~TAX>0,其中X~T表示X的转置,则把A叫做正定矩阵.全体这类矩阵的集合记为P(I).文[1]证明了A∈P(I)的充分必要条件是A的对称分量是对称正定矩阵(即把A表示为对称矩阵与反对称阵的和的形式,前者称为对称分量,后者称为反对称分量).同时还推得P(I)中矩阵其     

三对角阵为广义正定阵的判别定理

一、定义与引理实对称正定阵与 Hermite 正定阵在几何学,物理学及概率论等学科中都有广泛应用。随着数学本身的发展,以及应用矩阵理论的其他学科的需要,人们研究未必对称的较为广义的正定矩阵。文[1]中给出了这类矩阵的定义:定义1 [1]设 A∈R~(n×n),若对于任何0≠X=(x_1,…,x_n)~T∈R~(n×1),都有 X~T AX>0,则称 A 为正定矩阵,并记为 A∈P_I。     

广义正定矩阵

<正> §1.引言与定义在历史上,正定矩阵的研究最先是出现于二次型与 Hermite 型的研究中.这种正定只限于对实对称矩阵或 Hermite 矩阵使用.虽然它在几何学、物理学以及概率论等学科中都得到了重要的应用,但随着数学本身以及应用矩阵的其他学科的需要,有不少人开始研究未必对称的较为广义的正定矩阵.1970年,C.R.Johnson 在[1]中给出了这种较为广义的定义.为简单起见下面恒用 R 表示实数域,用 C 表示复数域,用 A~T 表示 A 矩阵的转置矩阵,而用σ(A)表示 A 的谱,即 A 的特征值集合.     

矩阵方程X+A~*X~(-q)A=I(q>0)的Hermite正定解

1.引言 本文研究矩阵方程 X+A*X-qA=I (1)的Hermite正定解,其中I是一个n×n阶单位矩阵, A是一个n×n阶复矩阵, q是实数且q>0.q=1,q=2时的方程是从动态规划,随机过滤,控制理论和统计学中推导出来的,最近已有许多人对此进行了研究(见参考文献[1,2,4]),本文我们将研究方程(1)的解的存在性和解的性质,并讨论迭代求解及迭代解的收敛性. 对于Hermite矩阵X和Y,文中X≥Y表示X-Y是半正定的,X>y表示X-Y是正定的;对于方阵M,M*表示M的共轭转置,ρ(M)表示M的谱半径,λi(M)     

次Hermite矩阵的对角化及次Hermite矩阵的应用

循环矩阵在理论及实际问题上都得到了广泛的应用,而循环矩阵是一类典型的次对称矩阵,此外Hadamare 矩阵中也涉及到了次对称矩阵,本文将对次对称矩阵进一步的推广,定义了次Hermite 矩阵及次正定的次Hermite 矩阵.并且讨论它们的对角化方法,得出了类以于Hermite 矩阵的一些结论,最后作为应用,讨论了次Hermite 矩阵的算子范数及F—范数的理论值。关键词次Hermite 矩阵次特征值及次特征向量次正定的次Hermite 矩阵.     

关于正定实方阵的注记

所谓n阶实方阵A是正定的,是指对任意非零列向量x∈R~n,x~TAx>0。这篇短文给出了n阶实方阵为正定的充要条件。另外还给出了线性方程组Ax=β的反问题具有正定实方阵解的充要条件,以及线性方程组的反问题的正定实方阵解的一般形式。     

复矩阵的亚半正定性

复亚半正定矩阵是 Hermite正定阵的推广 ,研究了它的 Kronecker积、Hadamard积和行列式理论 ,将实对称阵的 Schur定理、华罗庚定理、Minkowski不等式、Ky-Fan不等式、Ostrowski-Taussky不等式推广到了一类非 Hermite复矩阵上 ,扩大了 Minkowski不等式的指数范围 ,削弱了华罗庚不等式的条件 .     

矩阵方程X+A~*X~(-n)A=P的Hermite正定解及其扰动分析

考虑非线性矩阵方程X A~*X~(-n)A=P,其中A是m阶非奇异复矩阵,P是m阶Hermite正定矩阵.本文利用不动点理论讨论了该方程Hermite正定解的存在性及包含区间,给出了极大解的性质及求极大,极小解的迭代算法.研究了极大解的扰动问题,利用微分等方法获得了两个新的一阶扰动界,并给出数值例子对所得结果进行了比较说明.     

一类正定矩阵的性质

本文讨论一类正定实方阵的一些性质和判别法，给出了两个正定实方阵的乘积仍为正定矩阵的条件．以及正定实方阵的一种分解。     

GAOR迭代法的收敛性

当A为实对称矩阵时,[1]中在D_i选取较特殊的条件下,证明了GAOR迭代法收敛的充要条件为A是正定矩阵. 设A为Hermite矩阵,进一步讨论GAOR迭代法收敛的充要条件. 以下记 B=D_1~(-1)(C_L+C_U).     

复矩阵的亚半正定性

复亚半正定矩阵是Hermite正定阵的推广,研究了它的Kronecker积,Hadamard积和行列式理论,将实对称阵的Schur定理,华罗庚定理,Minkowski不等式,Ky-Fan不等式,Ostrowski-Taussky不等式推广到一类非Hermite复矩阵上,扩大了Minkowski不等式的指数范围,削弱了华罗庚不等式的条件。     

关于实方阵的正定性

本文研究一般实方阵的正定性 ,给出了方阵正定的一些充分必要条件     

加法与乘法逆特征值问题的可解性

1.引言 本文讨论如下代数特征值反问题可解的充分条件: 问题A(加法逆特征值问题)。给定一Hermite矩阵A=(a_(ij))_(n×n)及n个实数λ_1,…,λ_n,求一实对角阵D=diag(c_1…,c_n),使得A+D的特征值为λ_1,…,λ_n。 问题M(乘法逆特征值问题)。给定一正定Hermite矩阵A=(a_(ij))_(n×n)和n个正实数     

矩阵方程X-A*X-2A=Q的正定解及其扰动分析

研究非线性矩阵方程X-A*X-2A=Q(Q>0)的Hermite正定解及其扰动问题.给出了该方程存在唯-Hermite正定解的充分条件及解的迭代计算公式.在此条件下,给出了该唯一解的扰动界及正定解条件数的一种表达式,并用数值例子对所得结果进行了说明.     

矩阵的逆

§1.方阵众所周知,n阶方阵A的逆通常采用以下定义。定义1 设A是一个n阶方阵,如果存在有一个n阶方阵B,使得 AB=BA=I,其中I是n阶单位方阵,则A称为可逆方阵,而B称为A的逆,记作A~(-1)。上述定义中,用了两个矩阵方程AX=I,XA=I,其中X为n阶未知矩阵。容易产生的问题是:能否只用一个方程,例如AX=I,来定义方阵的逆?答案是肯定的。下面给出方阵的逆的另一定义: 定义2 设A是一个n阶方阵,如果存在有一个n阶方阵B,使得 AB=I,其中I是n阶单位方阵,则A称为可逆方阵,而B称为A的逆。为区别起见,A在定义2意义下的逆B记作A_2~(-1)。给出方阵的逆的定义之后,自然应讨论定义的合理性。这就需要讨论:(ⅰ)可逆方阵的存在性:即的     

用正交相似运算来转置矩阵

<正> 在文[1],Hills 给出了如下定义.设 A 是一个(实)方阵,若存在可逆方阵 T,使得 T~(-1)AT=A′,T~(-1)A′T=A     

从正定矩阵判定定理所想到的

从正定矩阵判定定理所想到的贾正华（皖巢湖师专数学系２３８０００）众所周知，在《高等代数》教材中都有这样一个定理：ｎ阶实对称方阵Ａ正定，即对任一实的非零ｎ维列向量Ｘ都有Ｘ＇ＡＸ＞０的充要条件为Ａ的各阶顺序主子式大于零，若把Ａ实对称这一条件拓广为实方阵，...