分式线性迭代数列的敛散性及收敛速度

若a_i,b_i0(i=1,2),|a_1 a_2b_1 b_2|≠0,则数列x_10,x_(n+1)=a_1x_n+a_2/b_1x_n+b_2收敛.若迭代过程中,xn(n=1,2,…)全不是φ(x)=a1x+a2/b1x+b2的不动点,则迭代数列{xn}线性收敛.     

北京师范大学1983年攻读硕士学位研究生入学考试试题

<正> 一、P_0(x_0,y_0)是右半平面(x>0)内任意一点,试证方程组(?)能在 P_(?)的(充分小的)邻域内确定连续可微的反函数.二、设 f(x)在(0,1)内有定义,且函数 e~xf(x)与 e~(-f(x))在(0,1)内都是单调不减的.试证:f(x)在(0,1)内连续.三、若每个函数 u_n(x)(n=1,2,…)都在[a,b]连续,(?)u_n(x)在(a,b)一致收敛.求证:sum from n=1 to ∞ u_n(x)在[a,b]一致连续.     

求解两点边值问题的样条方法

将区间[a,b]N 等分,步长 h=(b-a)/N,x_0=a,x_j=a+jh,j=1,2,…,N-1,x_n=b.对应于分划Δ:x_0=a相似文献   

复旦大学1984年硕士研究生入学考试试题

1.设x_0,x_1,…,x_n,x是n+2个相异点,证明 f(x_0,x_1,…,x_n,x)=sum from i=0 to n(f(x_j,x)/(multiply from (?) to n(x_j-x_1))) 其中f(xj,x)和f(x_o,x_1,…,x_n,x)分别表示函数f(x)的一阶和n+1阶差商。 2.设n阶线性方程组Ax=b中n×n矩阵A的顺序主子式det(A1)≠0(i=1,…n),令(n+1)×(n+1)矩阵B为     

三次样条用端点值估计时的几个准确常数

设Δ_n(n=1,2,…)是把[a,b]分成n段的各种分划的全体,也即 Δ_n{(x_0,x_1,…,x_n):a=x_0相似文献   

线性表示在解题中的应用举例

<正>首先我们来看线性表示的概念:定义若a_1x_1+a_2x_2+…+a_nx_n=b(其中x_1,x_2,…,x_n是未知量,a_1,a_2,…,a_n,b是不全为零的常数,n∈N*)则b称为数组x_1,x_2,…,x_n的一个线性组合.当b=0时,x_1,x_2,…,x_n称为线性相关,此时令a_n=-1,则有x_n=a_1x_1+a_2x_2+…+x_(n-1)a_(n-1),称变量x_n是变量x_i(i=1,2,…n-1)的一个线性表示.本文的"线性表示"是指用给定的某些量     

关于一个积分不等式的Djokovi(?)''''s猜想(英文)

在1965年,Djokovi,D.Z提出[1]:设x_0(1-α_1)(x_2-x_0)时,(4)不成立,一般说,(4)式是否成立和点x_0相似文献   

几个数值求根方法的误差估计

<正> 研究求方程f(x)=0数值根的割线法x_(n+1)=x_n-x_n-x_(n-1)/f(x_n)-f(x_(n-1))f(x_n)(n=0,1,2,(1)…以及Ostrowski与Traub各自独立地提出的方法     

一类三阶有理差分方程的奇点集和解的渐近性

研究三阶有理差分方程x_(n+1)=ax_(n-1)+x_(n-1)x_n/bx_(n-2)+cx_n,n=0,1,2,...的奇点集和解{x_n}_(n=-2)~∞的渐近性,其中a,b,c∈R,初始值x_(-2),x_(-1),x_0∈R.由a,b,c的取值的不同,而得到解的不同的渐近性.     

高三代数高次方程一章中的三个定理

一.一元n次方程的根的个数定理一元n次方程有n个根而且只有n个根。 課本中的証明大意如下: (1)根据代数基本定理,推得 f(x)=a_1x~n+a_1x~(n-1)+…+…a_n(a_0≠0) =a_0(x-x_1)(x-x_2)…(x-x_n)=0,而 f(x_1)=f(x_2)=…=f(x_n)=0,所以f(x)=0有n个根x_1,x_2,…,x_n。 (2)设x_(n+1)是和x_1,x_2,…,x_n都不相同的任一数, ∵f(x_n+1)≠0 ∴x_(n+1)不是f(x)=0的根。从而得出結論:f(x)=0只有n个根。证毕。我們知道,要断定f(x)=O的根只有n个,必須确定所有不同的根以及每一个根的重复度。上面的証法只能滿足前者的要求而不能滿足后者,因此,很容易使人发生以下的問題:如果x_(n+1)和x_1,x_2,…,x_n中的某一个相等,于是f(x_(n+1)=0;那么是否可以說x_(n+1)是f(x)=0的第n+1个根呢? 所以这个証法是不妥当的。事实上这个定理应該根据多項式的典型分解式的唯一性来証明。     

一维问题的一种积分形式的流量重构算法

1引言我们考虑如下一维二阶椭圆边界值问题(-(β(x)p′)(x))′=f(x),x∈(a,b) p(a)=p(b)=0(1))其中β=β(x)是一恒正函数,且β∈H~1(a,b),f∈L~2(a,b)．事实上,在此条件下,我们可保证p∈H~2(a,b)(见[1],[2])．(1)之弱形式为：求p∈H_0~1(a,b)使得a(p,q)=(f,q),(?)q∈H_0~1(a,b),(2)其中a(p,q)=(?)_a~bβp′q′dx,(f,g)=(?)_a~bfqdx．给定(a,b)的一个分割α=x_0＜x_1＜…＜x_(n-1)＜x_n=b,令h=(?)(x_i-x_(i-1)),(?)_i表示通常相应于节点x_i的形状函数,即(?)_i是连续的分段线性函数且满足(?)_i(x_k)=δ_(ik),这里δ_(ik)=(?)i,k=0,1,…,n．又记V_h~0=span{(?)_1,(?)_2,…,(?)_(n-1)),取V_h~0作为p的逼近空间,则求解(1)的标准有限元格式为：求ph∈V_h~0使得     

一个极限定理的证明及应用

在数学分析中,往往需要求如象x_n=(1~2/n~4 1~2) (2~2/n~4 2~2) … (n~2/n~4 n~2)之类的“和式”的极限.这种和式既不能直接求和,又不能化成某函数的积分和,因此其极限往往难以求出.为了求解这类题目,本文给出一个定理,能够很好地解决这类问题.同时,利用对数函数的性质,又能够用来解决一些“积式”的极限问题.定理 设(a)f(0)=0,f’(0)存在; (b)g(x)在[a,b] 上黎曼可积,则有(?)sum from i=1 to n f[g(?)△x_4]=f’(0) integral from n=a to b (g(x)dx).     

用函数凹凸性质证明三角形不等式的一个问题

一类三角形不等式应用函数的凹凸性来证明是很有效的。函数的凹凸性质可以表述为: 定理:若函数f(x)对某一区间上任意两点x_1、x_2都有 (f(x_1)+f(x_2))/2≤(或≥)f((x_1+x_2)/2) (1)则对于这个区间上任意的x_i(i=1,2,…,n)有(f(x_1)+…+f(x_n))/≤(或≥)((x_1+…+x_n)/n) (2)     

关于一个Ляпунов函数的讨论

定义函数(?)是正数.s=1,2,…,n.令φ(x)=(φ_1(x_1),φ_2(x_2),…,φ_n(x_n))及V(x)=φ(x)·x=sum from (?)=1 to n φ_s(x_s)x_s,(1)则 V(x)为无限大定正函数,V(x)在 R~n 中满足 Lipshitz 条件.又定义(?)则有:命题1 任给 n 维常向量 x,f,则(?)1/h(V(x+hf)-V(x))=sum from s=1 to n φ_s(x_s+β(x_s)f_s)f_s.式中 x_s,f_s 表 x 及 f 的第 s 个分量.     

四阶Λ-插值样条的逼近度和渐近式

设-∞相似文献   

非线性规划的一个可行方向方法

<正> 本文的目的是给出非线性规划问题(P) min(?) f(x),R={x|Ax=b,x≥0}的一个具收敛性的算法.其中,f(x)∈C′,A 是 m×n 阶矩阵(m相似文献   

中值定理的两个新证法

本文的证法都利用了下列定理 :达布中值定理　若函数 f (x)在区间 [a,b]内可导 ,并且设 f′(a)≠ f′(b) ,不妨设 f′(a)f (b) -f (a)b-a 或 f′(x) …     

求导数零点的一个二阶收敛的迭代方法

本文提出二阶收敛的迭代方法x_(u+1)=x_n-(x_n-x(n-1))/4f′(x_n)+2f′(x_(n-1))-6(f(x_n)-f_(x(n-1)))/x_n-x_(n-1)f′(x_n),用来求导数 f′(x)的零点.建立了由它生成的迭代过程的收敛性定理.附录给出本方法与有关方法的数值比较.     

关于函数在一点附近单调的条件问题

讨论函数f(x)的单调性是导数应用的重要部分,我们现有的微积分教材皆有如下定理: 定理1.设函数f(x)在区间(a,b)内可导,且f′(x)>0(或f′(x)<0),则f(x)在(a,b)内为增加函数(或减少函数)。利用拉格朗日中值定理来证明定理1是显然的,人人能懂,但是若问,f′(x_0)>0(或f′(x_0)<0)时,f(x)在点x_0处是否单调函数,人们理解就不一致了。为了回答这一问题,看下边定理: 定理2.设函数f(x)在区间(a,b)内一点x_0处可导,且f′(x_0)>0(或f′(x_0)<0),则f(x)在点x_0处为增加函数(或减少函数)。证明:因f(x)在点x_0处可导,即极限     

例说函数构造法解题

一、证明不等式.例1设a、b、c为绝对值小于1的实数,求证ab+bc+1>0.证明:构造函数f(a)=(b+c)a+(bc+1)(|a|>1).若b+c=0,则由|bc|<1,知f(a)>0;若b+c≠0则f(a)为单调函数,f(a)的值在f(1)与f(-1)之间,但f(1)=(1+b)(1+c)>0,f(-1)=(1-b)(1-c)>0,f(-1)与f(1)均大于0,∴f(a)>0.例2证明:(1+1)(1+31)(1+51)…(1+2n1-1)>2n+1(n=1,2,…)(98年高考)证明:构造函数f(x)=(1+1)(1+31)…(1+2x1-1)2x+1当x∈N*时,f(x+1)f(x)=(1+1)(1+13)…(1+2x1-1)(1+2x1+1)2(x+1)+1·2x+1(1+1)(1+31)…(1+2x1-1)=2x+2(2x+3)(2x+1)=(22xx++22)2-1>1·∴f(x)为增函数∴f(x)≥f(1…