帮你认识2~(1/2)

你认识2~(1/2)吗?1.2~(1/2)的代数意义:2~(1/2)是2的算术平方根;2.2~(1/2)的几何意义:将边长为4的正方形纸片的四个角向中心对折,如右图.阴影部分的正方形的面积为2.由此得到:2~(1/2)是面积为2的正方形的边长;是边长为1的正方形的对角线.3.2~(1/2)的值是多少呢?我们做如下的探讨.(1)因为12=1,22=4,32=9,…,平方数越来越大,所以2~(1/2)大于1而小于2;     

一道竞赛题的简解

题目试对一切不全为0的实数x,y,z,w,给出代数式(xy+2yz+zw)/(x~2+y~2+z~2+w~2)的一个上界,(你给出的上界越小,你得的分数越高)。 (1985年奥地利和波兰联合数学竞赛题),文中介绍了用爬坡式推理解决这道题的方法。下面我们给出这道题的一个简解: (2~(1/2)+1)x~2+(2~(1/2)-1)y~2≥2xy (1) 2(y~2+z~2)≥4yz (2) (2~(1/2)-1)z~2+(2~(1/2)+1)w~2≥2zw (3)     

第七届美国数学邀请赛(AIME)试题及解答

1.计算((31)(30)(29)(28) 1)~(1/2) 解:利用x(x 1)(x 2)(x 3) 1 =(x~2 3x 1)~2。令x=28,得((31)(30)(29)(28) 1)~(1/2)=869 2.10个点标记在圆周上,以这10个点中的某些点或者全部的点为顶点,能画得多少个不同的三角形或者凸多边形?(两个多边形除非它们有完全相同     

苏联莫斯科大学1989年入学考试试题及解答

数学力学系卷1 1.解方程(3~(8xctgπx))~x27~(5xctgπx)=9~(ctgπx)。2.解不等式[log(8-2)~(1/2)(2x-1)][log_2(1+2x-x~2)]≥0。3.一条直线经过△ABC的顶点A和平行于边AC的中位线的中点,问这条直线分这个三角形成两部分的面积之比是多少? (如图1)     

一个常数竟有两个整数部分

题求1 1/2~(1/2) 1/3~(1/2) …1/100~(1/2)的整数部分解∵(n 1)~(1/2) n~(1/2)>2n~(1/2)>n~(1/2) (n-1)~(1/2)∴(n 1)~(1/2)-n~(1/2)<1/(2n~(1/2))相似文献   

北京市高等学校1958年暑期招生数学試題及解答

試題 Ⅰ.(1)解方程:x-5=(x+7)~(1/2)。(2)由50个不同的元素中选出47个元素,問有多少种选法? (3)已知lg2=0.3010,試利用对数的性質判定2~7×8~(11)×5~(10)是几位数。 (註)lg是以10为底的对数的符号。 (4)求tg(arctg5/6-arctg3/8)的值。 (註)lg是正切函数的符号;arctg是反正切函数主值的符号。     

莫斯科大学1989年入学考试试题

1.解方程(3~)~x27~=9~.2.解不等式(log (8-2)~(1/2)(2x-1))(log_2(1+2x-x~2))≥0.3.经过ΔABC的顶点A与ΔABC的中位线(该中位线与边AC平行)的中点的直线将ΔABC分为两部分的面积之比是多少?4.已知x_1、x_2是二次三项式x~2+ax+a-1/2的实数根,求a为何值时(x_1-5x_2)(x_2-5x_1)取最大值。5.已知三棱锥S-ABC的底是边长为4的正ΔABC,且知AS=BS=(19)~(1/2),CS=3,求该三棱锥外接球的面积。     

一类方程的几何解法

本刊1983年2期问题征解1说的是求解方程(x~2+y~2)~(1/2)+((2-x)~2+y~2)~(1/2)+(x~2+(2-y)~2)~(1/2)+((2-x)~2+(2-y)~2)~(1/2)=42~(1/2)。对此,我们讨论下列问题。问题一求下列各方程的实数解1. (x~2+y~2)~(1/2)+((x-m)~2+y~2)~(1/2)+(x~2+(y-m)~2)~(1/2) +((x-m)~2+(y-m)~2)~(1/2)=2(2~(1/2))|m|;2. (x~2+y~2)~(1/2)+((x-a)~2+y~2)~(1/2)+(x~2+(y-b)~2)~(1/2) +((x-a)~2+(y-b)~2)~(1/2)=2(a~2+b~2)~(1/2);3. (x~2+y~2)~(1/2)+((x-a)~2+y~2)~(1/2)+ ((x-b)~2+(y-c)~2)~(1/2)+((x-a-c)~2+(y-c)~2)~(1/2) =((a-b)~2+c~2)~(1/2)+((a+b)~2+c~2)~(1/2)(m、a、b、c均为非零常数,且a(?)b) 不难发现方程左边表示几个距离的和,这就     

求值问题巧解

一些求值问题设字母替换来解,方法别具一格。今举例给予说明。例1 求(2+3~(1/2))~(1/2)+(2-3~(1/2))~(1/2)的值。解:设x=(2+3~(1/2))~(1/2)+(2-3~(1/2))~(1/2)则 x~2=((2+3~(1/2))~(1/2)+(2-3~(1/2))~(1/2))~2=2+3~(1/2)+2(((2+3~(1/2))((2-3~(1/2)))~(1/2)+2-3~(1/2) =4+2(2~2-(3~(1/2))~2)=6 ∴x=±6~(1/2) (-(6~(1/2))不合题意舍去) 因此,原式=6~(1/2)。例2 求 (4-3((4-3((4-3)~(1/3))~(1/3)))~(1/3)…的值。解:设x=(4-3((4-3((4-3)~(1/3))~(1/3)))~(1/3) 则 x~3=4-3((4-3((4-3~(1/3))))~(1/3)…即 x~3=4-3x。∴x=1注:例2应该先证其存在性之后才能设,这     

对解二项式定理习题中常见错误的浅析

在排列组合二项式定理这一章的教学中。由于排列组合的概念比较粗象,又是二项式定理这一节的基础,把排列组合做为这一章的重点和难点是无可非议的,因此,但常常不自觉地轻视了二项式定理的教学。实际上这一节的教材内容涉及的知识面较广,概念性较强,加之具一定的难点,这些都不同程度地干扰和阻碍了本节的教学。反映在学生的解题思路中歧生的概念性的错误十分常见,兹剖析如下: 一、二项式系数C_n~r中r的取值概念不清。例1(2~(1/2) 3~(1/4))~(100)的展开式中有多少个有理项? 错解:(2~(1/2) 3~(1/4))~(100)的展开式的通     

一类无理方程化作一次方程求解

1先看解法。例题解方程(x~2 4x 5)~(1/2) (x~2-2x 5)~(1/2) =(4x~2 4x 10)~(1/2) 解原方程化为 ((x 2)~2 1~2)~(1/2) ((x-1)~2 2~2)~(1/2) =、(〔(x 2) (x-1)〕~2 (1 2)~2)~(1/2) 令(x 2)·2=(x-1)·1, 得x=-5。解法是: (1)将方程左边两根号下的二次式分别配成平方和的形式,得、(a_1~2 b_1~2)~(1/2) (a_2~2 b_2~2)~(1/2)其中a_(1,2,)b_(1,2)分别为x的一次式和零次式; (2)将方程右边根号下的二次式配成对应的平方和,得((a_1 a_2)~2(b_1 b_2)~2)~(1/2)。这类无理方程就是专指能配成这种关系的无理方程;     

不等式k~(1/2)+1/(k+1)~(1/2)>(k+1)~(1/2)的几种证法

为什么要证明不等式k~(1/2)+1/(k+1)~(1/2)>(k+1)~(1/2)下面通过实例来说明,高中数学第三册P.147.3(4)题:求证1/1~(1/2)+1/2~(1/2)+…+1/n~(1/2)>n~(1/2)(n>1)。我们用数学归纳法来证明。 (1)当n=2时不等式左边=1/1~(1/2)+1/2~(1/2)=(2+2~(1/2))/2右边=2~(1/2)=(2~(1/2)+2~(1/2))/2,显然不等式成立。 (2)假设当n=k(k>1)时不等式成立,     

由一道邀请赛题引出一串公式和定理

计算连乘积(5~(1/2) 6~(1/2) 7~(1/2))(5~(1/2) 6~(1/2) 7~(1/2)).(5~(1/2)-6~(1/2) 7~(1/2))(-5~(1/2) 6~(1/2) 7~(1/2)). 此题是1986年美国第四届数学邀请赛题。反复运用平方差公式和完全平方公式,就计算得结果是104。这道赛题结构特殊,它是否有一定的规律性,是否可以推广到一般呢?回答是肯定的。不仅如此,而且还可以引出一串公式和定理。下面从两个方面去探索:     

初二数学竞赛训练题(三)

一、填空 1.一个凸多边形恰好有3个内角是钝角,这样的多边形边数的最大值是__。 2.现有一张长5cm,宽1cm的矩形纸,请你将它分成五块,再拼合成一个正方形(通过画图来表示)。矩形纸的分割法请在下图示意出来,正方形的拼合图,请画在横线上。 3.将四个数21/222,31/333,41/444,51/555从小到大排列(用等号或不等号连结)时,得 4.已知:a>0,x>0,x=1/2(a1/n-a-1/n)则(x (1 x~2)~2=__。 5.已知(3a 2)~(1/(a~2 a))和(2n-1)~(15-a)是最简根     

两个极限相等的有趣数列

证明了两个有趣数列{n~(1/2)∫_0~(π/2)sin~nxdx},{(n+1)~(1/2)∫_0~(π/2)sin~nxdx}的极限均为(π/2)~(1/2),且(π/2(n+1))~(1/2)∫_0~(π/2)sin~nxdx(π/2n)~(1/2).     

巧构直角三角形解一类无理方程

对型如((x-a)~2 b)~(1/2) ((c-x)~2 d)~(1/2)=k的无理方程,可构造直角三角形,运用勾股定理和相似形,使之转化为简单的方程组来解,堪为巧妙! 例1 解方程 (x~2 1)~(1/2) (x~2-24x 160)~(1/2)=13。解原方程可化为: (x~2 1)~(1/2) ((12-x)~2 16)~(1/2)=13。令y=12-x,则有(x~2 1)~(1/2) (y~2 16)~(1/2)=13 如图1,构造直角△ABC,使∠C=90°,AC=12,AB=13,则BC=(13~2-12~2)~(1/2)=5     

构作棱锥解题两例

例1 x,y,z∈R~+,求证 ((x~2+y~2-2~(1/2)xy)~(1/2)+(y~2+z~2-yz)~(1/2) >((z~2+x~2-3~(1/2)zx)~(1/2) 证根据题目中的交叉项系数2~(1/2),1,3~(1/2)等效字特征,联想到余弦定理,而构作一     

介绍一个级数的求和问题

求级数1/2~2 (1-1/2~2)1/3~2 (1-1/2~2)(1-1/3~2)1/4~2 … (1-1/2~2)(1-1/3~2)…(1-1/n~2)1/(n 1)~2 …的和是富有启发性的问题,现介绍如下:     

方程(A-(A-)~(1/2)…-(A-X)~(1/2))~(1/2)=X与(A-X)~(1/2)=X同解的条件

关于方程(a+(a+…+(a+x)~(1/2))~(1/2))~(1/2)=x与(a+x)~(1/2)=x的同解问题,[1]文已圆满地解决了。关于方程(a-(a-…-(a-x)~(1/2))~(1/2))~(1/2)=x与(a-x)~(1/2)=x的同解问题,[1]文只是指出它们一般不同解,至于它们在什么条件下同解,[1]文未讲。如果弄清了在某种条件下(a-(a-…-(a-x)~(1/2))~(1/2))~(1/2)=x与(a-x)~(1/2)=x同解,那么在这种条件下解前面这个方程就是非常方便的事情了。这就促使我们去探讨(a-(a-…-(a-x)~(1/2))~(1/2))~(1/2)=与(a-x)~(1/2)=x同解的条     

妙求值域一例

题目求函数y=x (x~2 x 1)~(1/2)的值域.解y-x=(x~2 x 1)~(1/2) =((x 1/2)~2 3/4)~(1/2)≥3~(1/2)/2.又(y-x)~2=x~2 x 1(?)x=(y~2-1)/(2y 1),