On unsteady forced flow against a rotating disk

Summary The solution of unsteady forced flow against an unsteadily rotating disk is obtained when the outer flow and the angular velocity of the disk are expressed in powers series of t. The solution is established by expanding the velocity components and the pressure in powers of small time. The extension of the obtained solutions is possible by using Zeytounian's technique. Finally, an analysis is made for the problem of the time-dependent flow due to an infinite rotating disk started accelerated from rest.

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Sommario La soluzione del flusso forzato contro un disco rotante in regime non permanente è ottenuta quando il flusso esterno e la velocità angolare del disco sono espresse in una serie di potenze t. La soluzione è formulata esponendo la componente della velocità e la pressione in potenze di tempo piccolo. L'estensione delle soluzioni ottenute è possibile usando la tecnica di Zeytounian. Infine si fa l'analisi del flusso dipendente dal tempo dovuto a un disco rotante infinito accelerato dalla quiete.

     

Numerical solution of the navier-stokes equations for a rotating fluid flow in a cylindrical pipe

Summary A numerical investigation of a viscous incompressible rotating fluid flow in a circular cylinder with a net axial flow rate is presented. The cylinder is opened at the bottom and closed at the top by an ideal porous rotating disk, through which the incoming fluid flows receiving an action of solid body rotation. This physical model has been chosen for a realistic representation of fluid direct prerotation which takes place in the suction pipe of a centrifugal pump. The flow field was solved by the direct solution of the complete Navier-Stokes equations for values of Reynolds tangential numberRe _t up to 5 000. The numerical results give a detailed and complete sight of the principal features of such kind of flow, and, compared with experimental results in the turbolence range ofRe _t. show a significant qualitative agreement. A comparison with previous numerical investigations of other authors about rotating fluids is reported.

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Sommario In questa nota si presenta uno studio numerico del moto di un fluido viscoso ed incomprimibile in un tubo cilindrico, chiuso in uscita da un disco ideale poroso rotante, che trascina e mantiene in rotazione il fluido che lo attraversa. Si è adottato il suddetto modello per rappresentare la prerotazione diretta che ha luogo nel tubo di aspirazione di una pompa centrifuga. Si è determinato il campo di velocità per via numerica attraverso la soluzione diretta delle equazioni di Navier-Stokes in forma completa fino a valori del numero di Reynolds tangenzialeRe _t pari a 5 000. I risultati numerici danno un quadro dettagliato e completo delle principali caratteristiche di tale tipo di flusso, e, confrontati con risultati sperimentali disponibili nel campo diRe _t turbolento, mostrano un significativo accordo qualitativo. Si riporta infine un confronto con i risultati di precedenti indagini numeriche sul moto di fluidi rotanti presenti in letteratura.

     

On the growth of unsteady hydromagnetic multiple boundary layers

Summary A study is made of the development of hydromagnetic multiple boundary layers in an electrically conducting rotating liquid bounded by an infinite insulating disk or by two parallel insulating disks in the presence of a uniform magnetic field. The velocity field of the unsteady boundary layer flow generated by non-torsional oscillations of the disk(s) is calculated for small and large values of time. The structures of the associated hydromagnetic boundary layers formed on the disk(s) are determined explicitly. The simultaneous effects of the external magnetic field and the Coriolis force with reference to weak and strong rotation have been explored. The characteristic features of the flow phenomena are examined in some detail. A comparison is made of the results of the present analysis with those of non-. rotating hydromagnetic flow and of hydrodynamic fluid flow. The physical interpretations of the mathematical results are given. The Laplace transform treatment together with the Heaviside expansion theorem has been employed to carry out the mathematical analysis.

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Sommario Si studia lo sviluppo di strati limite multipli idromagnetici in un liquido elettroconduttore rotante limitato da un disco infinito isolante o da due dischi paralleli isolanti in presenza di un campo magnetico uniforme.Il campo di velocità del flusso transitorio di strato limite generato da oscillazioni non torsionali del disco o dei dischi è calcolato per valori piccoli e grandi del tempo. Si determinano esplicitamente le strutture degli strati limite idromagnetici associati sul disco o sui dischi.Si indagano gli effetti simultanei del campo magnetico esterno e della forza di Coriolis con riferimento a rotazione debole e forte. Si esaminano in dettaglio i fenomeni caratteristici del flusso. Si confrontano i risultati di questa analisi con quelli di flussi idromagnetici non rotanti e di flussi idrodinamici. Si danno le interpretazioni fisiche dei risultati matematici.Per eseguire l'analisi matematica si è impiegata la trasformata di Laplace unitamente al teorema d'espansione di Heaviside.

     

Topography effects on vortices in a rotating fluid

This paper reviews some aspects of topography effects on the dynamics of barotropic monopolar, dipolar and tripolar vortices in a rotating fluid. It is shown that the modulated point-vortex model (essentially based on conservation of potential vorticity) is capable of describing the flow evolution correctly, as can be concluded from comparisons with numerical simulations and laboratory observations.

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Sommario In questo articolo sono passati in rassegna alcuni aspetti degli effetti topografici nella dinamica dei vortici barotropici, monopolari, dipolari e tripolari in un fluido rotante. Si osserva che il modello di vortice puntiforme modulato (essenzialmente basato sulla conservazione della vorticità potenziale) è capace di descrivere correttamente l'evoluzione del flusso, come si può concludere dal paragone con simulazioni numeriche ed osservazioni di laboratorio.

     

Analysis of the static and dynamic behaviour of a magnetic liquid seal

Summary A rotating shaft seal, using ferrofluid between biconical truncated magnetic poles, is analysed both in static and dynamic conditions. After solving Laplace's equation and allowing an approximate expression for the magnetic potential, the magnetic forces acting on the working fluid are obtained. It is thus possible to determine the baric field existing in static conditions and the highest tolerable pressure jump. In the case of dynamic working the flow is schematized by two interior regions, where the azimuthal velocity prevails, and four boundary layers on the walls, where meridional transport of fluid takes place. Assuming laminar motion, by means of a perturbation procedure it is possible to see that in the interior, to a first approximation, two potential vortexes exist, whose circulations, after imposing the rotational equilibrium of the fluid about the symmetry axis, are found to be equal to about one half of the rotating pole peripheral circulation. This allows the determination of the baric field in the rotating fluid and of the friction moment exerted on the shaft.

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Sommario Si analizza il funzionamento in condizioni statiche e dinamiche di una tenuta ferrofluidica con poli a troncatura biconica. Risolta l'equazione di Laplace ed assegnata un'espressione approssimata al potenziale magnetico, vengono calcolate le forze magnetiche agenti sul fluido di lavoro. Ciò consente la determinazione immediata del campo barico esistente in condizioni statiche e del dislivello massimo di pressione sopportabile. Nel caso di funzionamento dinamico si schematizza il flusso mediante due regioni interne, che non toccano le pareti e nelle quali prevale la componente azimutale della velocità, e quattro strati limite lungo dette pareti, ove avviene trasporto meridiano di fluido. Nell'ipotesi di moto laminare, mediante un procedimento perturbativo si vede che, in prima approssimazione, nelle regioni interne vi sono due vortici potenziali, le circolazioni dei quali, determinate imponendo l'equilibrio della vena fluida alla rotazione intorno all'asse di simmetria, sono eguali circa alla metà della circolazione periferica sul polo rotante. Segue la determinazione del campo barico nel fluido rotante e del momento d'attrito esercitato sull'albero.

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This work was supported by the M.P.I., Italy     

The problem of the rotating plate

Summary The problem of determining stresses and displacements in a homogeneous rectangular plate rotating at constant angular speed about the barycentric axis, perpendicular to the plane of the plate, is considered. It is shown that this problem, if one assumes that the material is linear elastic with Poisson's ratio v, exhibits the same mathematical difficulties as the well-known problem of the rectangular plate subjected to parabolically-distributed tensile stress at two opposite sides.At difference from other methods employed in the past, a kind of solution based on biharmonic polynomials is proposed. This solution satisfies one boundary-condition exactly. The remaining three are satisfied in the mean. An evaluation of the error is performed.

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Sommario Dal punto di vista della teoria dell'elasticità infinitesima si studia il problema della determinazione della tensione e della deformazione di una lamina rettangolare omogenea rotante con velocità angolare costante attorno all'asse baricentrico perpendicolare al piano della lamina stessa. Si dimostra che questo problema, se si vuole tenere conto del fattore di Poisson v, presenta le stesse difficoltà del ben noto problema della lamina rettangolare soggetta a forze con andamento parabolico su due lati opposti. In alternativa ai metodi già utilizzati in passato in casi come questo, si propone un tipo di soluzione basata su polinomi biarmonici che soddisfano esattamente solo una delle quattro condizioni al contorno. Le rimanenti tre sono soddisfatte in media. Si effettua una stima dell'errore.

     

On the stability of a deep beam subjected to nonconservative and dissipative forces

Summary For the case of a simply supported deep beam subjected to a transverse follower load applied at its center, the dependence of the critical flutter load upon the effects of internal and external damping and warping rigidity is considered. A Kelvin-Voigt solid is assumed, the external damping is assumed to be proportional to the velocity of the beam at a point, and, due to the nature of the nonconservative applied load, the flexural and torsional deformations of the beam are coupled. The resulting boundary value problem is nonself-adjoint in character, and the stability problem is solved in an approximate manner by means of an adjoint variational principle. Several graphs are presented to demonstrate the effect of the various damping and rigidity parameters on the value of the critical flutter load. The numerical results obtained here reveal that in the absence of external damping, the value of the critical flutter load becomes arbitrarily small as the internal damping parameter associated with flexure tends to zero.

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Sommario Per una trave alta, incernierata agli estremi e sollecitata da un carico rotante con la sezione cui sia applicato e distribuito simmetricamente rispetto alla mezzeria della trave, si considera la dipendenza del carico critico di flutter dagli effetti di smorzamento interno ed esterno e della rigidezza biflessionale. Si assnmono (i) un solido di tipo Kelvin-Voigt e (ii) uno smorzamento esterno che sia proporzionale alla velocità. Dovuta al genere del carico non conservativo, la deformazione consiste di spostamenti di flessione e torsione. Poichè il problema ai limiti che descrive il moto del sistema possiede coefficienti variabili e non è antoaggiunto, si risolve il problema di constatare il valore del carico critico per un procedimento approssimativo mediante un principio variazionale. Si mostrano grafici che rivelano gli effetti dei diversi parametri di smorzamento e rigidezza sul valore del carico critico. I risultati numerici ottenuti qui mostrano che nell'assenza di smorzamento esterno il valore del carico critico diviene arbitrariamente minnto qualora il parametro di smorzamento interim associate con flessione lenda a zero.

     

The influence of tip mass on the stability of a rotating cantilever subjected to dissipative and transverse follower forces

Summary The state of stability of a rotating viscoelastic cantilever beam subjected to a transverse follower force applied at its free end in the plane of rotation is determined by a method of approximation that is based upon an adjoint variational principle. Particular attention is devoted to the determination of the dependence of the critical flutter load of the system on the transverse, twisting, and rotary inertia properties of a mass capping the free end of the beam. The equations of motion are derived from a conservation law, the adjoint boundary value problem is introduced, and an approximate stability determinant is developed from the variational principle upon assuming a set of coordinate functions which satisfy a selected set of boundary conditions. The stability determinant is solved numerically for a variety of choices of values for the internal damping, the hub radius, tip mass inertia, the rotational speed, and warping rigidity parameters, and several graphs are presented to show the influence of these parameters upon the value of the critical flutter load.

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Sommario Si constata lo stato di stabilità di una mensola viscoelastica e rotante sollecitata da un carico traversale che ruota con la sezione e che viene applicata all'estremo libero nel piano di rotazione mediante un procedimento approssimativo basato su un principio variazionale per problemi del tipo non autoaggiunti. Attenzione particolare è dedicata alla determinazione della dipendenza del carico critico di flutter del sistema dalle proprietà delle inerzie traversali, torcenti e rotatorie di una massa attaccata all'estremo libero della trave. Si derivano le equazioni di moto mediante un principio di conservazione, e si introduce il problema aggiunto. Assunto un insieme di funzioni di posizione che soddisfano certe condizioni ai limiti, si sviluppa il determinante di stabilità dal principio variazionale. Si risolve numericamente il determinante di stabilità per diverse scelte di valori dei parametri di smorzamento interno, raggio di mozzo, inerzia della massa, velocità di rotazione e rigidezza biflessionale. Parecchi grafici sono inclusi per mostrare l'influenza di questi parametri sul valore del carico critico di flutter.

     

Unsteady Flow of an Oscillating Porous Disk and a Fluid at Infinity

An exact analytic solution of the unsteady Navier–Stokes equations is obtained for the flow caused by the non-coaxial rotations of a porous disk and a fluid at infinity. The porous disk is executing oscillations in its own plane with superimposed injection or suction. An increasing or decreasing velocity amplitude of the oscillating porous disk is also discussed. Further, it is shown that a combination of suction/injection and decreasing/increasing velocity amplitude is possible as well. In addition, the flow due to porous oscillating disk and a fluid at infinity rotating about an axis parallel to the z-axis is attempted as a second problem. Sommario. Si studia il flusso non stazionario prodotto dall'oscillazione di un disco poroso in un fluido e si fornisce una soluzione analitica delle equazioni di Navier–Stokes. Si discute l'effetto di una suzione/iniezione e di una variazione sull'ampiezza della velocità' di oscillazione. Infine si studia il flusso dovuto alle oscillazioni non coassiali di un disco poroso e di un fluido all'infinito.     

An analytical approach to the dynamics of rotating shafts

An analytical procedure, based on the dynamic stiffness method, is proposed for the study of rotor dynamics problems. On the grounds of the governing differential equations of a continuous beam, the dynamic stiffness matrix of the rotating Timoshenko beam is derived, including the effects of translational and rotational inertia, gyroscopic moments and shear deformation of the shaft. Concentrated disks and isotropic, elastic bearings are taken into account in the element formulation. The results obtained by the proposed method are compared with both classical closed form solutions and finite element analyses taken from the literature.

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Sommario Nel presente lavoro viene esposto un procedimento analitico, basato sul metodo della rigidezza dinamica, per lo studio del comportamento dinamico dei rotori. In particolare, è ricavata la matrice di rigidezza dinamica della trave di Timoshenko rotante, che consente di tenere conto degli effetti dell'inerzia alla traslazione e alla rotazione, del momento giroscopico distribuito e della deformazione a taglio della trave. Nell'ambito della formulazione proposta, è possibile considerare, mediante inserimento diretto nella matrice di rigidezza dinamica, gli effetti dovuti alla presenza di dischi e di supporti elastici isotropi. Il metodo proposto è applicato alla determinazione delle velocità critiche di sistemi rotanti, con riferimento sia a casi semplici, per i quali è nota la soluzione analitica, sia al caso piu' complesso di un rotore già studiato in letteratura; per quest'ultimo esempio, in particolare, è presentato un confronto con i risultati delle analisi agli elementi finiti svolte da altri autori.

     

On the operator (utt-εuxx)t-(utt-uxx)xx related to thermomechanics of fluids

Summary A fourth-order operator, related to thermomechanics of fluids, is analyzed by studying its characteristic polynomial. This analysis is then used to solve a mixed operator-related problem. The solution is shown to have a dissipative behavior in accordance with the physical meaning of the problem.

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Sommario Si analizza un operatore del quarto ordine, collegato con la termomeccanica dei fluidi, studiando il suo polinomio caratteristico. Tale analisi è successivamente utilizzata per risolvere un problema misto relativo a tale operatore. Si mostra come la soluzione abbia un comportamento dissipativo in accordo con il significato fisico del problema.

     

Stress and strain fields produced by a heat source in a plane with an elliptic hole

Summary A report on the steady-state stress and displacement fields arising in an indefinite, elliptically-holed cilindrical body containing a line heat source. The case of an adiabatically-walled hole is examined and some numerical results are given for this as well as for the case of hole with a constant-temperature surface.

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Sommario Vengono determinate le tensioni e le deformazioni che nascono in un corpo cilindrico indefinito, con un foro ellittico, per effetto di una sorgente lineare di calore di intensità costante. Si esamina il caso del foro con parete termicamente non conduttrice e si danno alcuni risultati numerici sia per tale caso, sia per il caso del foro con parete a temperatura uniforme.

     

Application of the finite volume method in the simulation of saturated flows of binary Mixtures with particular emphasis on Non-Darcy motions through porous media

Non-Darcy flows in saturated porous media with significative boundary and inertia effects are modelled applying the Continuum Theory of Mixtures approach and simulated by discretization of the governing equations by the finite volume method.

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Sommario Flussi di tipo ‘Non-Darcy’ in mezzi porosi saturi, con significativi effetti di bordo ed inerziali, vengono modellati applicando l'approccio della Teoria delle Miscele per il Continuo e simulati mediante discretizzazione delle equazioni governanti con il metodo del volume finito.

     

Evaluation of the elastic and plastic theories as components of a general doctrine of analysis and design of metal structures

Summary A general method is developed to evaluate the nonstationary response of a linear damped system subjected to a random excitation which is represented as the product of a modulating deterministic function and a white noise process. An approximate solution method is presented first by means of a step-by-step procedure; then this method is shown to be able to generate a differential equation for the time variation of the mean square response. Stability and accuracy of the step-by-step procedure are discussed in detail, and compared with other methods. Extension to multidegree of freedom and nonlinear systems are discussed.

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Sommario Viene sviluppato un metodo per il calcolo del valore quadratico medio di un sistema lineare eccitato da forzanti aleatorie localmente stazionarie con densità spettrale di potenza uniforme. Viene dapprima presentata una procedura di tipo passo-passo; con passaggio al limite si ottiene un'equazione differenziale che definisce il modo con cui varia il valore quadratico medio al variare del tempo. Viene discussa in dettaglio altresi l'accuratezza e la stabilità della procedura al passo. Infine si estende il metodo ai sistemi a più gradi di libertà e a quelli non lineari.

     

Stability of axisymmetric motions in a rotating inviscid atmosphere

Summary We study the set of ordinary differential equations representing the truncation of the spectral vorticity equation in spherical geometry for two-dimensional, non divergent motions in a homogeneous, inviscid rotating atmosphere. The set of included spectral components represent an arbitrary axisymmetric field of motion (zonal flow) interacting with a couple of non zonal, wave-like perturbations. We analize the stability of the equilibrium configuration described by purely zonal flow, by an esplicit representation of the linear and non-linear parameters which characterize the unstable oscillations induced by perturbations of the equilibrium.

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Sommario Si studiano le soluzioni di un sistema di equazioni differenziali ordinarie che rappresentano il troncamento a poche componenti di Fourier dell'equazione di conservazione della vorticità per moti bidimensionali, non divergenti in una atmosfera rotante, inviscida e omogenea. Tale troncamento include tutte le componenti spettrali che rappresentano flussi a simmetria assiale (moti zonali) in interazione non lineare con una coppia di componenti asimmetriche che rappresentano flussi ondulatori. Si studia la stabilità della configurazione di equilibrio caratterizzata da moto zonale stazionario, analizzando i parametri lineari e non lineari che descrivono le oscillazioni instabili di ampiezza finita del campo di flusso che nascono da condizioni iniziali nell'intorno dell'equilibrio.

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This work was supported by the C.N.R. through the Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica.     

A mathematical model of the arterial system

Summary A mathematical model of the major arteries of sistemic circulation in the man is proposed. According to the model, flow is regarded as a one-dimensional whole. The numerical solution is obtained with the method of characteristics, applied to the case of an elastic, incompressible vessel wall. The model is applied to study the behaviour of six different cases. The results show that the model provide an appropriate representation of the behaviour of the major arteries in the sistemic circulation.

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Sommario Viene proposto un modello matematico per lo studio del comportamento meccanico del sistema circolatorio arterioso. Il modello utilizza lo schema di processo unidimensionale normalmente impiegato in meccanica dei fluidi; la soluzione è ottenuta con il metodo delle caratteristiche per il caso di tubi con comportamento elastico. Il modello à stato applicato a sei diverse situazioni. I risultati ottenuti mostrano la buona validità del modello matematico proposto.

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Research supported by C.N.R.     

The nonlinear evolution of swirling jets

We investigate the mechanisms of vorticity concentration, reorientation and stretching in a swirling jet, whose dynamics is dominated by the competition of a Kelvin-Helmholtz-type vortex sheet instability and a centrifugal Rayleigh instability. To this end, we employ an inviscid Lagrangian vortex filament technique. It is found that the axial jet velocity profile breaks the symmetry of the pure swirling flow. Conversely, the swirl is seen to modify the case dominated by a Kelvin-Helmholtz instability in that it results in the formation of counterrotating vortex rings. A pinch-off mechanism is observed which leads to a dramatic decrease in the local jet diameter. Furthermore, the vortex ring circulation is seen to be time dependent.

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Sommario In questo lavoro si analizza la dinamica della vorticità in un setto rotante in cui siano presenti, ed in competizione reciproca, fenomeni di instabilità di Kelvin-Helmholtz e di Rayleigh. A tale scopo si adotta una metodologia di soluzione non viscosa, Lagrangiana a filamenti vorticosi. Viene mostrato come il profilo di velocità assiale del getto altera la simmetria del moto di pura rotazione. Viceversa, la presenza della rotazione modifica il flusso dominato dall'instabilità di Kelvin-Helmholtz attraverso la formazione di anelli vorticosi controrotanti. L'interazione di questi due campi di velocità porta sia ad una considerevole riduzione del diametro locale del getto, sia ad una variazione temporale della circolazione degli anelli vorticosi.

     

Influence of some characteristic parameters on the low frequency instability in bi-propellant rocket engines

Summary In the present report, it is examined low frequency oscillations built up in a bi-propellant rocket engine equipped with pressurized feeding system.Some of the main parameters having a predominant effect on the phenomenon are investigated and the obtained criteria is found useful for the engine design purposes.All graphs are presented in a non-dimensional form which leads to a generalized use of the above mentioned method.Numerical results were processed by means of a high speed digital computer of the calculation center of Politecnico di Milano.

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Sommario Nel presente articolo si studiano le oscillazioni a bassa frequenza nei motori a razzo bi-propellente, con sistema di alimentazione e pressurizzazione.Si sono rilevati i parametri fondamentali che influenzano il fenomeno e si sono ottenuti dei criteri di calcolo utili in sede di progettazione.Tutti i grafici sono riportati in forma adimensionale in modo da rendere generale il metodo di calcolo.I risultati numerici sono stati ottenuti con il calcolatore elettronico IBM7040 in dotazione del Centro di calcolo del Politecnico di Milano.

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Rotating discs of unconventional profile

Summary On the basis of a general relation — capable of expressing analytically the thickness law for a wide range of rotating discs of different shapes — the Author proposes formulas, having the same general validity, whereby the quasi-plane stress system in such discs may be described in terms of absolutely convergent hypergeometric series.After highlighting the extreme suitableness of the mentioned formulas for calculating discs having an arbitrary profile, he adapts the results to the particular case of the conic-shaped disc and emphasizes the consequent remarkable simplification in regard to the conventional solutions.Dealing with the same procedure the Author puts forward some accurate tables pertaining to the interesting case of the discoid in the form of an ellipsoid of revolution.Finally he relates about the possibility of obtaining closed solutions for a group of discoid-frustums characterized by a particular relation which binds their geometry.

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Sommario Sulla scorta d'una relazione generale atta ad esprimere analiticamente la legge di variazione dello spessore d'una vasta categoria di dischi rotanti diversamente configurati, si prospettano delle formule altrettanto generali attraverso le quali lo stato quasi piano di tensione a questi ultimi relativo risulta praticamente definibile in termini di serie ipergeometriche assolutamente convergenti. Dopo aver fatto rilevare l'estrema convenienza di utilizzare le stesse formule per il calcolo dei dischi di profilo arbitrario si specializzano i risultati per il caso del disco conico, evidenziandone la notevole semplificazione rispetto alle soluzioni convenzionali, nonchè per l'interessante caso del discoide a forma di elissoide di rotazione per il quale si prospettano accurate tabelle. Si riferisce infine sulla possibilità di ottenere soluzioni chiuse per tutta una schiera di tronchi discoidali caratterizzati da un particolare legame che ne vincola la geometria.

     

Linear and non-linear pulse propagation in fluid-filled compliant tubes

Summary Here we study impact-initiated disturbances in fluid-filled elastic tubes. The undeformed tube diameter, wall thickness, and elastic modulus of the tube material are assumed to be functions of the distance along the centre line of the tube. The linearized version of the governing equations are solved by the Laplace transform, which is inverted by means of an approximate method. The original non-linear system of governing equations is solved numerically by the method of characteristics. Relationships between the axial fluid velocity and axial coordinate as well as between velocity and time are displayed for fixed values of time and axial coordinate respectively for the linear and nonlinear theory for ease of comparison.

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Sommario Si studiano le perturbazioni prodotte da impatto in tubi elastici riempiti di fluidi. Si assume che il diametro del tubo indeformato, lo spessore della parete e il modulo elastico del materiale del tubo siano funzioni della distanza misurata lungo la linea centrale del tubo. La versione linearizzata delle equazioni che governano il fenomeno è risolta con la trasformata di Laplace, invertita con un metodo approssimato. Il sistema originale non lineare delle equazioni è risolto numericamente con il metodo delle caratteristiche. Vengono rappresentate, per valori fissati del tempo e della coordinata assiale, le relazioni tra la velocità assiale del fluido e la coordinata assiale oltre alle relazioni fra velocità e tempo, sia per la teoria lineare sia per quella non lineare.

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