由循环小数组成的数列的通項問題

高二代数課本数列这一章的习題里,有几个題目是分別带有1,2,3,…,n,…个(或0,1,2,3,…,n,…个)循环节而构成的数列問題,同学作題时,常因不知这些数列的通項公式而感到困难。虽經教师指导,但仍不明白道理。因此。将这类問題提出来和大家討論。研究这样的数列的通項公式,让我們先来研究下面的例題。例1.求数列:0.3,0.3,0.333,……的通項。 [解] 我們从第2項起,每一项真减去它前边的一項,連同原数列的第一項,便得一个新数列: 0.3,0.03,0.003,……。显然,这个数列是一个无穷递缩等比数列,它的首項就是原数列的首項(0.3),公比是1/10,因此它的前     

高一几何第一章复習提綱

第Ⅰ單元线段的度量的复習提綱 (甲) 关于阿基米德公理 1)阿基米德公理的內容是什么? 2)用数学式子怎样將它表出? 3)我們用它解决了什么問題? (乙) 公度 1)什么样的綫段叫做兩条已知綫段的公度? 2)兩条线段如果有公度,它有最小的嗎? 为什么? 3)怎样说明当兩条已知綫段有公度时一定有最大公度,並且还只有一个? 4)当兩条已知綫段有公度时用什么方     

工程技术中的經驗公式

在工程技术中,不論是对某个技术过程作理論分析还是进行某一項技术設計,我們常常不可避免的要遇到一大堆的实驗数据。因此怎样把实驗数据进行正确的数學加工的問題就成为运用数学来解决一些实际問題时所常遇見的一个数学問題。一般說来,实驗数据的数学处理它包含着相当广泛的內容。在本文里,我們仅就对实驗数据作定量分析时所遇見的最基本的問題——建立經驗公式的問題向讀者作一簡要的介紹。所謂經驗公式,就是指那些反映已給試驗結果的規律性的近似表达式的总称。从工程技术角度来看,建立經驗公式的主要目的有二个:     

初中平面几何头十六課的教学(續)

第13課 这节課教学垂線和斜線(§26)。为了巩固上节課所講的教材,这节課在开始的时候,可以多花費一些时間进行复習,例如提問学生:怎样的角叫做鄰补角、对頂角?同角的鄰补角的性質怎样?为什么?对顶角的性質怎样?为什么?另外可以从上节課的复習巩固材料中选取几題进行提問。最后提問:“兩条直     

三角方程的增根和遺根問題

1. 研究教学大綱,决定如何引出增根、遺根問題 中学數学教学大綱(修訂草案)中指示,“在学習三角方程時,……(1)要求出方程的一切解(不强求把通值公式再加綜合);(2)在方程变形時,不应当忽略增根和遺根的可能性的問題。”这一指示引起了我們对研究增根和遺根可能性問題的重視,在过去我們進行三角方程教学時,關於增根和遺根的可能性問題强調得不够,而在代數課中關於方程的等效的概念講的是不够清楚的,在解方程过程中,破坏同值性問題一般只了解下列二點:(1)方程兩边同乘以含未知數的同一式子或使方程兩端平方,可能使方程發生增根;(2)方程兩边同除以含未知數的同一式子或兩端開方,可能使方程遺根,但这二點对於解三角方程時,檢查增根和遺     

变换,标准型与計算方法

我們从一个簡单的例子开始:計算一元一次方程3(x 2)-4=5的根。我們通常都是这样作:經过一系列变換(脫括号、合併同类項、移項等)得出与原方程等价的方程x=1,而这个方程的解則是一望而知了。这个簡单的求解方法提供了解决計算問題的一个一般想法:給出一个計算問題后,我們先弄清,     

混合型微分方程

<正> 自從F. Tricomi在1923年發表了一篇關於混合型微分方程的論文以後,各國數學家繼續在這方面工作的,不乏其入;尤其是蘇聯數學家,近年來在這方面有極其光輝的貢獻。過去所考慮的問題,都是兩個域的問題,現在我們要考慮的,是多個域的混合型問題。我們考慮下面兩個方程的定解問題:     

数学課的类型

一、写在前面我国中等教育实踐已提出这样的問題:課堂教学的形式千变万化,其中究竟有些什么規律呢?能不能把它划分成类,便于研究,便于掌握,便于使用呢?这就是“課堂类型”的問題,教育学里称它为“类型論”。关于“类型論”的研究,直接影响着教学質量的提高,其重要性已是不言而喻了。可是,教育学發展到今天为止,还沒有得到一种确定的結論,像五項教学原則那样明确。虽然这样,当     

关于二次最簡根式的問題

給出几个二次根式的一个多項式,例如3~(1/3)-2~(1/2)+(1/7)5~(1/5)+(4/3)13~(1/13)-6(11~(1/11+9))在中学教材里,认为它已不能进一步簡化。但我們可以問:为什么不能再行簡化?比方說,是否存在有理数a及自然数k使上式变为k~(1/a)?对于这个問題,在中学教材里,还不能予以简单地肯定或否定,为此我們来研究二次最簡根式的綫性关系,順便也指明二次最簡根式的另一种性貭。值     

对於1956-1957学年度中学数学教学大綱(修訂草案)的几点体会

1956-1957学年度的中学数学教学大綱(修訂草案)已經由教育部公布实行了。新的大綱是在1954年度所公布的大綱的基础之上修訂成的。笔者曾有机会参加了这次大綱的修訂工作,現在把我个人在参加这項工作当中的几点体会提供出来,供同志們参考。这次大綱的修訂,除了对於各个年級的教学时数有些变动,加入了地区测量之外,主要的还是把大綱的总說明和算术大綱及其說明加以徹底的修訂,其余部分基本上都还沒有改变。在修訂当时,也曾有人提出过这样的意見:是否可以参照苏联最近修訂大綱的情况我們自己做一番通盤的修訂,但是这样做了就会發生另外的許多問題。例如中学和大学的課程銜接問題,教科書及其参考材料的編写問題,师資的水平問題以及与有关学科的紧密配合問題等等。如果这些問題都沒有获得很好地解决,就把大綱做通盤的修訂,势必給教学帶来不必要的困难,甚至会降低教学質量。因此我觉得这种有計划地、有步驟地採取分期修訂大綱的办法是正确的,是切实可行的。     

关于中学代数教材中編选部分分式内容的問題

近来在中学数学界討論教材編选問題的过程中,曾提及在代数教材里,是否要增加部分分式內容的問題,并且也还存在着不同的意见。在这里我們也想发表些个人的想法,供同志們参考。一、中学代数教材中,是否应該编选部分分式的內容? 我們认为应該把部分分式选入中学代数教材中,因为它至少符合于:(1) 学以致用;(2) 教学用时不影响重点教材的教学;(3) 保証教学的可接受性等各項教学的基本要求。首先,如所周知,部分分式是学生以后学习微积分学,学到有理函数的积分、函数展开……等課題时,所     

大家談

本刊在最近連續發表了几篇介紹高等数学基本概念的文章,以后还將繼續登載这样的文章,編委会在四月号上写了一封“致讀者”的信,来說明我們所以这样做的原因,三个月来,我們接到了一些讀者的来信,提出了一些意見,其中有一个共同的問題:在讀者的进修中,本刊应該起什么样的作用? 同时,在“向科学进軍”的号召下,有更多的讀者写信来,要求帮助解决:拟訂进修計划、进行进修和克服自修中所遇到的困难等問題。     

关于二次三項式的因式分解

分解二次三項式的因式,一般說有四种方法:公式法、配方法、分組分解法和余式定理法。但对分組分解法作进一步研究又可得出观察法。用观察法分解某些(尤其是整系数的)二次三項式的因式时,有快而准的特点,因此在实际計算中我們經常用到它。但要采用观察法,必須在“B~2-4AC是某数的平方时,整系数二次式Ax~2+Bx+C一定是两整系数一次式之积。”这一命題正确的条件下方可。否則(有时可能出現分数),問題将变得复杂多了,不易“观察”。当然就談不上快而准了。所以,有証明这一命題正确的必要,本文的目的正是这样。引理Ⅰ.两奇数的平方差,必是8的倍数;奇数与偶数的平方差,必是奇数。     

有关发射火箭的数学問題——如何根据火箭的降落范围,計算出它的发射地点、射程、方向和偏差

一、問題的提出最近在广州听到华罗庚教授的一次报告,得益不少,其中华教授提出了这样的一个問題:在1962年10月16日至11月30日期間,苏联又向太平洋区域发射弹道火箭,塔斯社宣布了两个禁区范围,我們从禁区的四点,能得些什么启发?能推算出什么問題?……其中一个禁区的地理坐标为: 我們把它在地图上推出来,如图1。     

談談“求一個數的幾分之幾”的講法

記得去年曾聽到同志們談論“求一個數的幾分之幾”的問題,都認為“不好講”或“同學不容易接受”,今年又聽到和去年相同的論調,因此,就決定把它當作目前存在的問題提出來,以便引起同志們的研究、討論,更好地改進我們的教學。當我們講授初中算術第二分冊§150時,同學們或多或少地曾提出一些問題來,如“這不是和乘法一樣嗎,”“太麻煩,我們用乘法作行不行?”“……?”這是一個必然的過程,從提問當中我們可發覺同學們是進步了;因為他們已經懂得如何應用已學的知識解決實際問題,同時還知道應用簡便的方法比麻煩的方法好,這對於數學這門課程來說是難能而可貴的。是不是說就等於答應同學們的要求了呢?我     

關於十年級不等式的学習

經驗証明,引起在高等学校中学習數学的困難原因之一,是缺乏解帶有絕对值符号的不等式的技能与熟練技巧,直到現在,中等学校仍然不注重这样的不等式,就是在拉里切夫(■)的習題課本第二卷中,也僅(在第1396題內)引進兩个这類不等式的題目: 1) |x-2|<5, 2) |x+9|>9。但是,解这样的兩个不等式,並不能保証学生具有必要的準备,去克服未來的“高等”數学開始時的困难。因此,我們建議,对於十年級不等式的学習,要作一定的補充。首先,除不等式的一般性質外,应補充学習一些兩边都是正數的不等式的性質。     

偶重極限環線

<正> 本文主要在於解決Poincare H.所遺下的偶重極限環線的存在與位置問題.問題的提出詳見[1]。在[1]及[2]中我們解决了兩種類型的偶重極限環線的具體求法.在[2]之末我們巳提及可以從微分方程族的角度來解決一般的類型.本文主要在於證明:偶重極限環線的存在與位置問題一般可以化為奇重極限環線的存在與位置問題而解决之.由此消除了由於偶重特性所引起的特殊困難.     

極限與複數的教學總結

現用高中代數教科書是與教學大綱(草案)最不一致的一科,為提高教學質量而完成數學教師的任務,對教材的處理,是特別需要認真鑽研的,從上學年起我們互助組明確了這個問題,使我們對教材的掌握上,感到有些收穫,茲就代數課中的兩個進行教學比較困難的單元來談一談: 1、極限高二代數中的極限概念、是數學的基本概念之一,應用它來叙述關於循環小數,無限遞降等比數列,幾何課中圓周長和圓面積,以及圓柱、圓錐与球的表面積和體積等問題,在中學數學課中它是完全必要的一部份,但極限這一單元,在     

在代数教学中結合复习算术的几点意見

有些学校在讲代数之前,先用几周时間复习算术,有的則在讲代数的同时結合教材进行复习。方式各不相同,何者較好是个值得研究的問題,我們发表这篇文章供教师討論研究。我們打算在初中一年級一开始就学习代数,在代数教学中結合教材复习算术。这是一項新的工作,具体做起来有許多問題。現在提出一些我們的初步設想,請同志們批評指正。     

关于二項系数的一个公式

本文要建立一个有关二項系数的公式在証明(1)的过程中,我們将用到另一个熟知的公式,即 ((?))+((?))+((?))+…=2~(n-1)。(2)(参見徐利治編著“数学分析的方法及例題选讲”,第55頁,1955) 首先注意到,项(?)(-1)~(k-v)(?)当取j=1,2,…,k时,它总是負正相問的。因此有