合情推理显身手

近年来“合情推理”题型倍受青睐,符合“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动,发展合情推理能力和初步的演绎推理能力”的理念.现列举几例,以抛砖引玉.例1(2004年河北省中考题)我们知道:由于圆是中心对称图形,所以过圆心的任何一条直线都可以将圆分割成面积相等的两部分(如图1).图1探索下列问题:(1)在图2给出的四个正方形中,各画出一条直线(依次是:水平方向的直线、竖直方向的直线、与水平方向成45°角的直线和任意的直线),将每个正方形都分割成面积相等的两部分;图2(2)一条竖直方的直线m以及任意的直线n,在由左向右平移的过程中,将正六边…     

巧用皮克定理求格点上的多边形面积

<正>1例题引入问题1如图1,在网状格中,每个小正方形的边长为1,试求图中多边形ABCDE的面积.面对这种求不规则多边形面积的题目,我们通常采用的方法是如图2、图3的“割补法”,将不规则多边形放入规则图形中再减去多余规则图形得出结果;或者将不规则多边形进行分割,分割成多个规则图形求其面积.不难得到问题1答案为10.     

对一道课本习题的浅析

问题人教版数学八年级下册教科书第133页的第15题:如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点,∠AEF=90°,EF交正方形外角的平分线CF于F.求证:AE=EF.图1图2证明在AB上任取一点M,使AM=EC,连结ME,如图2.因为∠MAE=∠FEC,∠AME=∠ECF,所以△AME≌△ECF故AE=EF.这是按教材提示做辅助线,很容易获得的结果.但是我们面对这一经典的习题不妨做些如下的探讨和研究:①将“问题”中的“E为BC的中点”,改为“E为线段BC上的任意一点”,其他条件不变.求证:AE=EF.(如图3)为使问题一般化,我做如此变换,下面探讨的方法仍然适合特殊情…     

正方形内接三角形系列问题探究

在数学课上,老师出了如下一道题目:图1如图1,边长为1的正方形ABCD,P、Q分别在BC、CD上,且△CPQ周长为2.并让我们自己思考设计问题并解决.我经过反复思考,设计出如下几个问题,连同分析、解答一起呈现给大家.     

运用变式教学促进深度学习——以一类“正方形问题”为例

<正>1问题呈现例1如图1所示,在正方形ABCD中,G是BC边上的任意一点,DE⊥AG,垂足为E,BF∥DE,且交AG于点F．求证:AF-BF=EF.例1是“正方形”一课的课后习题,该题是一道典型习题,涉及的知识点较多,可以很好地考查学生知识的迁移、重组能力,促使学生直观想象和逻辑推理等素养的提升．     

亚当斯和他的“幻六边形”

大家知道 ,在“幻方”中 ,每行、每列及每条对角线上的各数加起来是同一个和数 .有一个名叫亚当斯的青年对幻方产生了兴趣 .他想 ,既然有正方形的“幻方” ,那么 ,能不能作出一个正六边形的“幻六边形”呢 ?图 1　“一层”六边形排列大约从 1 91 0年开始 ,他就开始研究这种“幻六边形” .他先研究的是一层的 :如右图 ,能否将 1 ,2 ,3,4,5 ,6 ,7这七个数填入七个正方边形中去 ,使每条线上加起来是同一个和数 ?图 2　“两层”六边形排列他很快就发现 :这样的填法是不存在的 :如果图中ｘ ｙ要和ｘ ｚ相等 ,就有 ｙ =ｚ ,但 1到 7中的每个数…     

简析以正方形为基的中考题的做法

<正>正方形形不仅具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的所有性质,而且具有轴对称性和中心对称性的美,还体现了角平分线、线段垂直平分线等性质,以正方形为基的考题历来是中考数学命题的热点和焦点之一.这些题的结构特点是:利用正方形的一些性质,结合其它知识点构成中考题,题目形式多样,精彩纷呈,很好地考查了图形类的主要知识点,以及学生分析问题和解决问题的能力.解题的切入点就是很好的利用正方形的性质,再综合其它知识通盘考虑去解答.一、利用正方形的角是直角图1例1(2013年长春)如图1,MN是⊙O的弦,正方形OABC的顶点B、C在MN上,且点B是CM的中点.若正方形OABC的边长为7,则MN的长为.     

中考中的折纸问题

<正>折纸问题有利于考查学生的动手操作能力、逻辑思维能力、逻辑推理能力,空间想象能力,这类问题已成为近几年中考的热点问题.略举几例如下,供参考.一、折正方形纸片例1(2012年贵州省遵义市中考题)把一张正方形纸片如图1(1)、图1(2)对折两次后,再如图1(3)挖去一个三角形小孔,则展开后图形是().     

矩形折纸中的风采探究

近几年来,折纸成为中考的热点,难点,它不但考查学生灵活运用数学知识的能力,而且也考查了学生看图、识图、动手操作能力.解决这类问题的关键是:把握折纸实质上是以折痕为对称轴的轴对称,充分利用翻折前后的两个图形全等,问题就容易解决了.下面谈谈矩形折纸中的数学问题. 一、折叠出正方形 矩形最基本的折纸,就是用一张长方形纸片折一个正方形. 如图1,可以折出正方形, 二、折叠出菱形 例1已知:如图2所示的一张矩形纸片ABCD(AD＞AB),将纸片折叠一次,使点A与点C重合,再展开,折痕EF交AD边于点E,交BC边于点F,分别连接AF和CE.     

折纸活动--三角形的内接矩形

课前准备　请学生准备两个直角三角形纸片、两个锐角三角形纸片 .教学过程1　提出问题缝纫师傅想用一块三角形的布料剪出一块面积最大的正方形方巾 ,现在他手中只有一把剪刀 ,问他应该如何剪 ?这是一个实际问题 ,能否用我们所学的数学知识加以解决 ,或者说 ,这个问题能否转化成一个数学问题呢 ?抽象去“布料”、“剪刀”等实际背景 ,相应的数学问题是 :如何由一个三角形纸片折出面积最大的正方形 ?为此 ,我们先“动手做”.2　活动 1 　在直角三角形的纸片中折出面积最大的正方形2 .1　逼近 :先在直角三角形纸片中折出矩形学生动手探索后 ,给…     

小强穿越记——勾股史话

<正>剧中人表演者小强学生甲饰毕达哥拉斯——学生乙饰随从学生丙饰小强:这是什么地方?随从:别动,你闯入了古希腊数学圣地!报告宗主,我抓住了一个人.毕达哥拉斯:先把他看住,等我宣布一个伟大的发现之后,再来处置他!你看图1,这是什么?随从:直角三角形!毕达哥拉斯:在它的三条边上,各画一个正方形,如图2,我发现,大正方形的面积恰等于两个小正方形面积之和.     

“复数与几何”的复习课

(本专栏特邀过伯祥老师主持 ,稿件请寄　 31 60 0 0　浙江省定海昌东新村 2 1幢 58#1 0 2室 )　　主持人按　数学的解题教学 ,目前的课堂上 ,多数情形是怎样在进行的呢 ?还可以“建议”作些什么探索与改革呢 ?常可见到的是 ,犹如把孩子“牵着手走”,甚至“抱着走”的现象 :自始至终是通过师生的双边活动 ,只是学生的思维活动总是处在被动的状态 :教师问一句 ,学生齐答一句 ;教师不问 ,学生不思不响 .这种时候 ,教师把一个大问题 ,事先分解成一个个小问题 ;学生的思维不能连贯 ,总是断断续续的 .这样体现的主体性 ,是半主体性假主体性 .而且…     

一道经典几何题的多种解法

<正>一题多解有利于调动学生的学习积极性,提高学生的学习兴趣,有利于培养学生的创新思维能力.下面,以八年级一道经典几何题为例.题目如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC上一点,∠AEF=90°,EF交正方形外角的平分线CF于F.求证:AE=EF.一、利用全等三角形的性质证明两线段相等解法1如图2,在AB上截取AG,使得AG=CE,易得BG=BE,     

寓教于乐的数学实验

[实例 1 ]乘法公式 (a+b) 2 =a2 +2ab+b2 的实验归纳 .在教学实践中我发现 ,中等及中等偏下的学生会记错某些简单但重要的公式 .这当然存在学生本人的主观因素 ,但教师能否从自身角度出发 ,改进教学方式来帮助学生避免类似问题呢 ?我的具体做法如下 .第一步、把全班学生分为八组 ,课前布置手工作业 ,要求每一小组都准备 4块纸板 :边长为 1和x的正方形纸板各一块 (x的长度自定 ,之所以要学生自定x的边长 ,目的是便于从特殊到一般去寻找和演绎乘法公式的规律 ) ,长和宽分别为x和 1的长方形纸板二块 .如图 (1 )所示 .第二步、要求将手中的小纸…     

对数学学习研究的几点思考

随着数学教育改革的不断深入 ,人们越来越清楚地认识到 :实施素质教育、提高教学质量的关键是教师 ,中心问题是如何切实、有效地改进学生的学习 .为此 ,就要研究学习的实质、数学学习的实质 ,而不再像过去那样只是考虑“某个课题如何讲”的精讲多练那种以教师为中心的做法 .美国国家研究委员会发表的“人人关心数学教育的未来”一书中也明确指出 :教学的目的是引导学习 .我们通常说的“好的教师不是在教数学 ,而是能激发学生自已去学数学” ,也是这个意思 .如何改进学生的学习 ?如何达到“引导学习”“激发学生自己去学数学”这一目的 ,关键…     

也谈“趣分正方形”

<正>贵刊在2015年3月下的智慧窗,刊登了王秉春老师的文章"趣分正方形":如图1,是一个8×8的正方形,请你从该图中去掉一个小正方形,将剩下的63个小正方形分成21个1×3的长方形.文中虽只有一个答案,但非常精彩,并很有启发.现进一步地探讨:在图1的64个小正方形中去掉了怎样的一个小正方形才符合题意,总共有几种去法?试一一列举.并阐明理由.为此,借贵刊一角,介绍出来,与     

关于试题评价与命制的一点思考

一、问题来由在一次网络教研中,有教师提出一个问题:下面这道题有几个解?如图1,⊙O是正方形ABCD的外接圆,点P在⊙O上,则∠APB的度数为___________.关于这一问题,有的教师认为是一解,有的教师认为是两解.观点一的理由为:"如图"本身也是一个重要的条件,不可忽视;观点二的理由为:题目所给的只是示意图,其中,点P的位置是不确定的,所以点P也可能在     

"余弦定理"一课的教学设计

随着数学新课程改革的不断深入,“学生是课堂教学活动的主体”已经成为广大中学数学教师的共识.本文记录了笔者“余弦定理”(“余弦定理”是普通高中课程标准实验教科书《数学5》(必修)部分的内容)一课的教学过程,并就此谈一些感受和体会,供同行参考,不妥之处,敬请指正.1创设情境提出问题图1教师首先提出问题.修建一条高速公路时,要开凿隧道将一段山体打通,现要测量该山体底侧两点间的距离,也就是:如图1,要测量该山体两底侧A、B两点间的距离.我请同学们先相互讨论一下,想办法解决这个问题.2构建模型解决问题对于这个问题,同学们都比较兴奋,…     

例谈三角形“相似分割”问题

<正>一、问题背景苏科版八年级数学(下册)第123页有这样一道探索研究问题:"如图1,有两个分别涂有黄色和蓝色的△ABC和△A′B′C′,其中∠C=∠C′=90°,且两个三角形不相似.问:能否分别用一条直线分割这两个三角形,使△ABC所分割成的两个黄色三角形与△A′B′C′所分割成的两个蓝色三角形分别对应相似?如果能,请设计出分割方案;如果不能,请说明理由."图1学生初次接触这种相似分割问题时无从下手,笔者立足此题设计有层次的四个问题,帮助学生初步掌握三角形相似分割的一些基本方法,学会有目的、有条理地分析问题.     

例说解惑的三种境界

师者,传道授业解惑也.可见,解惑是教师的一项重要任务.同样是帮助学生解惑,却各自巧妙不同,收效更是不同.据此,我把解惑分为“低、中、高”三种境界.现将平时遇见的三则案例拿出来,仅供大家思考. 案例1 学生甲问A老师一道题:(如图1)正