倒数变换的应用

<正>倒数代换是数学解题中重要的技巧之一,它在求函数最值与值域、解不等式、证明不等式等问题中都有重要的应用.1.求函数最值与值域.例1设S_n=1+2+…+n(n∈N*),求f(n)=S_n/(n+32)·S_(n+1)的最大值.解∵S_n=n(n+1)/2,     

关于贝努利不等式的探究拓展与应用

不等关系是最基本的数学关系,在数学研究和数学应用中起着重要的作用.《湖北省普通高中新课程数学教学实施指导意见》将《标准》中选修系列4第5专题不等式选讲作为指定学生修习ΧΟ的专题,而贝努利不等式就是其中的一个重要不等式.《标准》对于贝努利不等式的教学提出了明确要求:     

构造数列证明一类不等式

证明与自然数有关的一类不等式的常规方法是数学归纳法和放缩法,但数学归纳法的证明过程比较繁琐,而放缩法的技巧性很强,难度较大,笔者运用构造数列的方法证明此类不等式,可使证明过程思路清晰、简捷明快.例1证明对于一切大于1的自然数n,有(1 13)(1 15)(1 17)…(1 2n1-1)>22n 1     

妙用导数证明数列不等式

<正>最近在研究函数导数和不等式的综合问题时遇到一类题目,参考答案让人百思不得其解,发现这类题目有共同的解法,与大家分享.题目证明不等式1+1/2+1/3+…1/n>ln(n+1)+n/(2(n+1)(n∈N^*).证明要证原不等式,只要证明1+1/2+1/3+…1/n-ln(n+1)-n/(2(n+1)>0.构造数列{a_n},其前n项和为S_n,且S_n=1     

对数列{(1+1/n)~n}的单调性的再思考

1数列{(1+1/n)n}的单调性新证众所周知,在高等数学《数学分析》的极限论里有以下重要数列:命题1{(1+1/n)n}是N*上的严格递增数列.本文首先给出它的新颖证法:证明利用著名的贝努利(Bernulli)不等式(1     

一个不等式的简证及其几何直观

文 [1 ]对不等式2 (n 1 - 1 ) <∑nk=11k<2 n - 1(n >1 )进行了指数推广 ,其结果是 :定理　 11 - p[(n 1 ) 1-p - 1 ]<∑nk=11kp<11 - p. n1-p - 11 - p 1(p∈ R且 p >0 ,p≠ 1 ,n >1 ) .上述定理证明的依据是如下两个引理 :引理 1　 1kp <11 - p[k1-p - (k -1 ) 1-p]　 (p∈ R且 p >0 ,p≠ 1 ,k >1 ) .引理 2　 1kp >11 - p[(k 1 ) 1-p -k1-p]　 (p∈ R且 p >0 ,p≠ 1 ,k≥ 1 ) .文 [1 ]的证明方法是借助于算术—几何均值不等式 ,分 0

1进行讨论证明 ,读者不难看出 ,不仅过程繁琐 ,而且对其证明思路难以把握 .文 [2 ]中利…     

贝努利不等式的两个推论及应用

若x>-1,n∈N~*且n≥2,则(1 x)~n≥1 nx,当且仅当x=0时,等号成立.这就是著名的贝努利不等式.在此不等式中,若令t=1 x,可得     

让考生在不等与相等之中归纳推理和演绎创造——探悉2007年高考湖北数学卷理科压轴题的命题意图

原题已知m,n为正整数.(Ⅰ)用数学归纳法证明:当x>-1时,(1 x)m≥1 mx;(Ⅱ)对于n≥6,已知(1-1n 3)n<12,求证(1-mn 3)n<(12)m,m=1,2,…,n;(Ⅲ)求出满足等式3n 4n … (n 2)n=(n 3)n的所有正整数n.关于此题的评析,已有多篇文章涉及(见文1~6),根据这些文中的观点,结合阅卷所得,本文从揣摩命题意图、探悉设计方案和分析考生答卷的角度,谈谈进一步研究此题的一些收获与启示,以期能和命题设计者进行一种心灵上沟通,达成某种程度上的共识.1追溯试题设计的背景第(Ⅰ)问的背景.第(Ⅰ)问所要证明的不等式实际上是广义贝努利(Bernoulli)不等式的一个变式.…     

对一道高考题的探究

2006年江西高考理科压轴题的最后一问经提取后,即是要证明以下不等式成立:(1-1/3)(1-1/3~2)(1-1/3~3)·…·(1-31n)>1/2(n∈N )(1)注意到此不等式与自然数有关,故考虑用数学归纳法证明.而该式左边为含n的表达式,右侧为一常数,由数学归纳法证明过程易想到如果不对21进行变形是很     

构造对偶式证明不等式

不等式的证明方法很多 ,这里介绍构造对偶式证明不等式 ,也许在诸多证明方法中它别开生面、独具“风味”,给人一种赏心悦目的感觉 .1　“填充”对偶式例 1　求证 :12 . 34.… .2 n - 12 n <12 n 1 .分析　不等式的左边是几个分数连乘积 ,能不能在每两个相邻的分数之间插入另一个分数 ?因此 :设　 A =12 .34.… .2 n - 12 n ,B =23. 45.… . 2 n2 n 1 ,由于　 12 <23,　 34<45,… ,2 n - 12 n <2 n2 n 1 ,因此 A 相似文献   

n元均值不等式的应用

我们非常熟悉的 n元均值不等式a1 a2 … ann ≥ n a1a2 … an　 ( ai >0 ) ,当且仅当 a1=a2 =… =an 时取等号 ,若灵活运用此不等式 ,解决形如“和”大于等于“积”的多元不等式的证明 ,可使问题巧妙获证 .其思路自然、流畅 ,可培养学生观察问题的深刻性和思维的灵活性、创造性 .而且缩短了思维的回路 ,优化了解题过程 .1　直接运用 n元均值不等式有些不等式的问题由于其本身的特点 ,可直接运用均值不等式 ,或添、拆项后使用均值不等式 ,可迅速获得证明 .例 1　求证( 1 1n) n <( 1 1n 1 ) n 1　 ( n∈ N ) .分析　此问题与自然…     

函数单调性与数列型不等式

<正>数列型不等式为高考数学的一个新的亮点问题,解这类问题需要我们具有扎实的数学基础知识和较强的观察、分析、构造和运算能力,有些题目具有一定的技巧性.对于含有lnn的不等式,我们通常是利用不等式ln(x+1)0)或者lnx1)进行证明.本文在此基础上进一步揭示证明数列型不等式的常用方法,特别是利用不等式e^x>x+1>ln(x+2)或其变形式,通过构造函数,经过合     

一道数学征解题的解后再思考

<数学通报>2009年第8期"数学问题"中的1808号问题为:已知正数a,b满足a+b=1,求证:(1/a3-a2)(1/b3-b2)≥(31/4)2,本文首先给出此不等式的几种证明方法,然后通过对方法的分析,给出不等式的几种推广.     

构造函数解决与自然数有关的问题

解决与自然数有关的命题通常用数学归纳法、二项式定理的展开式 .而数列作为定义在自然数集上的函数 ,若用数学归纳法解题有一定的难度 ,如果将问题转化为函数来处理 ,则往往使问题变得简洁、容易 ,此时常常将 n视为自变量 .下面举几例说明 .例 1　已知 n∈ N ,证明不等式1 12 13 … 1n <2 n .证明　构造函数 f ( n) =1 12 13 … 1n - 2 n ,∵　 f ( n 1 ) - f ( n)　 =1n 1 2 n - 2 n 1　 = n - n 1( n 1 n ) n 1 <0 ,∴　 f ( n 1 ) 相似文献   

数列问题的解法与背景探析

<正>题目(2013年广东省高考理科数学第19题)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,2S_n/n=a_(n+1)-1/3n²-n-2/3,n∈N2-n-2/3,n∈N^*.(1)求a2的值;(2)求数列{an}的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有1/a_1+1/a_2+…+1/a_n<7/4.本题考查了递推公式、等差数列的概念、通项公式、裂项相消法求数列的前n项和、放缩法证明不等式等知识.要求a2,需要建立关于a2的方程,考查了方程思想.要求数列的通     

一数学证明题引出的思考

<正>求证:C1n/1-C2n/2+C3n/3+…+(-1)n-1Cnn/n=1+1/2+1/3+…+1/n(n∈N*).这是文[1]中给出的一道数学题,此文中指出本题"入手一做感觉棘手,很繁杂,与同组老师研讨时,一致认为要用数学归纳法证明",后给出了具体的证明过程,几乎用到了组合数性质的所有常用公式,可以说是一道高三复习组合数性质和数学归纳法的好题.笔者读完此文后,对"一致认为要用数学归纳法证明"有些疑问,难道此题不用数学归纳法就很难证明吗?于是,对此题的非数学归纳法证明作了思考.     

《数学通报》1624号问题的两个别证及再推广

1 问题的提出 <数学通报>2006年7月号问题1624: 若a1,a2,…,an∈R+,且a1+a2+…+an=s,求证:1/a13(a2+a3+…an)+1/a23(a1+a3+…+an)+…+1/an3(a1+a2+…+an-1)≥n5/s4(n-1) 在2006年第8期,问题提供人刘俊老师构造n维向量,利用向量性质|m·n|≤|m|·|n|给出了一种证明方法;在<数学通报>2008年第5期罗邦华老师利用一个不等式引理又给出了一种证明方法,并将其结果进行了推广.     

证明数列不等式的新方法——构造不等式法

对形如n∑i=n0ai＜f(n),n∏i=n0ai＜f(n)n∑i=n0ai＞f(n),n∏i=n0ai＞f(n))的不等式我们称之为数列不等式,常见的有"和式"和"积式"不等式两大类. 数列不等式的证明方法很多,通常有数学归纳法、放缩法、裂项法等.放缩法如何应用?怎样放缩?很少有人在这方面作较深入探讨.本文向诸位推荐一种简捷的方法:构造不等式法.     

加强命题用导数解决数列不等式

<正>例1已知f(n)=n⁽ⁿ⁺¹⁾,g(x)=(n+1)(n+1),g(x)=(n+1)ⁿ,n∈N*.求证:当n≥3,n∈N*时,f(n)>g(x).本题用数学归纳法可以证明.但是用加强命题,再利用导数方法解决则是另外一种风味.证明对于上述命题,我们可以先加强命题x≥3,x∈R时,有xn,n∈N*.求证:当n≥3,n∈N*时,f(n)>g(x).本题用数学归纳法可以证明.但是用加强命题,再利用导数方法解决则是另外一种风味.证明对于上述命题,我们可以先加强命题x≥3,x∈R时,有x^(x+1)>(x+1)(x+1)>(x+1)^x.即(x+1)lnx>xln(x+1),因为x≥3,lnx>0,ln(x+1)>0,     

数列不等式问题的多角度证法

<正>熟知,数列是特殊的函数,而不等式则是深刻认识函数与数列的重要工具,因此,数列的重心已经偏移到不等式的证明与求解中.2015高考安徽(理)有这样一道题:设n∈N*,x_n是曲线y=x_(2n+3)+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标.(1)求数列{x_n}的通项公式;