特例与特解例说

在数学解题中,三思而行,往往能抓住问题的特点,找到特殊的办法,这就要首先观察。通过观察、分析而捕捉规律,从而找到解题的合理途径,兹举例说明: 例1 已知三角形的三边长分别为24、32、40,求最大角。说明:本例常规解法是用余弦定理,但计算较繁。观察不难发现:24:32:40=3:4:5,可见,这是个直角三角形。显然,最大角是直角。例2化简(1+2(3)~(1/2)+5~(1/2))/((1+3~(1/2))(3~(1/2)+5~(1/2))(5~(1/2)2(7)~(1/2)+3)/(5~(1/2)+7~(1/2))(7~(1/2)+3~(1/2))     

對於數π的瓦理斯公式,萊布尼茲公式和歐拉公式的初等推導

在高等數學中,推得了許多把數π表爲無窮級數或無窮乘積的公式,這些公式中最著名的是瓦理斯公式2/1·(2/3)·(1/5)·(1/5)·(5/6)·(6/7)·=π/2 (1)萊布尼茲公式 1-(1/3)+(1/5)-(1/7)+…=π/4 (2)歐拉公式 1+(1/2~2)+(1/5~2)+(1/4~2)+…=π/6~2 (3) 在高等學校裏,這些公式普通是在研究積分學(瓦理斯公式),研究函數展為冪級數(萊布尼茲公式)和展為三角級數(歐拉公式)的理論時被證明的,我們認為,對於大學裏的高等代數教師,特別,對於師範大學的高等代數教師來說,下面的一個這些公式的簡單推導,它只基於複數的運算法則和多項式代數的基礎,可能引起興趣;實際上,這個推導甚至對於中學生來說,都是可以理解的。     

对一道联赛题的多方位思考

2005年全国高中联赛第一试第一题: 使关于x的不等式(x-3)~(1/2) (6-x)~(1/2)≥k有解的实数k的最大值是( )． (A)6~(1/2)-3~(1/2) (B)3~(1/2) (C)6~(1/2) 3~(1/2) (D)6~(1/2) 此题不失为一道开拓思维的好题,可以从多个方面进行求解,以下是我们对解决此题的一些思考．     

巧用特殊法 妙解课本题

根据题目条件的信息,选用恰当的化简技巧,是解决课本二次根式题的关键.一、变换所求,以简驭繁例1已知x=1/2(7~(1/2)+5~(1/2)),y=1/2(7~(1/2)-5~(1/2)),求x2-xy+y2的值.解当x=1/2(7~(1/2)+5~(1/2)),y=1/2(7~(1/2)-5~(1/2))时,有x-y=5~(1/2),xy=1/2.∴原式=(x-y)2+xy=(5~(1/2))2+1/2=11/2.二、化简变形,化难为易例2已知x=(3~(1/2)+2)/(3~(1/2)-2),y=(3~(1/2)-2)/(3~(1/2)+2),求     

“借题发挥”

偶尔得暇,翻到本刊一九八四期《大有可为的“1984”》一文,见所拟四题,立意各异,其中第四题。作者有意造了一个与两角和的正切公式暗合的函数: f(x)=2-3~(1/2)+x/1-2x+3x~(1/2)(=(2-3~(1/2)/1-(2-3~(1/2)x)))从而给出了该题的     

从解一道三角题所得到的启示

全日制十年制学校高中课本《数学》(试用本)第一册复习题三中的第6题是:“已知sina=5/7,cos(α+β)=11/14,且α、β都是锐角,求cosβ”。大多数学生是从sina=5/7求得,ccsa=(2/7)6~(1/2),再由cos (α+β)=11/14求得(2/7)6~(1/2)cosβ-的值。这样的解法冗长烦琐,费时间易出错。我们启发诱导学生观察,条件是角α的正弦值,角(α+β)的余弦值已给定,由平方关系便可分别     

“比较号”的妙用

高中数学教材指出,要比较两个实数a,b的大小,只要间接地考察差a-b的符号,然后根据不等式性质:a-b>0(?)a>b,a-b=0(?) a=b,a-b<0(?)a相似文献   

化分指数幂为根式的一种方法

化分指数幂为根式时,学生常常习惯于一开始就直接利用分指数幂的定义,立即转化为根式。如 2~(-1/2)=1/(2~(1/2))=1/(2~(1/2))·(2~(1/2))(2~(1/2))·(2~(1/2))(2~(1/2))·     

等距节点上(0,3)插值五次样条

§1.引言 设f(x)是定义在[0,1]上的连续函数,n是自然数。记h=1/n, f_v~((r))=f~((r))(vh),v=0,1,…,n;r=0,1,…,5, f_(v 1/2)~((r))=f~((r))((v 1/2)h),v=0,1,…,n-1;r=0,1,…,5, ω_r(j)=max |f~((r))(x_1)-f~((r))(x_2)|,r=0,1,…,6. |x_1-x_2|≤h 0≤x_1,x_2≤1又设s(x)是[0,1]上满足(i)s(x)∈C~3[0,1],(ii)在[vh,(v 1)h]上s(x)∈∏_5,v=0,1,…,n-1的五次样条.它们的全体记为?_(n5)~((3)) .     

一类代数式的求值方法新议

题:当 x=2-3~(1/2),求代数式:(7+43~(1/2))x~2+(2+3~(1/2))x+3~(1/2)的值.解等此题一般是直接把 x 的值代入所求式进行计算.而事实上,只要善于将7+43~(1/2)变形为(2+3~(1/2))~2,这题应用代入法也的确是非常简单的.但如果我们设想把各项系数变化一下,比如把二次项系数7+43~(1/2)改变为11+73~(1/2),把一次项系数改成3+     

关于二次最簡根式的問題

給出几个二次根式的一个多項式,例如3~(1/3)-2~(1/2)+(1/7)5~(1/5)+(4/3)13~(1/13)-6(11~(1/11+9))在中学教材里,认为它已不能进一步簡化。但我們可以問:为什么不能再行簡化?比方說,是否存在有理数a及自然数k使上式变为k~(1/a)?对于这个問題,在中学教材里,还不能予以简单地肯定或否定,为此我們来研究二次最簡根式的綫性关系,順便也指明二次最簡根式的另一种性貭。值     

递推数列寻找特根(续)——从2010年全国卷Ⅰ第22(1)说起

下题由2010年全国1卷第22(1)题改编,求数列{bn}改成了求数列{an}的通项公式. 题3 已知数列{an}中,a1=1,an+1=5/2-1/an.求数列{an}的通项公式. 求根 设递推式an+1=5/2-1/an的特征方程s=5/2-1/s,解之得s1=2或s2=1/2.     

论二次欧氏域■d~(1/2)(d≡3(mod4)中代数整数β有原根的条件

我们知道二次域K=(d~(1/d))(为有理数域为欧氏域,当且仅当d 为(参看文献[7]): -11;-7;-3;-2;-1;2;3;5;6;7;11; 13;17;19;21;29;33;37;41;57;73。以O_k表示K=(d~(1/d))的代数整数环。文献[1]、[2]和[3]分别讨论了当d=-1,±2和3时,O_k内整数有原根的条件。本文将讨论,对任意的二次欧氏域K=(d~(1/d))(d≡3(mod4))中代数整数β有原根的条件,此时,d=-1;3;7;11或19。     

莫斯科大学1989年入学考试试题

1.解方程(3~)~x27~=9~.2.解不等式(log (8-2)~(1/2)(2x-1))(log_2(1+2x-x~2))≥0.3.经过ΔABC的顶点A与ΔABC的中位线(该中位线与边AC平行)的中点的直线将ΔABC分为两部分的面积之比是多少?4.已知x_1、x_2是二次三项式x~2+ax+a-1/2的实数根,求a为何值时(x_1-5x_2)(x_2-5x_1)取最大值。5.已知三棱锥S-ABC的底是边长为4的正ΔABC,且知AS=BS=(19)~(1/2),CS=3,求该三棱锥外接球的面积。     

简议正项级数敛散性的判别法

<正> 无穷小数0.714285714285714285……可简记作0.714285.小数点6n位数为714285×((1/(10~6))+(1/(10~6)~2)+…+(1/(10~6)~n)=714285×(1/(10~6))((1-1/10~(6n))/(1-(1/10~6)))=714285/999999=5/7因此5/7可表为无穷级数的形式     

初二数学期末综合测试(一)

一、选择题(每小题3分,共36分)1.下列各式中,正确的共有( )。(1)-6是36的平方根(2)49的平方根是7(3)-(-2~3)~(1/3)=-1-21(4)带根号的数都是无理数(5)当a≠0时,a~(1/2)总是正数(6)零的算术平方根是零     

“解文字数无理分式方程”教学一例

人民教育出版社出版的高中代数第一册,习題十四,第14題中的两个小題是解文字数无理分式方程: (1) x (a~2 x~2)~(1/2)=(5a~2)/(a~2 x~2)~(1/2);(a>0)(2)((a-x)~(1/2) (b-x)~(1/2))/((a-x)~(1/2) (x-3b)~(1/2))=((a-x)~(1/2)-(b-x)~(1/2))/((a-x)~(1/2)-(x-3b)~(1/2))(a>b,b<0) 解文字数的无理方程,在驗根时要討論文字数間的大小关系或文字数的尤許值的范围,对高一学生来說,这不是十分容易掌握的,因此,教师在教学中必須賦予应有的注意。本文不想从教学法上来討論这个問     

从一个方程談起

本文是围绕一个方程,做为一个高三学生汇报自己如何读数学书籍的初步体会,敬请老师们指正。试证含有x,y的不定方程: x~2-2y~2=1有无穷多组(正)整数解。现把“格点和面积”书中证明过程摘录如下: “显然x~2-2y~2=1有解x=3,y=2, 即 (3+2 2~(1/2)(3-2 2~(1/2))=1。平方并化简,得(17+12 2~(1/2))(17-12 2~(1/2)=1, 即 17~2-2×12~2=1。即 x=17,y=12,是另一组解。取立方,四次方……,即得无穷多组解。”这个证明,实际上提供了不定方程x~2-2y~2=1的解法。一开始,感到这种解法非常巧妙。仿照这种方法,试解了方程x~2-2y~2=-1。显然,x=1,y=1,是这个方程的一组自然数解(以下“自然数解”均写“解”)。随后发现,必须将原方程两边立方,才能得到第二组解x=7,y=5。以后便是五次方,七次方…。这样,便初步掌握了这种类型的方程的解法。在翻阅一本名叫《趣味的数和图》时,其中第一章“趣味的数字”里有一题:     

如何求代数式的值

本文以全国各地初中数学竞赛题为例,阐明一些求代数式值的基本方法。一、根据条件和结论之间的联系求值例 1 设a-b=2 ~3(1/2),b-c=2-3~(1/2),求a~2 b~2 c~2-ab-bc-ac的值(85年全国初中联赛)。分析:由题设a-b=2 ~3(1/3),b-c=2-3~(3);可得a-c=4.由上可得a~2 b~2-2ab=7 4~(1/2);b~2 c~2-2bc=7-4~3(1/2) ;a~2 c~2-2ac=16. 上述三式相加得a~2 b~2 c~2-ab-bc-ac=15. 紧紧抓住题设与结论之间的内在联系进行转化是求有条件的代数式的值的基本方法。也是解数学题的基本思维方法之一。     

条件有余的高考付题

一九八三年全国高等学校招生统一考试数学付题理工医农类第八题所给的条件有多余的,兹分析如下。原题是:“已知数列{a_n}中,a_1=3/5,a_2=31/100,并且数列:a_2-1/10a_1,a_3-1/10a_2…,a_n-1/10a_(n-1),…是公比为1/2的等比数列 (条件A),而数列:lg(a_1-1/2a_1),lg(a_3-1/2a_2),…lg(a_n-1/2a_(n-1)),…是公差为-1的等差数列(条件B)。 (1)求数列{a_n}的通项公式: