第24届全苏中学生数学奥林匹克试题

本届数学奥林匹克于1990年9月18-25日在苏联阿什哈巴德市举行。以下各题题号有2个数字,第一个数字表示年级,第二个数字表示这个年级的试题的顺号,例如11.3表示十一年级第3题,竞赛分2天举行。第一天 9.1求证:对于任意的数t,下列不等式     

第19届全俄中学生数学奥林匹克试题及解答

9年级第一试1 如果自然数n使得2n+1和3n+1都恰好是平方数,试问5n+3能否是一个素数? 2 AB和CD是两条长度为1的线段,它们在O点相交,而且∠AOC=60°,试证:     

第31届国际数学奥林匹克试题及解答

周彤同学在第31届国际数学奥林匹克中以满分的成绩获得金牌,为祖国贏得了荣誉。今将其解答全文发表如下,以飨读者。文中少处叙述经其指导老师钱展望同志修改和润色。     

第32届国际数学奥林匹克试题及解答

1.(苏联提供)已给△ABC,设I是它的内心,角A,B,C的内角平分线分别与其对边交于A′,B′,C′。求证     

第39届国际数学奥林匹克试题及解答

问题1设凸四边形ABCD的两条对角钱AC与BD互相垂直,且两对边AB与DC不平行．点P为线段AB及DC的垂直平分线之交点,且在四边形ABCD的内部．证明：A,B,C,D四点共圆的充分必要条件为△ABP与△CDP的面积相等．证记AC与BD交于点E,过点P作线段AE,BE之垂线,垂足分别记为M,N．由AC上BD可知PMEN为矩形,因此PM=NE,PN=ME．由点P的选取可知PA=PB,PC=PD．为了证A,B,C,D四点共圆,只要证明PA=PB=PC=PD下面先来计算△ABP,△CDP之面积：因此,为了证明S△ABP=S△CDP当且仅当设S△ABP＝S△CDP,我们来…     

第25届全俄罗斯中学生数学奥林匹克决赛试题解答

第一天1　是否存在 19个具有相同数字之和的不同自然数 ,使这些自然数之和等于 1999?2　将一些整数排在数轴的一切有理点上 .求证 :可找到这样一个区间 ,使这区间两个端点上的数之和不大于区间中点上的数的 2倍 .3　四边形ＡＢＣＤ的内切圆与各边ＤＡ ,ＡＢ ,ＢＣ ,ＣＤ分别相切于点Ｋ ,Ｌ ,Ｍ ,Ｎ .令Ｓ1 ,Ｓ2 ,Ｓ3,Ｓ4分别是△ＡＫＬ ,△ＢＬＭ ,△ＣＭＮ ,△ＤＮＫ的内切圆 .向圆Ｓ1 与Ｓ2 ,Ｓ2 与Ｓ3,Ｓ3与Ｓ4,Ｓ4与Ｓ5 作外公切线 (不同于四边形的各边 ) .求证 :这 4条切线组成的四边形是菱形 .4　ｎ2 个筹码放在一个无限棋盘的含ｎ×…     

第32届国际数学奥林匹克试题解答

第一试 (1991.7.17. 9:00-13:30) 一、△ABC之三内角平分线交对边于A＇、B＇、C＇,且内心为1,则 1/4相似文献   

第31届国际数学奥林匹克试题与解答

第31届国际数学奥林匹克于1990年7月在北京举行,我国选手成绩如下:下面是这次竞赛的试题与解答: 第一天北京1990.7.12(9:00—13:30) 1.在一圆中,两条弦AB、CD相交于E点.M为弦AB上严格在E、B之间的点,过D、E、M的圆在E点的切线分别交直线BC、AC于F、     

第七届巴尔干国家中学生数学奥林匹克试题及解答

1.(希腊)设a_1=1,a_2=3,且对子所有的正整数n,a_(n 2)=(n 3)a_(n 1)-(n 2)a_n 。试求所有使a_n可被11整除的n的值。 2.(保加利亚)考虑下式定义的一个多项式:a_0 a_1x a_2x~2 …十a_((2)_n)x~(2n)=(x 2x~2 … nx~2)~2。求证: 3.(南斯拉夫)设A_1B_1C_1是不等边锐角△ABC的垂足三角形,A_2、B_2、c_2是内切于△A_1B_1C_1的圆与它的边的切点。求证:△A_2B_2c_2和△ABC的欧拉直线重合。注1.已知三角形的垂足三角形以原三角形高线的足为顶点。注2.已知三角形的欧拉直线由它的垂心(三条高的交点)和它的外接圆心确定。     

第三十届国际数学奥林匹克竞赛试题与解答

地点:联邦德国,不伦瑞克第一试(1989年7月18日) 1.求证:集合{1,2,…,1989}可以分为117个互不相交的子集A_i(i=1,1,…,117),使得(1) 每个A_i含有17个元素;     

第36届国际数学奥林匹克竞赛试题与解答

第３６届国际数学奥林匹克竞赛试题与解答张筑生（北京大学数学系１００８７１）（第３６届ＩＭＯ中国队领队）第一天，１９９５年７月１９日（４小时，每题７分）１设Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ是一条直线上依次排列的四个不同的点．分别以ＡＣ，ＢＤ为直径的两圆相交于Ｘ和Ｙ；直线...     

31届西班牙数学奥林匹克竞赛试题及解答

1 设a,b,c为互异的实数,P(x)为实系数多项式.如果 P(x)除以x-a余式为a,P(x)除以x-b余式为b,P(x)除以x-c余式为c.求P(x)除以(x-a)(x-b)(x-c)的余式.解 众所周知,P(x)除以x-a余式为P(a),依题意有P(a)=a,P(b)=b及P(c)=c.R(x)为P(x)除以(x-a)(x-b)(x-c)的余式,则R(x)的次数≤2且P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)Q(x) R(x),这里Q(x)为多项式.我们注意到R(a)=P(a)=a,类似地有R(b)=b和R(c)=c. 这样多项式R(x)-x的次数≤2且有三个互不相同的零点a,b,c.因此R(x)-x是一个零多项式,所以R(x)=x.注 此题也可用待定系数法或用拉格朗日插值公式求R(x)…     

第49届国际数学奥林匹克(IMO)试题及解答

试题 　　1.已知H是锐角三角形ABC的垂心,以边BC的中点为圆心,过点H的圆与直线BC相交于两点A1,A2;以边CA的中点为圆心,过点H的圆与直线CA相交于两点B1,B2;以边AB的中点为圆心,过点H的圆与直线AB相交于两点C1,C2,证明:六点A1,A2,B1,B2,C1,C2共圆.(俄罗斯提供)……     

第49届国际数学奥林匹克(IMO)试题及解答

第二天 　　2008年7月17日,星期四 　　(接第9期) 　　4.求所有的函数,f:(0,+∞)→(0,+∞),满足对所有的正实数w,x,y,z,z,wx=yz,都有(f(w))2+(f(x))2/f(y2)+f(z)2=w2+xw/y2+z2.(韩国提供)……     

第十九届全俄中学生数学奥林匹克(第二试)试题与解答

(9年级第二试) 5 设x、y、z都是整数,满足条件(x-y)(y-z)(z-x)=x y z. 试证:x y z可以被27整除。     

第55届(1992年)莫斯科数学奥林匹克试题及解答

八年级 8.1 证明,如果a b c d>0,a>c,b>d,则|a b|>|c d|。 8.2 在下国际象棋的过程中,有无可能在棋盘的30条对角线上都分别落有奇数枚棋子? 8.3 数学竞赛分两天进行。每一个参赛者第一天所解出的题目个数都等于其余参赛者在第二天所     

第53届数学竞赛试题及解答

第５３届数学竞赛试题及解答王莲芬（中国人民大学１００８７２）问题Ａ—１证明定义域是整数且满足条件（ⅰ）ｆ（ｆ（ｎ）＝ｎ（对一切整数ｎ）；（ⅱ）ｆ（ｆ（ｎ＋２）＋２）＝ｎ（对一切整数ｎ）；（ⅲ）ｆ（０）＝１的整值函数的唯一解是ｆ（ｎ）＝１—ｎ．Ａ—２定...