Bestimmung einer ersten Basislösung beim „Linearen Programmieren“

Zusammenfassung Die Anwendung der Simplex-Methode erfordert eine brauchbare Basislösung. Kommen in allen Gleichungen bei nicht-negativen Bedingungskoeffizienten positive Schlupfvariable vor, dann geben die Schlupfvariablen eine brauchbare Basislösung. Anderenfalls müssen künstliche Variablen eingeführt werden, die das Problem vergrößern. Es wird eine Methode entwickelt, die in ähnlichen Schritten wie die Simplex-Transformation echte Variablen in die Basis aufnimmt, und in sehr vielen Fällen eine brauchbare Basislösung ohne künstliche Variablen gibt.

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The application of the Simplex-method requires a feasible basic solution. If there are positive slack-variables and if the requirements for all equation are non-negative, a basic feasible solution is given by the slack-variables. Otherwise artificial variables have to be introduced, which enlarge the problem. A method is developed, which uses similar steps as the Simplex-transformation and by which real variables are successively introduced; this leads in most cases to a feasible solution without artificial variables.

     

Time-dependent radiative transfer in a semi-infinite medium with a reflecting boundary

An exact solution for the intensity due to a pulse radiation on the free surface of a semiinfinite medium with a known surface reflectivity is obtained via the multiple collision method. The time-dependent scalar intensity at the free surface is evaluated for several reflectivities and albedos using the corresponding steady state solution.

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Zusammenfassung Die exakte Lösung für die von einem Strahlungspuls erzeugte Intensität auf der freien Oberfläche eines halb-unendlichen Mediums mit bekannter Oberflächen-Reflektivität wird bestimmt mit Hilfe der Methode der mehrfachen Zusammenstöße. Die zeitabhängige skalare Intensität auf der freien Oberfläche wurde berechnet für verschiedene Reflektivitäten und Albedos, mit Benützung der entsprechenden stationären Lösung.

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Consiglio Nazionale Delle Ricerche (CNR) Visiting Professor at the University of Bologna.     

Ein Algorithmus zur Lösung von linearen Produktionsgleichungsproblemen

Zusammenfassung Dem von Bornemann entwickelten Algorithmus wird eine Lösungsmethode gegenübergestellt, zu welcher der Verfasser durch die besondere Gestalt des dualen Problems angeregt wurde. Leider konnte der Nachweis nicht erbracht werden, daß dieser Algorithmus in jedem Falle zu einer Lösung führt. Es hat jedoch den Anschein, als ob die angegebene hinreichende Bedingung nach einer endlichen Zahl von Schritten (welche die Anzahl der Variablen des originären Problems nicht übertrifft) automatisch erfüllt ist.

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Summary The algorithm proposed by Bornemann is confronted with a method which is suggested by the special structure of the dual problem. The author fails to prove that his algorithm must eventually come to an optimal solution. However, the sufficient condition stated below seems to be fulfilled automatically after a finite number of steps which does not exceed the number of variables in the primal problem.

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Ergänzende Bemerkungen zu dem gleichlautenden Aufsatz von K.Bornemann

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K.Bornemann, Ein Algorithmus zur Lösung von linearen Produktionsgleichungsproblemen, Unternehmensforschung 7 (1963), Seite 45 ff.

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Vorgel. v.: J.Nitsche     

Gemischt ganzzahlige lineare Programme zur Lösung gewisser Entscheidungsprobleme

Zusammenfassung Es wird einleitend herausgestellt, daß die Beschränkungsungleichungen, wie sie bei normalen linearen Programmen auftreten, die einzelnen Variablen auf einen Lösungsbereich, d. h. rein quantitativ beschränken. Darüber hinaus kann man auch Beschränkungen über die Anzahl, der in der Endlösung auftauchenden Variablen, festsetzen. Solche Beschränkungen werden als Beschränkungen qualitativer Art bezeichnet. Im zweiten Abschnitt werden dann Modelle aufgestellt, die zusätzlich diese qualitativen Beschränkungen enthalten. Es handelt sich um gemischt ganzzahlige lineare Programme, deren Lösungsmethode nachGomory anschließend dargestellt wird. Abschließend wird ein numerisches Beispiel aus dem Bereich der Absatzplanung gebracht.

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Summary First it is shown that beside normal inequations as constraints of linear programs there can be qualitative constraints as well. In section 2 programs are put up containing these qualitative constraints in addition to the normal ones. The programs in question are mixed integer ones, the method of solution of which developed byGomory is given in the following section. A numerical example concerning the planning of sales can be found at the end of the paper.

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Résumé Pour commencer on montre que dans des programmes linéaires il peut avoir comme restriction à côté d'inéquations normales aussi des restrictions d'ordre qualitative. Dans le deuxième chapitre on établi des modèles, qui contiennent en plus ces restrictions qualitatives. Il s'agit de programmes linéaires mixte intégral, dont la méthode de resolution d'aprèsGomory est exposée ensuite. Finalement on traite un exemple numérique.

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Dipl.-Math.Werner Dinkelbach, Mathematisches Institut an der Universität zu Köln, Abt. für Math. Statistik und Wirtschaftsmathematik. Dipl.-Kfm.Franz Steffens, Seminar für Allgemeine Betriebswirtschaftslehre und für Wirtschaftsprüfung der Universität zu Köln.     

Ein Verfahren zur Lösung parameterabhängiger,nichtlinearer Maximum-Probleme

Zusammenfassung Der Gegenstand dieser Arbeit ist die Behandlung parameterabhängiger Maximum-Probleme mit der Zielsetzung, die optimale Lösung explizit als Funktion des Parameters darzustellen.Zu diesem Zweck wird ein Verfahren entwickelt, das es gestattet, das vorgegebene Parameter-intervall eindeutig so in endlich viele Teilintervalle aufzuteilen, daß sich jedem Teilbereich ein vom Parameter abhängiges Gleichungssystem zuordnen läßt, dessen Lösung mit der optimalen Lösung übereinstimmt. Für Maximum-Probleme mit quadratischer Zielfunktion und linearen Nebenbedingungen sind diese Gleichungssysteme linear. Ihre Auflösung ergibt die Komponenten der optimalen Lösung in der Gestalt von Quotienten gebildet aus Polynomen des Parameters.Als eine Anwendung dieses Verfahrens erhält man eine Methode zur Lösung quadratischer Maximum-Probleme mit streng konkaver Zielfunktion und linearen Nebenbedingungen.

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Summary In this paper parametric maximum problems are treated with the aim to represent the optimal solution explicitly as a function of the parameter.The method developped to this purpose permits to divide the given parameter interval uniquely into a finite number of subintervals in such a manner that it is possible to attach to each of these a system of equations depending from the parameter the solution of which corresponds with the optimal solution. These systems of equations are linear for maximum problems with quadratic object function and linear restrictions. Their solutions give the components of the optimal solution in the form of quotients of polynoms of the parameter.A further extension of this method enables the solution of quadratic maximum problems with strict concave object function and linear restrictions.

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Diese Arbeit wurde von der Deutschen Forschungsgemeinschaft gefördert.

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Vorgel. v.:H. Görtler     

Zur Berechnung des Rißfortschritts in inelastischen Tragwerken

Zusammenfassung Ausgehend von der Energiebilanz für den fortschreitenden Riß in einem Körper, wird die Möglichkeit einer Rißausbreitung diskutiert. Anschließend wird ein Kriterium für die Rißausbreitung formuliert, das bei Berechnungen mit der Methode der finiten Elemente verwendet werden kann. Das Kriterium hängt vom jeweiligen Verschiebungs- und Spannungszustand ab, setzt jedoch keine Annahmen in Bezug auf das Materialverhalten voraus. Dann wird eine Tragwerksberechnung beschrieben, die eine Rißausbreitung im Zuge der Belastung berücksichtigt.

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Summary Based on the energy balance for a propagating crack within a body, the possibility of crack propagation is discussed. Next a crack propagation criterion is formulated and brought into connection with finite element calculations. The criterion depends on the current state of deformation and on the current state of stress but does not assume a distinct material behaviour. Finally a method of structural analysis is described which takes care of crack propagation in the course of the loading process.

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Herrn Prof. Dr. Drs.h.c. J. H. Argyris zum 65. Geburtstag gewidmet.     

Methods of elastoplastic analysis

Summary The paper presents a number of alternative procedures for the solution of elasto-plastic problems by the matrix displacement or finite element method. In particular, the iterative initial strain and stress approaches are fully developed. Attention is also focused on the tangent stiffness method in association with an efficient modification technique. Convergence criteria are set up for the initial strain and stress methods. It is proved that the latter will only diverge, if an actual break-down of the structure occurs. In order to speed up the eventually slow convergence of the initial stress method a procedure is suggested which has proved very useful in conjunction with the initial strain approach.The theoretically deduced convergence properties of the iterative methods are verified by the numerical results obtained for some illustrative elasto-plastic problems.

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Zusammenfassung In dieser Arbeit werden verschiedene Methoden zur Lösung elastoplastischer Probleme vorgelegt, die auf der Matrizenverschiebungsmethode (Methode finiter Elemente) beruhen. Insbesondere werden zwei iterative Verfahren vollständig hergeleitet, bei denen plastische Anfangsdehnungen bzw. Anfangsspannungen angesetzt werden. Auch die Methode der tangentialen Steifigkeit wird betrachtet, die in Verbindung mit der Modifikationstechnik besonders wirkungsvoll eingesetzt werden kann. Für die beiden iterative Verfahren mit Anfangsdehnungen bzw.-spannungen werden Konvergenzkriterien aufgestellt. Es läßt sich zeigen, daß die zweite Methode nur dann divergiert, wenn das Tragwerk tatsächlich zusammenbricht, was bei ideal plastischem Materialverhalten vorkommen kann. Um die in einigen Fällen langsame Konvergenz beim Ansatz von Anfangsspannungen zu beschleunigen, wird ein Verfahren vorgeschlagen, das sich in der Methode der Anfangsdehnungen bestens bewährt hat. Die zunächst theoretisch hergeleitelen Konvergenzeigenschaften der Iterationsverfahren werden bestätigt durch die Ergebnisse der Berechnung von einigen typischen plastisch deformierbaren Systemen.

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Dedicated to Professor Kurt Magnus on his 60th birthday     

Approximations and bounds for a generalized optimal stopping problem

We study a finite-horizon nonstationary Markovian decision problem, that can be interpreted as generalized optimal stopping and whose solution via the usual dynamic programming is in most practical cases not feasible from a computational point of view. Under certain assumptions, most importantly stochastic monotonicity, upper and lower bounds are obtained for optimal values and decisions using a reduced dynamic programming. From this, a suboptimal policy is derived with an upper bound on its suboptimality. Computational aspects and a particular application from optimal exploratory oil drilling are discussed.

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Zusammenfassung In der Arbeit wird ein nichtstationäres Markowsches Entscheidungsproblem mit endlichem Planungshorizont betrachtet, das als verallgemeinertes Stopp-Problem interpretiert werden kann. Die numerische Lösung des Problems mit Hilfe der üblichen Methode der dynamischen Optimierung ist in der Regel zu rechenaufwendig. Es wird deshalb eine Methode der approximativen Lösung des Problems (mit gewissen Einschränkungen) vorgeschlagen, und es werden obere und untere Schranken für den Optimalwert hergeleitet. Ferner wird eine suboptimale Politik mit einer oberen Schranke für die Suboptimalität angegeben. Abschließend wird ein praktisches Anwendungsbeispiel (optimale Versuchsbohrungen nach Öl) diskutiert, an dem auch rechentechnische Aspekte des entwickelten Lösungsverfahrens erläutert werden.

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Research partially supported by the Consiglio Nazionale delle Ricerche (CNR), Italy, through contract n.80.02343.01 and through GNAFA.     

Accurate numerical solution of compressible,linear stability equations

Summary A compact fourth order accurate finite difference scheme is proposed for solving the eigenvalue problem of the temporal and spatial stability of three-dimensional compressible boundary layers. It is applied to the stability study of the flow on a laminar flow control swept wing. The results indicate that the present method provides an accurate and efficient way of calculating the eigenvalues and eigensolutions of the compressible linear stability equations.

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Zusammenfassung Ein kompaktes Differenzenschema vierter Ordnung wird vorgeschlagen zur Lösung von Eigenwertproblemen der zeitlichen und räumlichen Stabilität dreidimensionaler zusammendrückbarer Grenzschichten. Es wird zum Stabilitätsstudium der Strömung über einen LFC Flügel angewendet. Die Resultate zeigen, daß es die angewendete Methode erlaubt, genau und effizient die Eigenwerte und Eigenfunktionen der kompressiblen linearen Stabilitätsgleichungen zu berechnen.

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Research for this author was supported by NASA Contract No. NAS 1-16572.

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Research for this author was supported by NASA Contract No. NCC 1-14.

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Research for this author was supported by NASA Contracts No. NAS 1-14472 and NAS 1-15810 while the author was in residence at ICASE, NASA Langley Research Center, Hampton, Va. 23665.     

Impulsive rotatory motion of a circular disk in a viscous fluid

Zusammenfassung Es wird eine analytische Methode für die Bestimmung der Geschwindigkeit der Strömung und der Winkelgeschwindigkeit einer kreisförmigen Scheibe gegeben, die in einer zähen, inkompressiblen Flüssigkeit einen Drehstoss erhält.

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This research was sponsored by the US. Army under contract no. DA-11-022-ORD-2059 with the University of Wisconsin.     

Personnel assignment by multiobjective programming

Summary Assignment of personnel is a task involving a multiplicity of simultaneous goals. It is demonstrated that multiobjective programming in a combinatoric medium is feasible both methodologically and computationally. FollowingGeoffrion, it is assumed that the decision-maker has in mind an implicit function mapping the numerical values of the objectives to the real line. The proposed strategy consists in the decision-maker choosing first- and second-best assignments from a given set, in each stage of a decision-tree-like-procedure. The computation is reducible to well-known problems of assignment and shortest routes, for which efficient solution techniques exist.

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Zusammenfassung Beim Problem der Personalzuordnung sind i.a. mehrere Ziele gleichzeitig zu berücksichtigen. Es wird gezeigt, daß die Lösung des entsprechenden kombinatorischen Problems mit mehreren Zielfunktionen sowohl von der Methode als auch vom Rechenaufwand her möglich ist. GemäßGeoffrion wird angenommen, daß der Entscheidungsträger eine implizite Funktion berücksichtigt, die die numerischen Werte der Ziele auf reale Zahlengeraden abbildet. Die vorgeschlagene Strategie besteht darin, daß der Entscheidungsträger aus einer vorgegebenen Menge beste und zweitbeste Zuordnungen auswählt. Das Vorgehen entspricht dabei der Arbeitsweise an einem Entscheidungsbaum, wobei diese Auswahl auf jede Stufe getroffen wird. Die Berechnung läßt sich auf die Lösung von bekannten Zuordnungs- und Kürzeste-Weg-Probleme zurückführen, für die effiziente Lösungsverfahren existieren.

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Project supported in part by the Office of Naval Research under Contract N-00014-67-A-0012-0011; U.S. Atomic Energy Commission Contract AT(04-3)-326-PA 18; and National Science Foundation, Grant GP 31393.     

Optimierung von Funktionalen unter nichtholonomen Nebenbedingungen

Zusammenfassung Es wird die Minimierung gewisser stetiger Funktionale unter Nebenbedingungen in der Form eines Differentialgleichungssystems betrachtet. In Teil I dieser Arbeit untersuchen wir die Existenz von Lösungen unserer Aufgabenstellung und leiten für eine Klasse von Funktionalen, die neben den bestimmten Integralen noch andere für die Praxis wichtige Funktionale umfaßt, eine Funktionalgleichung ab. Diese bildet die Grundlage eines in Teil II (veröffentlicht im nächsten Heft dieser Zeitschrift) angegebenen Verfahrens zur Berechnung von Minimalfolgen unseres Problems, das eine Verallgemeinerung der Methode der dynamischen Optimierung darstellt. Zum Schluß wird die Frage der Konvergenz einer Minimalfolge gegen eine Lösung diskutiert.

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Summary This study contains the minimization of certain continuous functionals under constraints in the manner of a system of differential equations. In part I of this paper we examine the existence of solutions of our problem and derive a functional equation for a class of functionals which includes the determined integrals and other for the practice important functionals. This functional equation is the foundation of a method for calculating minimal sequences of our problem presenting a generalization of the method of dynamic programming, stated in part II (published in the following number of this journal). Finally the question of convergence of a minimal sequence towards a solution is discussed.

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Von der Fakultät für Allgemeine Wissenschaften der Technischen Hochschule München angenommene Habilitationsschrift. 1. Referat: Prof. Dr.J. Heinhold, 2. Referat: Prof. Dr.E. Lammel.

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Vorgel. v.:J. Heinhold.     

Stabilität mechanischer Systeme mit nicht durchdringender Dämpfung

Zusammenfassung Das Stabilitätsverhalten eines nichtlinearen Systems kann im allgemeinen nicht nach der Methode der ersten Näherung beurteilt werden, wenn das zugehörige linearisierte System nur oszillierend stabil ist (kritischer Fall). In der vorliegenden Arbeit werden für autonome, nichtlineare mechanische Systeme hinreichende Bedingungen angegeben, die es ermöglichen, die Stabilität in kritischen Fällen unter Verwendung der linearisierten Bewegungsgleichungen zu prüfen. Dabei kommt die direkte Methode von Ljapunov mit der Hamilton-Funktion als Ljapunov-Funktion zur Anwendung. Die hergeleiteten Sätze werden auf einige Probleme der Satellitendynamik angewendet.

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Summary The stability behavior of a nonlinear system generally cannot be decided by the method of the first approximation if the linearized system is only oscillatorily stable (critical case). In the present paper sufficient conditions are given for autonomous nonlinear mechanical systems which allow to check the stability behavior by linearization techniques even in critical cases. Here, Ljapunov's direct method is used with the Hamiltonian as Ljapunov function. The results are applied to some problems in the dynamics of satellites.

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Herrn Professor Dr. Kurt Magnus zum 60. Geburtstag gewidmet     

On work and constraints in mixtures

Summary We argue that working terms in a mixture theory should include all possible Langrangian time rates of all volume fractions, and illustrate a novel method of accounting for the corresponding constraints.

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Zusammenfassung Wir zeigen, daß die Arbeitsterme in einer Theorie der Mischungen alle möglichen Langrangeschen Zeitableitungen aller Volumenbestandteile beinhalten sollen, und illustrieren eine neue Methode zur Berücksichtigung der zugehörigen Zwänge.

     

The method of the kernel function in the theory of elastic plates

Zusammenfassung Diese Arbeit befasst sich mit der Anwendung der Bergmanschen Methode der Kernelfunktion auf die Probleme der Statik dünner elastischer Platten. Die Bergmansche Methode besteht im wesentlichen aus 1) der Erzeugung eines vollständigen Satzes partikulärer Lösungen der Differentialgleichung, 2) der Orthogonalisierung dieses Satzes in einem geeigneten Sinne und 3) der Approximation der Lösung von den gegebenen Randwerten aus durch lineare Kombination der Orthogonalfunktionen. Mit Hilfe dieser Methode werden die Durchbiegungen und Randmomente einer Halbkreisplatte mit eingespanntem Rand für gleichmässig verteilte und linear veränderliche Vollbelastung gefunden und mit den Ergebnissen einer anderen Untersuchung verglichen.

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This work was sponsored partly by the Southwest Research Institute, San Antonio, Texas, and partly by the National Bureau of Standards, Washington, D. C.     

Moving Dugdale model

This study proposes a moving Dugdale model for modes I, II and III, presents a fully dynamic analysis of the problem with the help of complex function theory and gives an exact analytical solution. From this solution, the stress and displacement fields and the dynamic crack opening displacement for mode I, II and III are determined. Based on this, the author proposes a criterion to describe dynamic behaviour of a moving defect in solids.

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Zusammenfassung Diese Arbeit schlägt ein bewegliches Dugdale Modell für Mode I, II und III vor. Sie gibt eine vollständige dynamische Analyse des Problems mit der Methode der komplexen Funktionstheorie und liefert die exakte analytische Lösung. Aus dieser Lösung werden die Spannungs- und Verschiebungsfelder und damit die dynamischen Rißöffnungsverschiebungen für Mode I, II und III dieses Problems bestimmt. Auf dieser Grundlage schlägt der Autor ein Kriterium zur Beschreibung des dynamischen Verhaltens eines bewegten Defekts in einem Festkörper vor.

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This work is supported by the Research Fellowship of Alexander von Humboldt Foundation, Federal Republic of Germany.     

A duality theorem for continuous-time linear programming problems

Summary In dealing with dynamic economic policy models one encounters optimization problems whose objective function is an integral of a linear function of a finite number of continuous variables and whose constraints are linear integral inequalities. A set of intertemporal efficiency conditions (equilibrium conditions) yielding the optimal policy are given. By approximating the continuous problem by a set of discrete problems and appealing to a well known convergence theorem in functional analysis a continuous analog of the duality theorem is proved.

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Zusammenfassung Bei der Beschäftigung mit dynamischen Modellen der ökonomischen Politik stößt man auf Optimierungsprobleme, deren Zielfunktion ein Integral einer linearen Funktion von einer endlichen Anzahl stetiger Variablen ist und deren Beschränkungen lineare Integral-Ungleichungen sind. Eine Menge intertemporaler Effizienz-Bedingungen (Gleichgewichtsbedingungen), die zur optimalen Politik führen, sind gegeben. Durch Approximation des kontinuierlichen Problems mittels einer Menge von diskreten Problemen und Berufung auf einen wohlbekannten Konvergenzsatz aus der Funktionalanalysis wird ein stetiges Analogon des Dualitätstheorems bewiesen.

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The author is indebted to Mr.Arnold Faden for helpful suggestions and to ProfessorKarl A. Fox andGerhard Tintner for encouragement during the preparation of the paper. This research has been partially supported by a grant from the Ford Foundation to the School of Business Administration administered by the Center for Research in Management Science, University of California, Berkeley.

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Vorgel. v.:G. Tintner.     

Eine kanonische Transformation für die Kepler-Bewegung,welche ohne Dimensionserhöhung die Zeit in die exzentrische Anomalie überführt

Zusammenfassung Es ist in der Himmelsmechanik bekannt, daß für die analytische Beschreibung der Keplerbewegung die exzentrische AnomalieE als unabhängige Variable am besten geeignet ist. Bisher war es für die kanonische Einführung vonE notwendig, die Dimension von drei auf vier zu erhöhen. Dies wurde in [2] auseinandergesetzt bei Verwendung von kartesischen Koordinaten und früher aufgrund analoger Untersuchungen in [1] in denKS-Elementen.Jetzt wird gezeigt, daß man im ungestörten Falle durch weitere kanonische. Transformationen wieder zu einer dreidimensionalen kanonischen Formulierung mitE als unabhängiger Variablen gelangen kann.

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It is advantageous to use the eccentric anomalyE as the independent variable for the mathematical treatment of the Keplerian motion. For a canonical introduction ofE it was, up to now, necessary to increase the degrees of freedom from three to four. In cartesian coordinates this was described in [2] and earlier inKS-elements in [1].It is shown by further canonical transformation again that a three-dimensional canonical version is obtained withE as the independent variable.

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Herrn Professor E. Stiefel gewidmet     

Kostenoptimaler Vertrieb eines Konsumgutes einschließlich Standortbestimmung mit ganzzahliger linearer Optimierung

Zusammenfassung Das vorliegende Modell ist mit der Zielsetzung entwickelt worden, den Kohlensäuretransport von Produktionsquellen über mehrere Zweigniederlassungen bis letztlich zum Kunden zu optimieren. Durch Einbeziehung von Kapazitäts- und Standortfragen spielt das Fixkostenproblem und damit das Problem der Ganzzahligkeit bei einigen Variablen in diesem Modell eine entscheidende Rolle. Die Lösung des Transportproblems erfolgt mit Hilfe des IBM-Standardprogramms MPSX-MIP (revidierte Simplexmethode und Branch- and-Bound-Algorithmus).

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Summary The problem discussed has been developed with the object to minimize the transportation costs for carbon-dioxide from sources over several depots to the customers. By including questions of capacity and location problems the fix charge problem and with this the integer variables play a dominant role in the presented model. The solution of the distribution problem is received by the IBM standard program MPSX-MIP (Simplex method revised with Branch and Bound algorithm).

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Als Vortrag gehalten auf der DGOR-Tagung 1973 in Karlsruhe.     

Die Anwendung des elektronischen analogrechners auf das dynamische Optimieren

Zusammenfassung Das Prinzip des dynamischen Optimierens wird exakt dargestellt. Es handelt sich dabei um mehrstufige Entscheidungsprozesse, bei denen auf jeder Stufe eine Entscheidung so getroffen werden soll, daß eine gewisse den Prozeß charakterisierende Zielfunktion optimiert wird. Der deterministische wie der stochastische Fall werden untersucht. Im zweiten Teil wird eine Methode angegeben, mit deren Hilfe auf dem elektronischen Analogrechner dynamische Optimierungsprobleme gelöst werden können. Als Anwendungsbeispiel wird im dritten Abschnitt ein Problem der Produktionsplanung behandelt. Dabei wird ein Mehrproduktbetrieb mit beschränkter Maschinenkapazität vorausgesetzt, dessen Gesamtkostenkurven linear und dessen Preis-Absatz-Kurven nichtlinear verlaufen. Neben der Lösung dieser Aufgabe werden verschiedene Verfahren zur Berücksichtigung von Verfeinerungen der Problemstellung angegeben. Zum Schluß werden Genauigkeitsbetrachtungen sowie ein Vergleich der Methode des dynamischen Optimierens mit dem üblichen Gradientenverfahren der Optimierung auf dem Analogrechner angestellt.

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Summary The principle of dynamic programming will be described exactly. We deal with multi-stage decision processes, at which we have a decision for each stage, such as an objective function, that characterizes the process, is optimized. We handle the deterministic and the stochastic case. In the second part, we state a way of handling the method of dynamic programming on an electronic analogue computer. As an example, we are concerned with a problem of production planning in the third part. We presume a multi-product firm with a restricted number of machines. The curves of the total costs are linear, the price-sale-curves are non-linear. We give the results of the computation and some methods to refine the type of problems which can be solved. At the end, we consider the accuracy, and draw a comparison between the method of dynamic programming and the usual gradient method of programming on an analogue computer.

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Vorgel. v.:J. Heinhold