四元数矩阵代数的实表示及其应用

设R记实数域,Q记R上四元数代数,若x∈EQ,x=a+bi+cj+dk,其中a、b、c、d在R中,则x的共轭元=a—bi—cj—dk,x的范数N(x)=a~2+b~2+c~2+d~2。设Q~(×n)(或R~(×))记Q(或R)上n×n矩阵构成的R代数,我们以Hom(Q~×,R~(4×4))记Q~(×)的全部R代数表示的集合。还以E_(ij)表示(i,j)位置是1,其余位置是0的n阶方阵,I_r记r阶单位阵;GLr(Q)及GLr(R)分别记Q上及R上一般线性群。     

一对四元数矩阵方程的共轭延拓解

定义广义四元数共轭延拓矩阵的概念,利用矩阵分块和四元数矩阵的实表示方法,分别给出四元数矩阵方程AX=C和XB=D存在列共轭延拓解和行共轭延拓解的必要充分条件及解的表达式.     

广义四元数矩阵方程AX-DXB=R

设HF为域F上的广义四元数除环，ChF≠2。本文利用拟线性变换T（X）＝AX－DXB讨论HF上矩阵方程AX－DXB＝R的求解问题，获得了上方程存在（唯一）解的几个充分必要条件，并给出了解的显式公式。     

基于广义的Sylvester实四元数矩阵方程（英文）

基于广义Sylvester实圆元数矩阵方程组的解■当A_i,B_i和C_i(i=1,2,3)是被复数矩阵给定的,X,Y,Z和W是可变矩阵.计算耦合广义S_ylvester实四元数矩阵方程组的通解W的秩的极值.     

四元数矩阵的实值行列式

本文定义了任一个四元数方阵的实值行列式．实值行列式有一些好的性质，它是按照谢邦杰定义的可中心化四元数矩阵的行列式的推广．     

四元数矩阵方程(AXB,CXD)=(E,F)的最小范数最小二乘Hermitian解

提出了研究四元数矩阵方程(AXB, CXD)=(E, F)的最小范数最小二乘Hermitian解的一个有效方法.首先应用四元数矩阵的实表示矩阵以及实表示矩阵的特殊结构,把四元数矩阵方程转化为相应的实矩阵方程,然后求出四元数矩阵方程(AXB, CXD)=(E, F)的最小二乘Hermitian解集,进而得到其最小范数最小二乘Hermitian解.所得到的结果只涉及实矩阵,相应的算法只涉及实运算,因此非常有效.最后的两个数值例子也说明了这一点.     

四元数矩阵方程AX=B的实部半正定解(英文)

一个ｎ×ｎ实四元数矩阵称为实部半正定（或正定）矩阵，如果对于任意的非零ｎ维四元数列向量ｘ，有Ｒｅ［ｘＡｘ］≥０（或＞０）．本文给出了四元数矩阵方程ＡＸ＝Ｂ有实部半正定（或正定）矩阵解的充要条件及其通解的表达式，并给出了四元数分块阵为实部半正定（或正定）矩阵的一个判别法则     

四元数矩阵方程AX-YB=C的最佳逼近解

本利用四元数矩阵的广义Frobenius范数建立一个关于四元数矩阵的实函数，并讨论了它的极值问题．然后在四元数矩阵方程AX-YB=C的解集合中导出了与给定矩阵的最佳逼近解的表达式．     

四元数矩阵方程∑A~iXB_i=E

设ＨＦ为域Ｆ上广义四元数可除代数，其中ｃｈａｒＦ≠２．应用伴随矩阵与矩阵表示方法，本文得到ＨＦ上矩阵方程∑ｋｉ＝０ＡｉＸＢｉ＝Ｅ有解或有唯一解的几个充要条件，并且给出了几个解的公式．     

On a Solution of the Quaternion Matrix Equation X - A X B = C and Its Application

This paper first studies the solution of a complex matrix equation X - AXB = C, obtains an explicit solution of the equation by means of characteristic polynomial, and then studies the quaternion matrix equation X - A X B = C, characterizes the existence of a solution to the matrix equation, and derives closed-form solutions of the matrix equation in explicit forms by means of real representations of quaternion matrices. This paper also gives an application to the complex matrix equation X - AXB =C.     

The Real Solutions to a System of Quaternion Matrix Equations with Applications

In this article we establish necessary and sufficient conditions for the existence and the expressions of the general real solutions to the classical system of quaternion matrix equations A ₁ XB ₁ = C ₁, A ₂ XB ₂ = C ₂. Moreover, formulas of the maximal and minimal ranks of four real matrices X ₁, X ₂, X ₃, and X ₄ in solution X = X ₁ + X ₂ i + X ₃ j + X ₄ k to the system mentioned above are derived. As applications, we give necessary and sufficient conditions for the quaternion matrix equations A ₁ XB ₁ = C ₁, A ₂ XB ₂ = C ₂, A ₃ XB ₃ = C ₃ to have common real solutions. In addition, the maximal and minimal ranks of four real matrices E, F, G, and H in the common generalized inverse of A ₁ + B ₁ i + C ₁ j + D ₁ k and A ₂ + B ₂ i + C ₂ j + D ₂ k, which can be expressed as E + Fi + Gj + Hk are also presented.     

一类四元数矩阵三次方程的可解性(英文)

确立了某类分块矩阵[M（₁1） M₁₂ XM₂₁ Y M₂₃Z M₃₂ M₃₃]的最大秩公式,其中,X,Y和Z是三个受限于四元数线性矩阵方程A₁X=C₁,XB₁=C₂,A₂Y=D₁,YB₂=D₂,A₃Z=E₁,ZB₃=E₂的变量矩阵.作为该公式的一项应用,我们推导出上述矩阵方程解集等同于某类四元数三次矩阵方程组A₁X=C₁,XB₁=C₂,A₂Y=D₁,YB₂=D₂,A₃Z=E₁,ZB₃=E₂,XYZ=J解集的条件.     

Jordan Canonical Form of a Matrix over the Quaternion Field

ＪｏｒｄａｎＣａｎｏｎｉｃａｌＦｏｒｍｏｆａＭａｔｒｉｘｏｖｅｒｔｈｅＱｕａｔｅｒｎｉｏｎＦｉｅｌｄＨｕａｎｇＬｉｐｉｎｇ（黄礼平）（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＢａｓｉｃＳｃｉｅｎｃｅｓ，ＸｉａｎｇｔａｎＭｉｎｉｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅ，Ｘｉａｎｇｔａｎ...     

实四元数矩阵行列式函数的几点注记

分别对实四元数矩阵理论中出现的几种行列式函数在三个初等变换下的改变性作一些讨论,得出几种满足一定性质的行列式函数的不存在性或唯一存在性。     

四元数矩阵Jordan标准的简单证明和算法

引入了友向量的概念 ,给出了四元数矩阵的秩的一种定义方法和四元数矩阵Jordan标准形的一种简单证明和算法 .     

实轴上的特征奇异积分方程

该文首先得到了实轴上的特征奇异积分方程的可解性理论.由此,得到了实轴上解具一阶奇异性的特征奇异积分方程的可解性理论,纠正了文献[8]中的错误.     

半定自共轭四元数矩阵的广义Schur补的交错性

设Ｈ＝　是实数域上有限维除环上的半定自共轭四元数矩阵．本文证明了Ａ在Ｈ中的广义Ｓｃｈｕｒ补（Ｈ／Ａ）＝Ｄ—ＢＡ（１）∈Ｂ与Ａ｛１｝的选择无关且（Ｈ／Ａ）与Ｈ的特征值是交错的．     

四元数矩阵的右特征值的虚部的估计

指出四元数矩阵A的右特征的虚部的模值是唯一确定的，得到了一些关于A的右特征值的虚部模的估计，推广改进了屠伯埙教授的相应结果．