Sur les racines de certaines équations

Ohne Zusammenfassung     

Sur les équations différentielles ordinaires et les équations de transport

We study in this Note ordinary differential equations for divergence-free vector-fields with a limited regularity. We first observe that it is equivalent to solve the associated transport equations (i.e. Liouville equations). Then, we show existence, uniqueness, and stability results for generic vector-fields in L¹ or for “piecewise” W^1.1 vector-fields.     

Sur les racines d'une équation fondamentale

Sans résumé Les théorèmes I et II de la présente note ont été déjà publiés dans un mémoire portant ce même titre et communiqué à l'académie des sciences à Stockholm le 14 nov. 1900.     

Solutions rationnelles de certaines équations fonctionnelles

Dans cet article, nous démontrons essentiellement les deux résultats suivants, qui montrent que les solutions séries formelles à coefficients dans de certaines équations fonctionnelles sont rationnelles. Soient tout d'abords un entier naturel non nul, eta _i ,b _i ,(i = 1, , s), 2s nombres complexes, lesa _i étant non nuls. On définit l'ensembleA comme étant l'intersection des parties de , contenant l'origine et stables par toutes les applicationsg _i (x) = a _i x + b _i . On a alors le résultat suivant: Théorème 1.Soient f, R ₁, ,R _s s + 1 fractions rationnelles de (x), régulières à l'origine, et a_i, b_i (i = 1,, s), 2s éléments de . On suppose que les a_i sont non nuls et de module strictement inférieur à un pour tout i = 1,, s. Soit y(x) un élément de [[x]], vérifiant l'équation fonctionnelle

Sur les équations fonctionnelles auxq-différences

Summary In this paper, we study the convergence of formal power series solutions of functional equations of the formP _k(x)(^[k](x))=(x), where ^[k] (x) denotes thek-th iterate of the function.We obtain results similar to the results of Malgrange and Ramis for formal solutions of differential equations: if(0) = 0, and(0) =q is a nonzero complex number with absolute value less than one then, if(x)=a(n)x ⁿ is a divergent solution, there exists a positive real numbers such that the power seriesa(n)q ^sn(n+1)2 x ⁿ has a finite and nonzero radius of convergence.

     

Sur les équations fondamentales de l'électrodynamique pour les corps en mouvement

Sans résumé Traduit de l'allemand des Annales de Wiedemann.     

Sur les équations de la division des fonctions abéliennes

Sans résuméExtrait d'un traité des équations algébriques en cours de publication.     

Convergence des solutions formelles de certaines équations fonctionnelles

Résumé Soitq un nombre algébrique de module 1, qui ne soit pas une racine de l'unité, etP [X, Y ₀,Y ₁] un polynôme non nul. Dans cet article, nous montrons que toute solution de l'équation fonctionnelleP(z, (z), (qz))=0, qui est une série formelle (z) dansQ[[z]], a un rayon de convergence non nul.

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Summary Letq Q be an algebraic number of modulus one that is not a root of unity. LetP Q[X, Y ₀,Y ₁] be a non zero polynomial. In this paper, we show that every formal power series,(z) Q[[z]], solution of the functional equationP(z), (z), (qz)) = 0 has a non zero radius of convergence.

     

Sur l'integration de certaines équations linéaires aux dérivées partielles

Résumé Il s'agit d'équations linéaires aux dérivees partielles d'ordre p+q E_p+q, dont la solution s'obtient en intégrant une équation d'ordre p, E_p, et une équation d'ordre q, E_q, toute solution de E_p+q étant la somme d'une solution de E_p et d'une solution de E_q. Le cas de deux variables indépendantes est traité complètement; des résultats partiels sont donnés pour un nombre quelconque de variables indépendantes. à M. Enrico Bompiani pour son Jubilé scientifique.