去同补同,巧比大小

<正>在初中,同学们已经学习过了不等式的基本性质,尤其是加法和乘法法则,笔者按如下形式归为:在实际的学习中,同学常会遇到要求确定3x+2与3x+5的大小等一类问题,同学们会如何去处理呢?笔者根据两个不等式的形式,提出了"去同——补同"的方法,下面通过几个例题进行介绍如下:     

“放鞭炮”法解数学题

笔者在数学活动课上讲了一道求值题:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(26+1)(216+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)=(28-1)(28+1)(216+1)=(216-1)(216+1)=232-1.班上的数学迷小军把这种方法称为“放鞭炮”,还真有点形象,利用结合律“点着”第一个“鞭炮”后,一串“鞭炮”便一个接着一个放开了.一提“放鞭炮”,同学们兴致来了,课下,同学们“制造并燃放”了许多“数学鞭炮”:     

课堂上的新发现

今天的数学课上,刘老师给我们讲了一种重要的运算定律——“乘法分配律”,内容是两个数的和与一个数相乘,可以先让它们与这个数分别相乘,再把所得的积相加,结果不变.用字母表示为:(a+b)×c=a×c+b×c. 在下午的自习课上,刘老师给我们提出了一个问题,她说:“同学们,你们思考一下,如果把上堂课学习的‘乘法分配律’中的运算符号变一变,会有什么新发现呢?” 过了一会儿,学习委员王欣晨站起来,说:“老师,我发现两个数的差与一个数相乘,也有类似的规律.”     

也谈构造数表导出1~3+2~3+…+n~3公式

本刊2 0 0 3年4 (上)期有《构造数表导出13 +2 3 +…+n3 公式》一文.现刊出刘建林老师用另一数表导出此公式的文章,供同学们研讨.     

由平凡等式推导自然数平方和公式

<正>《中学生数学》2006年4月上和2007年1月刊的祝老师和刘老师文章都讲了"1~2+2~2+ 3~2+…+n~2"的和的求法.两位老师的求法各有千秋.从学生的角度看,祝老师的更容易让同学们接受.通过平时的探究,我也找出了一种推导该公式的方法,现与读者共同分享.     

关注模型 妙解中考题

同学们在学习勾股定理时,利用图1～图3中相关图形的面积关系证明了勾股定理.在图1中,S正方形ABCD=4S△ADE+S正方形EFGH,在图2中,S正方形ABCD=4S△AEF+S正方形EFGH,在图3中,S梯形ABCD=2S△ABE+S△ADE.图1图2图3勾股定理的证明是同学们学习过的非常重要的数学模型,利用它可顺利解决相关中考试题.     

数也有形状

今天,刘老师在黑板上写下一串数:1、3、6、1 0…… 毫无疑问,这肯定是让我们找规律,然后说出下一个数.同学们都在心里算了起来,1+2=3,3+3=6,6+4=10,看来,这串数的规律,就是依次“加2、加3、加4……”下一个数很明显,就是10+5=15.     

裂项相消法的八大类型

裂项相消法实质上是把一个数列的每一项裂为两项的差,即化an=f(n)-f(n+1)的形式,从而达到数列求和的目的,即得到Sn=f(1)-f(n+1)的形式.通过此类题型的解决,可以培养同学们的逆向思维,开发同学们的智力,检查同学们思维的灵活性.故在高考中常常出现利用裂项相消法来求数列的前n     

上楼梯问题

在教授排列组合时,同学们经常会遇到一个比较棘手的问题——上楼梯问题.下面就此问题的解法及两个变形问题作一点介绍,以供同学们学习时参考. 问题 有一楼梯共10级,如果规定每次只能跨上一级或两级,问要登上第10级楼梯,共     

数字的世界好奇妙

<正>2019年9月5日,有人在麻省理工学院数学系的网页上贴上了一个等式,网页很简单,但没给出结果:(-80538738812075974)^3+80435758145817515^3+12602123297335631^3等于多少自己算?——他居然等于——等于42!于是下面这句话成为定理:     

解法相似的两个最小值问题

<正>同学们在高中数学学习中,大多会遇到下面的两个有一定难度的问题.问题1已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(b>a)对于任意实数x都有f(x)≥0,求M=a+b+c/b-a的最小值.问题2已知A、B、C是平面上任意三点,BC=a,CA=b,AB=c,求y=c/a+b+b/c的最小值.不少同学在老师的帮助下,能够解决问题1.但在遇到问题2时,却难以独立解决.从表面上看,问题1与问题2确实有很大的差异,但从     

第六章 一次函数

同学们，函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型，对它的学习一直是初中阶段数学学习的一个重要内容．在上学期，我们已经探索了变量之间的关系．在这一章我们将继续通过对变量间关系的探讨，初步体会函数的概念，并研究其中最为简单的一种函数——一次函数．希望同学们通过解剖一次     

方程 arcsinx+arccosy=π的曲线

一次习题课上我出了这样一道选择题让同学们做: 方程arcsinx+arccosy=π所代表的曲线是下面四个图形中的( ) 显然上述四个结论中正确的结论有且只有一个。然而令人吃惊的是,同学们的答案中,四个结论竟无一不被选中。为查明错因所在,我分别抽出选中(A)、(B)、(C)、(D)的各一人,让他们将自己的判断过程写在黑板上。学生甲:将方程arcsimx+arccosy=π两边取正弦得xy+1-x~2(1/2)·1-y~2(1/2)=0,移项得1-x~2(1/2)·1-y~2(1/2)=-xy (1)平方化简:x~2+y~2=1 (2) 由(2)知原方程所代表的曲线为 (A) 学生乙:将方程arcsinx+arccosy=π     

从两个数的和与积相等谈起

<正>记得在小学学了分数运算后,数学教师李老师在课堂上提问:"有没有两个数,它们的和等于它们的乘积?"当时同学们都异口同声地说:"有"."比如:0+0=0×0,2+2=2×2."李老师接着又问:"还有没有其它的数符合这个条件?".这时全班鸦雀无声,待一会儿,个别的学生轻声地回答:"没有了".接着,李老师就在     

说说平方数

<正>说起平方数(也叫正方形数),同学们都很熟悉,如1,4,9,16,…都是平方数.那么,平方数都有哪些性质呢?下面就归纳总结一下,供同学们赏析.(一)任何一个平方数都可以表示为两个相邻三角形数之和.如4=1+3,9=3+6,16=6+10,25=10+15等.那么,什么是三角形数呢?可以表示为1+2+3+…+n(n为正整数)的形式的数称为三角形数,如1,3,6,10,15,…都是三角形数,     

用勾股定理切拼正方形

切拼正方形是中考的一种题型,同学们在做这种题时,常常感到无从下手.为了帮助同学们做好这种题,下面介绍一种方法——勾股法来解这种题.勾股法就是利用勾股定理解题.勾股定理同学们都比较熟悉.在一个Rt△ABC中,a,b     

一道习题的多种证法

在高中课本中有这样一道习题:证明:C_n~1+2C_n~2+3C_n~3…+nC_u~n=n·2~(n-1)。本文给出它的七种不同的证明方法,这些证法从不同的侧面代表了数列求和的一般途径,对同学们或许有所启发。     

因式分解易错问题原因剖析

本文对同学们在分解因式时的几种常见错误进行了梳理,对其错因作简单剖析.一、概念不清例1分解因式:a2+3a-4.错解原式=a(a+3)-4.原因没有理解因式分解的概念,即没有     

函数概念的若干问题释疑

函数是高中数学的一个重要概念,由于它比较抽象,同学们理解起来比较困难,甚至产生一些错误的认识．下面就同学们在学习中存在的问题释疑如下．问题1 函数y=f(x+1)中的自变量是x     

和初一学生聊聊代数和

<正>上了初中之后,由于负数的引入,四则运算就扩充到有理数范围内了.在运算的过程中,经常要用到代数和,什么是代数和?为什么要用代数和?代数和又有什么优势呢?下面就和同学们来聊聊代数和.我们先看下面的算式:(-4)+(+18)+(+3)+(-13)+(-2).由于都是加号连接,所以不妨省略"+",把式子简写为:-4+18+3-13-2.