2005年高考江西卷压轴题的另证及推广

理(22)题:如图1,设抛物线C:y=x2的焦点为F,动点P在直线l:x-y-2=0上运动,过P作抛物线C的两条切线PA,PB,且与抛物线C分别相切于A,B两点.(Ⅰ)求△APB的重心G的轨迹方程;(Ⅱ)证明∠PFA=∠PFB.对(Ⅱ)标准答案提供了两种证法,在此再给出另外两种证法;图1抛物线分析1如图1,因为∠PFA=1     

2011年高中数学联赛(B卷)第8、9题解法探究

第8题抛物线y2=2p(x-p/2)(p>0)上动点A到点B(3,0)的距离的最小值记为d(p),求满足d(p)=2的所有实数p的和.解法一设抛物线上动点A(x,y),有y2=2p(x-p/2),则|AB|2=(x-3)2+y2=(x-3)2+2p(x-p/2)=x2+2(p-3)x+(9-p/2)=(x+p-3)2-2p2+6p,(x≥p/2)     

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题188已知函数y=(2 x)(3-x)的定义域为集合A,函数y=lg(kx2 4x k 3)的定义域为集合B,分别在下列情况下求k的取值范围.1)B A;2)A B;3)A∩B=.解A={x|(2 x)(3-x)≥0}={x|-2≤x≤3},B={x|kx2 4x k 3>0}.1)当k≥0时,显然B A,∴k<0,设f(x)=kx2 4x k 3=0的两根为x1,x2(x1相似文献   

抛物线的性质

定理1　抛物线y2=2px(p>0)的焦点是F(p2,0).如果P(x0,y0)是抛物线上一点,那么以FP为直径的圆与y轴相切.切点是Q(0,y02).并且直线PQ是抛物线的切线.(如图1).证明　易求以FP为直径的圆的方程为x2 y2-(x0 p2)x-y0y 12px0=0由方程组x2 y2-(x0 p2)x-y0y 12px0=0x=0消去x得关于y的一元二次方程y2-y0y 12px0=0(1)考虑到P(x0,y0)点在抛物线y2=2px上,显然方程(1)的判别式Δ=y20-2px0=0,所以,以FP为直径的圆与y轴相切.易求切点是Q(0,y02).由两点式方程,考虑P(x0,y0)点在抛物线上,可求得直线PQ的方程为y0y=p(x x0),此即一般教科书上抛物线的切线…     

两种常见的错解

题目设集合M={(x,y)|2xt y(1-t2)-2(1 t2)=0,t∈R},则M-是(). (A) (B){(x,y)|x2十y2<4} (C){{x,y)|x2 y2<4∪{0,-2)} (D){(x,y)|x2 y2≤4} 在学生中此题的错误解法有如下两种: 错解1(构造二次函数) 由2xt y(1-t2)-2(1 t2)=0, 得(y 2)t2-2xt-(y-2)=0,∵t∈R,∴△=(2x)2十4(y 2)(y-2)≥0,∴ x2 y2=4, 即 M={(x,y)|x2 y2≥4}, 于是 M-={(x,y)|x2 y2<4} 故选(B).     

用Newman型有理算子对|x|的逼近的渐近性质

设p(x)=∏k=1n=1((k/n)r z),0相似文献   

直线与抛物线相切的一个性质及应用

定理设抛物线的焦点为F,直线l′过F且与直线l平行.过顶点的切线与l′,l分别相交于M′,M.则直线l与抛物线相切的充要条件是FM′→·FM→=0.证明设抛物线方程y2=2px(p>0),焦点Fp2,0.直线l:y=kx+m.直线l′:y=kx-p2.过顶点的切线是x=0.FM′→·FM→=-p2,-pk2·-p2,m=14(p2-2pkm).由y2=2pxy=kx+m消去x,得ky2-2py+2pm=0.Δ=4(p2-2pkm),于是有Δ=16FM′→·FM→.∴FM′→·FM→=0Δ=0直线l与抛物线相切.下面举例说明定理在解题中的应用.例1判定直线l:x-y+1=0与抛物线y2=4x是否相切?解∵F(1,0),直线l:y=x+1,直线l′:y=x-1,过顶点的切线x=0.…     

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题 76　已知O为坐标原点 ,A ,B为抛物线y2 =2 px (p >0 )上的点 ,设S△AOB =t·tan∠AOB ,求t的最小值 .图 1　题 76图解　设AB与x轴相交于点P(a ,0 ) ,A ,B的坐标分别为 (x1,y1) ,(x2 ,y2 ) ,当AB与x轴斜交时 ,设AB的方程为 :y =k (x -a) (k≠ 0 ) ,联立 y =k(x -a) ,y2 =2 px ,得x1x2 =a2 ,y1y2 =- 2ap .当AB与x轴垂直时 ,上述结论仍然成立 .由S△AOB =12 |OA |· |OB |sin∠AOB =12|OA|·|OB|cos∠AOB·tan∠AOB ,可知t =12 ·|OA|·|OB|cos∠AOB .由向量数量积的定义 ,得|OA|·|OB|cos∠AOB =OA ·OB =x1x2 + y…     

2007高考(重庆卷)压轴题的一般情形

2007年高考(重庆卷)的压轴题22是:图1如图1,中心在原点O的椭圆的右焦点F(3,0),右准线l的方程为x=12·(1)求椭圆的方程;(2)在椭圆上任取三个不同点P1,P2,P3,使∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP1,证明1|FP1| |F1P2| |F1P3|为定值,并求此定值·(答案:(1)3x62 2y72=1;(2)定值为32)由此题,笔者得到了以下一般性的结论:定理1设P1,P2,…,Pn(n≥3)是椭圆Γ上的不同点,F是Γ的一个焦点,且∠P1FP2=∠P2FP3=…=∠Pn-1FPn=∠PnFP1,则∑ni=11|FPi|=nba2(其中a,b分别是Γ的长半轴,短半轴长)·定理2若双曲线Γ的一个焦点是F,且Γ的同一支上存在(n≥3…     

抛物线的一个几何性质

下面的定理 ,给出了抛物线一个有趣的几何性质 .此性质的证法很多 ,本文仅介绍一种较简捷的证法 .引理　设过点 (t,o) (t∈ R)的一条直线与抛物线 y2 =2 px(p >0 )相交于 P(x1,y1)、Q(x2 ,y2 )两点 ,则 x1x2 =t2 ,y1y2 =- 2 pt.证明　依题意可设直线方程为 x =my t,代入 y2 =2 px,得 y2 - 2 pmy - 2 pt=0∴　 y1y2 =- 2 pt,x1x2 =y212 p.y222 p=(y1y2 ) 24 p2 =(- 2 pt) 24 p2 =t2定理　设 A是抛物线 y2 =2 px(p >0 )的轴上一点 (位于抛物线内部 ) ,B是 A关于 y轴的对称点 .(1 )若过 A点引直线与这抛物线相交于 P、Q两点 (图 1 ) ,则∠…     

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题143设函数f(x)=x x2-a2(a>0).1)求f(x)的反函数f-1(x)及定义域;2)若数列{an}满足a1=3a,an 1=f-1(an),设bn=an-aan a,Sn表示{bn}的前n项和,试比较Sn与78的大小.解1)由f(x)=x x2-a2(a>0)得x=y2 a22y,∵y=x x2-a2(a>0),∴x2-a2=y-x=y-y2 a22y=(y a)(y-a)2y≥0,∴-a≤y<0或y≥a.∴f-1(x)=x2 a22x(-a≤x<0或x≥a)2)∵an 1=f-1(an)=an2 a22an,∴bn 1=an 1-aan 1 a=an2 a22an-a an2 a22an a=an-a an a2=bn2.∵a1=3a,∴b1=a1-aa1 a=12.∴bn=(bn-1)2=(bn-2)22=…=(12)2n-1.∴Sn=b1 b2 b3 … bn=12 (12)2 (12)22 … (12)2n-1.∵2n-1=C0n-1 C1n-1 …     

抛物线切线的一个有趣性质

在对抛物线的研究中,笔者发现了它的与切线有关的如下一个有趣性质. 定理设P(x0,y0)是抛物线y2=2px(p＞0)上的不与顶点重合的任意一点,过点P抛物线的切线与x轴的交点为Q,过Q任意引直线交抛物线于M(x1,y1),N(x2,y2)两点,则y20=y1y2,x20=x1x2.     

怎样从一个问题出发提出更多问题

《解析几何》课本上有这样的一道题 :过抛物线 y2 =2 px( p >0 )焦点F的直线和抛物线交于A(x1 ,y1 ) ,B(x2 ,y2 ) .求证 :y1 y2 =-p2 .(证明略 )你能从这道题出发提出更多的数学问题吗 ?提出新问题的方法和途径是什么 ?一由此及彼 ,迁移联想联想 1　注意到 y1 ·y2 =-p2 ,很自然的会想到 :x1 ·x2 =?又kOA =y1 x1 ,kOB=y2x2 ,想到kOA·kOB =?再由倾角和斜率有关 ,想到tanα·tanβ =?(其中∠AOx =α ,∠BOx =β)变题 1　过抛物线 y2 =2 px( p >0 )焦点F的直线和这抛物线相交于点A (x1 ,y1 )、B(x2 ,y2 ) .求值 :( 1)x1 ·x2 ;( 2 )k…     

对反函数中的两个易混易误问题的剖析

1.混淆复合函数的反函数与反函数的复合函数例1已知f(x)=x2(x≤0),求f-1(x 1).误解∵f(x)=x2(x≤0),∴f(x 1)=(x 1)2(x≤-1),令y=f(x 1),即y=(x 1)2,解得x=-1±y,∵x≤-1,∴x=-1-y,∴f-1(x 1)=-1-x(x≥0).剖析误认为f-1(x 1)是f(x 1)的反函数,而事实上f-1(x 1)是反函数的复合函     

圆锥曲线的一个性质的证明与推广

在研究圆锥曲线与其它知识的综合问题时,我们发现抛物线的准线上任意一点与焦点弦的端点、焦点连线的斜率之间存在着一定关系,这种关系不仅可以类推到椭圆双曲线,而且还能将结论更一般化,下面将此性质加以推广和证明,希望能和读者共勉·命题1设点M(m,0)(m>0)是抛物线y2=2px(p>0)的对称轴上的一点,过点M的直线与抛物线相交于A、B点·点N是直线x=-m上任意一点,则直线NA、NM、NB的斜率成等差数列·图1证明如图1,设A(x1,y1),B(x2,y2),设直线AB的方程为:x=hy+m,由y2=2px,x=hy+m,消x得y2-2phy-2pm=0,∴y1·y2=-2pm·设点N(-m,n),则直线NA的斜率为kNA=xy11+-mn,直线NB的斜率为kNB=xy22+-mn·∴kNA+kNB=yy121-n2p+m+y2-ny222p+m=2yp12(y+12-pmn)+2py(22y+22-pmn)=2p(y1-ny12-y1y2+y22y2--y1ny2)=2p·y2(y1y-1yn2)(y-1y-1(y2y)2-n)=2p·y1ny(2(y1y1--y2y)2)=2p·y1ny2=2p·-2npm...     

抛物线的切线性质研究

“弦与切线”是圆锥曲线所研究的主要对象,在新教材中由于导数的引入,给“切线”问题的研究提供了方便.下面笔者针对抛物线的切线性质问题作一番探析,为了研究的需要,笔者采用“特殊→一般”的探求模式进行,供参考.一、由抛物线的一条切线引出的性质特殊问题1:已知抛物线y2=2px(p>0),AB是它的一条通径,过通径的一个端点A作抛物线的切线,交抛物线对称轴于C点,设抛物线的焦点为F.求证:|AF|=|CF|.问题分析:∵A是通径的一个端点,可设点A(2p,p)则过点A的切线方程为:py=p(x+2p),令y=0,即得点C(-2p,0),∴|CF|=p,∵|AF|=p,∴|AF|=|CF|.上面…     

2002年第一期初中数学问题解答

一、已知|2y-24|+|ax-y-x|=0(x,y是实数),问a为何值时,x为负数? 解:x,y,a均为实数,∵ 2y-24=0, ①ax-y-x=0. ②由①得y=12.代入②得x=12/a-1(a≠1). 若x<0,则12/a-1<0,得a-1<0.∴a<1. 故当a<1时,x为负数. 二、若5+n,则5|(n4-1). 证:n4-1=(n-1)(n+1)(n2+1).∵5+n,∴n的末位数字不是0和5,只能是1,2,3,4,6,7,8,9.     

Liouville theorem for Choquard equation with finite Morse indices

In this article, we study the nonexistence of solution with finite Morse index for the following Choquard type equation-△u=∫RN|u(y)|p|x-y|αdy|u(x)|p-2u(x) in RN where N ≥ 3, 0 α min{4, N}. Suppose that 2 p (2 N-α)/(N-2),we will show that this problem does not possess nontrivial solution with finite Morse index. While for p=(2 N-α)/(N-2),if i(u) ∞, then we have ∫_RN∫_RN|u(x)p(u)(y)~p/|x-y|~α dxdy ∞ and ∫_RN|▽u|~2 dx=∫_RN∫_RN|u(x)p(u)(y)~p/|x-y|~αdxdy.     

斜率公式与两个不等式

关于绝对值不等式|a|-|b|≤|a b|≤|a| |b|的另证.当b=0时,不等式显然成立.当b≠0时,它等价于-|b|≤|a b|-|a|≤|b|-1≤|a |b|b|-|a|≤1-1≤||(aa b|b)--|aa||≤1|(aa b|b)--|aa|≤1.图1 y=|x|于是作y=|x|的图象如图1.易见MN所在直线的斜率k满足|k|≤1,故不等式得证.2不等式1 x≤1 21x(x>0)的“斜率”表示.此不等式等价于1 x-1(1 x)-1≤21.它表示过P(1 x,1 x),Q(1,1)两点的斜率不小于y=1 x在Q(1,1)点的切线的斜率.3如何比较23与32大小.令f(x)=lgxx则f(x)=lgxx--00,它可视为y=lgx图象上的动点(x,lgx)与原点连线的斜率,作出y=lgx的图象易…     

新题征展(25)第7题的别解及推广

贵刊 2 0 0 1年第 12期新题征展 (2 5 )第 7题是2 0 0 0年春季京皖高考题的改编题 ,是培养学生整体思维品质与细心演算习惯的一道好题 .我们再提供这道题的另外 4种解法并把结论推广到一般情况 .原题　如图 1,过原点 O作抛物线 y2 =2 px(p >0 )的两条互相垂直的弦 OA、OB,再作∠ AOB的平分线交 AB于 C,求 C点的轨迹方程 .解法 1　设 A(2 pt2 ,2 pt) ,C(x,y)则 k OA =1t,　 k OB =- t≠ 0 ,直线 OB的方程为 y =- tx (t≠ 0 ) ,代入 y2 =2 px得 B点坐标 (2 pt2 ,- 2 pt) ,图 1则　 | OA| =(2 p t2 ) 2 (2 pt) 2 =2 p| t| t2 1,|…