微积分严格化之后

牛顿 ( Isaac Netwon 1 64 2— 1 72 7)于 1 665— 1 667年间 ,莱布尼兹 ( Gottfried Wilhelm L eibniz1 64 6— 1 71 6)于 1 673— 1 676年间建立了微积分之后 ,很多数学家将它应用于天文、力学、物理等各种自然科学 ,获得了很大的成功 ,对整个自然科学的发展起了很大的推动作用。由于微积分的建立 ,数学本身也起了很大的变化 ,进入一个崭新的时代 ,很多新的数学分支产生了 ,如 :常微分方程、偏微分方程、积分方程、变分法、微分几何等等 ,数学成为由分析、几何、代数三大部门所组成的学科 ,这三大部门既相对独立又互相联系。但是由于当…     

微积分严格化之后(续一)

按 L ebesgue思想建立起积分理论 ,先要解决一个如何度量“长度”的问题 ,于是就要有L ebesgue测度的理论。由于这套理论的建立 ,使微积分能在一个更为广阔的天地中发挥它的作用。而对微积分本身的理解 ,与原有的认识相比 ,也达到了更为深刻的地步 ,这套理论将微积分推向到一个更高的层次。这时候 ,前面提到的原有微积分的缺陷与局限性 ,尤其是上述提到的四个问题 ,都得到了改善和解决。1 .在 L ebesgue积分意义下 ,连续函数 f使 ( 1 )成立 ,当且仅当 f是绝对连续函数。前面提到的那个例子 ,f( x) =x是 [0 ,1 ]上的绝对连续函数 ,故在 L e…     

Cauchy和严格微积分的起源

考察十七、十八世纪的数学状况,叙述早期微积分的技巧,讨论十八世纪微积分严格化的紧迫性,解释Euler、d’Alembert、Poisson和Lagrange所开创的数学技巧的发展过程,最后指出这些数学成果是如何被Cauchy用来建立新的严格微积分基础的.     

从微积分的发展看微积分的教学(续二)

麦克斯韦指出,为了认识例如电场这样的向量 A =(Ax,Ay,Az) ,重要的是要知道两个积分,一是 A经过某一曲面S的通量F= sAnds= s A·d s= sAxdydz Aydzdx Azdxdy,(9)另一个是 A沿某曲线L之环流C=∫L A·d s=∫LAxdx Aydy Azdz。(1 0 )尽管它们是由 A生成的,却是两类不同的物理量。(9)和(1 0 )的被积表达式称为二阶与一阶的微分形式ω2 与ω1 。(9)和(1 0 )本来都是很常见的第二型曲线积分与曲面积分。但是正如我们刚才说到的,人们开始研究向量是从代数的、形式的角度来考察的,所以我们现在也从形式的角度来看待它们,所以说它们是“微分…     

对微积分中主要矛盾的粗浅认识（续二）

在一般的微积分的书中 ,如果从 a到 b的直线段的长度是正的 ,那末从 b到 a的直线段的长度是负的 ,可是一涉及到面积就往往假设面积都是正的 ,如在二维欧氏空间中进行变数变换x =x(u,v) ,y =y(u,v) ,则 x,y平面的面积元素 d A =dxdy = (x,y) (u,v) dudv,这里 (x,y) (u,v) 是 x,y关于u,v的雅可比 (Jacobian)行列式 ,而对雅可比行列式要加以绝对值 ,其理由是面积总是正的 .但是线段的长度可有正有负 ,为什么面积一定要是正的 ?如果去掉这个限制 ,可以允许面积可正可负 ,这可能就是引入外微分形式的最最原始的思想 .对面积元素 dxdy引入外乘积…     

从微积分的发展看微积分的教学(续一)

积分学的历史比较微分学早得多,古希腊时代的穷竭法(还有中国的割圆术和祖（日桓）原理)都是早期的积分学。关于积分的理解,同样也因什么是无穷小,什么是不可分量而遇到困扰。即令我们把这些问题暂时放在一边,古代的穷竭法也只能用于一些最简单的曲线所成图形的面积。例如卡瓦列里用数列求和方法实际上得到了不定积分     

指数与对数函数--陈省身先生《微积分及其应用》之第二讲(2001.10.19)

本刊上两期 (总第 94,95期 )刊出了白承铭同志“数学大师的风采——记陈省身先生讲授《微积分及其应用》”一文的最初部分 :对这次系列演讲的简介 ,以及陈先生演讲的“第一讲”。应读者要求 ,本期继续刊出“第二讲”,讲稿由白承铭、宋敏、云保奇、赵志根等同志记录整理 ,未经陈先生寓目。刊出时只个别作了文字性处理     

微积分基础的新视角

微积分是大学数学教学的难点, 也是数学机械化研究的重点. 如能将其初等化, 不仅能解决微积分学教学的难点, 同时也能为微积分学的机械化研究提供另一条切实可行的途径. 目前国内外学者在微积分初等化方面做了一些工作, 但他们所给出的微分与积分定义中的不等式都来源于极限定义所采用的不等式. 本文提出了一个函数差商是 另一个函数的中值的概念, 这个概念刻画了原函数与导数的本质特征. 在此基础上, 得到了强可导和一致可导的充分必要条件并给出了 积分系统更直观的定义. 由此, 简单完整地建立起了基于初等数学的微积分系统, 为微积分系统机械化作了必要的准备; 另外, 本文的结果也显示了微积分学中许多常用定理的成立不依赖于实数理论的建立.     

三角函数 向量 复数(续)

2把复数引入三角函数的研究这一部分和前一部分不同.前一部分讲到的三角函数知识是完全成熟了的,绝大多数教师是很熟悉的,按本文的讲法给学生上课是可以的.这一部分涉及微积分,进入中学教材时间还短,许多教师还不太熟悉,需要进一步消化.特别是围绕欧拉公式的内容,如何教给学生,     

微积分全英语教学模式探讨——以电子科技大学格拉斯哥学院课程Calculus(微积分)为例

电子科技大学格拉斯哥学院电子信息工程专业是电子科技大学与英国格拉斯哥大学的联合办学项目,Calculus(微积分)课程是大一学生的一门重要的基础课程,该课程采用全英语教学.全英语教学是目前我国高水平办学的教学模式之一,在教材选择、课程大纲、授课模式上都有其独特性.为了更有效地提高该课程的教学质量和教学效果,本文对微积分全英语教学的现状、价值意义、存在问题、教学模式等方面进行探讨,并对存在的主要问题给出了一些具体的方案.     

微积分教学:从冰冷的美丽到火热的思考(续)

三、微积分教育形态的表现形式在微积分教学中,人们面对的是教科书中书写的学术形态,比较形式化的表达.那么如何用各种手段使它呈现为人们易于接受的教育形态呢?以下是一些具体的建议.1·平易近人重视人的原始观念切线,瞬时速度,都是人们具有的原始观念.我们应该把它作为微积分的出发点,而不是导数的几何解释和力学解释.切线,人人都懂.于是,我们可以启发学生用切线的斜率变化来研究函数y=x的性质,这和中学里采用的方法完全不同,立即能使得学生关注微积分的奥妙.瞬时速度,其实也是人们的原始概念.当后面的快车赶上慢车的那一刹那,快车的速度…     

曲面论(一)--陈省身先生《微积分及其应用》之第四讲(2001.11.02)

1．曲面的标架 今天我们讲一点曲面论。微积分在曲面上应用的研究在整个数学里头是很要紧的。这是因为在曲面论中,曲面的这些性质往往扩充到其他更广的情形,而这些更广的情形变化到曲面的时候也有很多性质,在曲面的情形已经发生了。那么,曲面有个优点,就是我们假定它是在3维空间里头,所     

严格 B -预不变凸函数

该文首先得到了严格B -预不变凸函数的一个充分条件,然后给出了严格 B -预不变凸函数的一些性质,最后得到了关于目标函数为严格 B -预不变凸函数的极小化问题的若干结果.     

C~n中一类有界严格平衡域上的双全纯映照及星映照的刻划

本文推广Ｃｎ中单位球Ｂｎ上的具形的全纯映照的概念，并应用由微分方程的解的唯一性来判断映照的单叶性的技巧，给出Ｃｎ中一类有界严格平衡域上局部双全纯映照成为双全纯（星）映照的充要条件．     

交换环上严格上三角矩阵半群的自同构(英文)

设R是任意含有单位元的交换环,N_n(R)是R上的所有n×n严格上三角矩阵组成的乘法半群.本文对N_n(R)的任意自同构给出了详细的描述.     

数学大师的风采——记陈省身先生讲授《微积分及其应用》(续一)

( )外微分上面讲了这么样一种关系 ,甚至这关系还更要好 ,我们讲高等微积分的时候 ,一个重要的定理是格林定理 ( Green' s Theorem)。就是说 ,假使你有个区域 ,在边界上的微分是可以变为区域上的微分 ,是一个一重积分和二重积分的关系 ,这是个非常重要的关系。比方龚 升曰 教授有一本小书 ,讲到这个关系 ,他认为这是整个微积分的基本定理 ,我是同意的。这样的关系现在通常写格林定理的时候 ,往往是写成有积分 ,∫γAdx +Bdy =( Bx-Ay) dxdy. ( 1 .9)如果有一个问题 ,有时候你可以只管 Integral,不要管其它 ,那么 Integral就是把…     

曲线论--陈省身先生《微积分及其应用》之第三讲(2001.10.26)

本刊总第94,95期刊出了白承铭同志“数学大师的风采——记陈省身先生讲授《微积分及其应用》”一文的最初部分：对这次系列演讲的简介,以及陈先生演讲的第一讲。应读者要求,总第96期刊出了第二讲。本期继续刊出第三讲。讲稿由白承铭、宋敏、云保奇、赵志根等同志记录整理,未经陈先生寓目。刊出时只作了个别文字性处理。     

曲面论(三):Gauss-Bonnet公式(续)

本刊自总第94期刊出陈省身先生系列讲座《微积分及其应用》的首讲之后,曾引起读者极大兴趣,纷纷表示获益良多．应广大读者的强烈要发,本刊在总第95、96、99、102、105各期先后续载了陈先生的系列讲座．本期刊出最后一讲．此稿由白承铭、宋敏、云保奇、赵志根等同志记录整理,刊出时只作个别文字处理．大师仙逝,在本刊刊出的系列讲稿,已成绝响,特别是最后两讲已不能再呈先生寓目,我们不胜悲切,并表深深怀念．