多元对称函数的一类条件最值

回顾近几年来中国数学奥林匹克冬令营试题,我们发现有一类多元对称函数的最值问题曾经两次出现于试题之中（ＣＭＯ１９９３－２,ＣＭＯ１９９７－１）．本文对这类问题进行了深入研究,给出了统一的求解方法．为了方便起见,我们把ｎ元实函数Ｆ（ｘ１,ｘ２,…,ｘｎ）...     

一个多元函数的最值问题

一、一个错误的题解不少学生问到《1 998年研究生入学考试数学复习指南》 (陈文灯编著 ) (下称“指南”)第 2 5 8-2 5 9页的题及解答 :“例 1 0 .3 7　在平面 xa yb zc=1与三坐标面所围成的四面体内作一个以该平面为顶面 ,在xoy坐标面上的投影为长方形的六面体中体积之最大者 (其中 a,b,c>0 )解　如右图 ,则六面体体积为V= Dzdxdy = Dc(1 -xa -yb) dxdy=c∫x0 dx∫y0 (1 -xa -yb) dy　　令V′x =c(y -y22 b-xya) =0V′y =c(x -xyb -x22 a) =0解之 ,得驻点 P(2 a3 ,2 b3 ) .　　∵ A =V″x2 | P=-2 bc3 a,B =V″xy| P =-c3 ,　　　　…     

多元对称函数的一类条件最值

给出满足约束条件x1x2…xn=s的n元连续对称函数取得最值的一个充分条件,据此可求某些多元对称函数的最值,并可证明某些多元对称不等式.     

一类分式型最值问题的统一求法——代“1”法

均值不等式应用问题中有一类“条件为a1^m＋a2^m＋…an^m=1的分式型”的最值问题，本文给出这类问题的统一解法——代“1”法。     

用判别式法解多元函数最值

求函数的最值是高中数学重要题型，而多元函数的最值问题更是各级各类竞赛的热点之一，把变量看作未知数（确定主元），将原函数整理成关于该未知数的一元二次函数或一元二次方程，利用未知数是实数，     

一类分式函数避免使用判别式法求值域的技巧

求 ｆ(ｘ) =ａ2 ｘ2 ｂ2 ｘ ｃ2ａ1ｘ2 ｂ1ｘ ｃ1型函数的值域 ,是函数学习中的一个难点 ,解题时一般使用判别式法 ,但是 ,判别式法计算较繁 ,容易出错 ,因此 ,笔者认为 ,在能避免使用判别式法解答时 ,应尽量避免使用 .下面介绍可避免使用判别式法的三种情形 .情形 1　分子分母系数满足 ａ2ａ1=ｂ2ｂ1≠ ｃ2ｃ1.此时 ,所求函数可化为 ｆ(ｘ) =ｆａ1ｘ2 ｂ1ｘ ｃ1 ｅ的形式 ,只需用配方法求出 ｇ(ｘ) =ａ1ｘ2 ｂ1ｘ ｃ1的值域 ,就可求得原函数的值域 .例 1　求函数 ｆ(ｘ) =2ｘ2 2ｘ 3ｘ2 ｘ 1的值域 .解　∵ ｆ(ｘ) =1ｘ2 ｘ…     

巧用一道不等式求一类无理函数的最值

新教材高中数学第二册 (上 )第 16页有一道练习题 :求证 :(ac +bd) 2 ≤ (a2 +b2 ) (c2 +d2 ) ,等号成立当且仅当bc =ad .利用这一不等式可以很方便地求一类无理函数的最大值或最小值 .将上述不等式变形为 :|ac +bd|≤ (a2 +b2 ) (c2 +d2 ) .若此式右端 (a2 +b2 ) (c2 +d2 )为常数 ,当bc =ad时 ,则 (a2 +b2 ) (c2 +d2 ) 是 |ac+bd|的最大值 .同理 ,当 (a2 -b2 ) (c2 -d2 )≥ 0时 ,有 |ac-bd|≥(a2 -b2 ) (c2 -d2 ) ,当且仅当bc=ad时取等号 .若此式右端 (a2 -b2 ) (c2 -d2 )为常数 ,当bc =ad时 ,(a2 -b2 ) (c2 -d2 )是 |ac -bd|的最小值 .下…     

求多元函数最值中值得注意的一个问题

探讨了求多元函数最值中存在的一个问题     

例谈多元函数最值的求法

多元函数的最值问题一般都含有两个或两个以上的变元,常与不等式、函数方程、线性规划、三角等知识交汇,知识综合性强,求解技巧性高,学生困惑多,教学难度大.高中数学中有许多问题都与多元函数的最值有着密切联系.本文针对这一常见题型,适当侧重于二元函数z=f（x,y）型的最值问题,试对其主要解法作一概述,旨在对同学有所裨益.1.不等式法基本不等式a＋b/2≥ab（1/2）（a〉0,b〉0,当且仅当a=b时等号成立）是一个重要的不等式,     

用判别式法解多元函数最值

求函数的最值是高中数学重要题型,而多元函数的最值问题更是各级各类竞赛的热点之一,把变量看作未知数(确定主元),将原函数整理成关于该未知数的一元二次函数或一元二次方程,利用未知数是实数,可由判别式确定函数的取值范围.判别式法是求多元函数     

巧用向量求最值

函数求值问题，经常出现在中学各类竞赛试题中，巧妙利用向量求函数的最大值，最小值等，可以使一类函数求值问题的思路清晰，解题方法简捷巧妙，并富于规律性，趣味性．     

巧用均值不等式求条件分式最值

你面对在某种条件下,求分式趣题的最值(2011)问题,倘若一时想不出适当的解法,走到山穷水尽的地步,不妨试一试构造均值不等式,它能使你走向柳暗花明的前程.     

均值法求解一类多元复合最值问题

综观近年高考试题、各地模拟试题及竞赛试题,常常出现这类在最大值中求最小值或在最小值中求最大值的问题．对于这种复合最值问题,如果是一元复合型,则考查的目标主要是数形结合,分段解析,观察取值;然而更多的复合最值问题,     

一道函数最值问题的典型错误

例 设a,b∈R且满足a2+ab+b2=1,求函数t=ab-a2-b2的最大值.……     

一类函数求最值问题的商榷

本刊2008年第17、19期连载“由2008年高考数学卷引起的思考及启示”,读后为同行们的钻研精神而感动．19期的文中曹老师得出了一类函数最小值的几何模型：一般地,     

一个分式最值问题的解法的再改进

文[1]中,潘继军老师巧用均值不等式解答了下面这道分式最值问题：     

巧变形 求最值

<正>《中学生数学》2013年第4月(下)课外练习题初三年级第1题是:题求函数y=2x+2x2+3x+3的最大值和最小值.参考答案用"判别式"给出了解答.本文再给出一种不用"判别式"的解法,供同学们参阅.另解y=2x+2x2+3x+3=2(x+1)(x+1)2+(x+1)+1,当x+1=0时,y=0,即y=0是函数的一个值;当x+1≠0时,y=2x+2x2+3x+3=2(x+1)(x+1)2+(x+1)+1=2(x+1)+1x+1+1.∵|x+1|+1|x+1|≥2|x+1|·1|x+1槡|=2,     

多元函数取条件最值的充分条件

根据泰勒公式以及实二次型的正定理论，本文介绍”中利用矩阵判定函数取得条件最值的充分条件，该结论具有一般性。若z＝f（x）与gk（x）船可微，则z＝f（x）在gk（x）＝0时（k＝1，2，…，m且m＜n）于c处取条件最值的必要条件是：存在人一（x，砧，…，此）ER”，使得点风（c，入）是拉格朗回函数。）的稳定点，这里如果在此基础上我们对有关函数的限制加强，则可继续作如下讨论。设P。什，入）是拉氏函数的稳定点，X一八X）与以（X）是二阶连续可徽的，设A是满足约束条件：g。（x）一0的一切点x的集合，则任取c的充分小的0邻域U（c，…     

均值法求解一类多元复合最值问题

2009年普通高等学校招生全国统一考试海南(宁夏)卷第12题:已知函数f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),求f(x)的最大值;2006年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷第12题:已知函数f(x)=max{|x+1|,|x-2|}(x∈R),求f(x)的最小值.综观近年高考试题、各地模拟试题及竞赛试题,常常出现这类在最大值中求最小值或在最小值中求最大值的问题.对于这种复合最值问题,如果是一元复合型,则考查的目标主要是数形结合,分段解析,观察取值;然而更多的复合最值问题,