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一类锥体体积的最值问题湖南洞口一中李迪淼一、定球的内接锥体体积的最大值定理１设Ｐ－Ａ１Ａ２．．．Ａｎ是内接于半径为Ｒ的球面的正ｎ棱锥，记其体积为Ｖ，则其中等号当且仅当正ｎ棱锥侧面与底面夹６的余弦等于因。证不妨设外接球的球心Ｏ在高线ＰＯ１上（参见图１）... 相似文献
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正２ｎ边形的一个有趣性质４１９６０５湖南沅陵六中周永国本文给出正２ｎ边形的一个性质，并由此得到了球的内接正Ｚｎ边形、棱锥以及等分圆周的有趣性质．引理设Ａ１Ａ２…Ａ２是正２ｎ边形，Ｐ为空间任一点，则证明作一正２ｎ边形Ｂ１Ｂ２…Ｂｎ，取边ＢｉＢｉ＋１的中... 相似文献
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我们知道锥体被平行于底面的平面所截,那么截面和底面的面积比等于截得的锥体的高和原锥体的高的平方比．这是一个很重要的性质,此外,以下两条锥体的性质也是很有用的．设锥体的高为ｈ,侧面积为Ｓ,体积为Ｖ;该锥体被平行于底面的平面所截,截得的锥图１体的高为ｈ′,侧面积为Ｓ′,体积为Ｖ′．这时有以下两个性质：（ｉ）Ｓ′Ｓ＝ｈ′２ｈ２;（ｉｉ）Ｖ′Ｖ＝ｈ′３ｈ３．下面就性质（ｉ）,当锥体为棱锥时简要证明：如图１,设棱锥Ｐ—ＡＢＣ的高为ｈ,侧面积为Ｓ,截面Ａ′Ｂ′Ｃ′∥底面ＡＢＣ,截得的棱锥Ｐ—Ａ′Ｂ′Ｃ′的高… 相似文献
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1 四个侧面是全等的三角形 ,且各侧面和底面所成的角都相等的四棱锥是正四棱锥图 1 问题 1图错 反例 :作菱形ＡＢＣＤ ,过对角线ＡＣ ,ＢＤ的交点Ｏ作平面ＡＢＣＤ的垂线 ,在垂线上任意取一点Ｐ ,连结ＰＡ ,ＰＢ ,ＰＣ ,ＰＤ .则四棱锥Ｐ ＡＢＣＤ满足题设条件 ,但它却不一定是正四棱锥 .2 各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥错 反例 :在上题中 ,适当地选取Ｐ点的位置 ,使ＯＰ =ＯＢ .一般地 ,当菱形的锐角为θ边长为ａ时 ,取ＯＰ =ａｓｉｎ θ2 ,则可得ＡＰ =ＡＢ ,ＡＰ =ＡＤ ,ＣＰ =ＣＢ ,ＣＰ =ＣＤ ,因而四棱锥Ｐ ＡＢＣ… 相似文献
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有心圆锥曲线的一个有趣性质李宗奇（甘肃省徽县一中７４２３００）１９９５年高考数学试题理科最后一题为：已知椭圆三十头一１，直线Ｚ：壬十兰一１．Ｐ是ｌ上一点，射线ＯＰ交椭圆于点Ｒ，又点Ｑ在ＯＰＩ且满足：当点Ｐ在ｌ上移动时，求点Ｑ的轨迹方程．并说明轨迹是什... 相似文献
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笔者近日在对圆锥曲线内点性质研究时 ,发现了圆锥曲线内点的一个新颖有趣的性质 .图 1性质 1 设Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )是椭圆Ｅ内部一定点 (异于Ｅ的中心Ｏ) ,过点Ｐ引直线ｌ交椭圆Ｅ于Ａ、Ｂ两点 ,以ＯＡ、ＯＢ为邻边作平行四边形 (当Ａ、Ｏ、Ｂ三点共线时 ,可视为退化情形 ,下同)ＯＡＱＢ ,则点Ｑ的轨迹是以Ｐ为中心且与椭圆Ｅ有相同离心率的椭圆Ｅ′(当原曲线为圆时 ,点Ｑ轨迹是圆 ) ,同时椭圆Ｅ′过Ｅ的中心 .图 2性质 2 设Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )是双曲线Ｅ内部 (含焦点的区域 )一定点 ,Ｅ的中心为Ｏ .过Ｐ引直线ｌ交双曲线Ｅ于Ａ、Ｂ两点 ,以ＯＡ、… 相似文献
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变换在数学中起着重要作用 .下面介绍有关的几何命题 ,利用这些命题作为变换的依据 ,更好地解决问题 .1 变换位置1.1 变换点的位置命题 1 (课本例题 )如果直线ｌ∥平面α ,那么直线ｌ上各点到平面α的距离相等 .图 1 例 1图例 1 如图 1,正四棱锥Ｓ -ＡＢＣＤ的顶点Ｓ在底面上的射影为Ｏ ,ＳＤ的中点为Ｐ ,且ＳＯ =ＯＤ =ａ ,直线ＢＳ上有一点Ｇ ,求点Ｇ到面ＰＡＣ的距离 .解 连结ＢＤ ,ＡＣ ,ＢＤ与ＡＣ交于点Ｏ ,连ＰＯ .知ＰＯ∥ＢＳ ,ＢＳ∥面ＰＡＣ ,因此直线ＢＳ上的点Ｇ和点Ｓ到面ＰＡＣ的距离相等 .由ＳＯ =ＯＤ ,知ＯＰ⊥Ｓ… 相似文献
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对于某些数学问题,若能灵活运用其定 义,便能快速获解．下面仅谈谈圆锥曲线定义 的灵活运用． 例１ 已知圆Ｏ方程为ｘ～２＋ｙ～２＝１００,点 Ａ的坐标为（－６,０）,Ｍ为圆Ｏ上任意一点, ＡＭ的垂直平分线交ＯＭ于点Ｐ,则点Ｐ的轨 迹方程为（）． 此题若用求轨迹方程的其它方法很费 时,但根据图形用定义就能迎刃而解． ｜ＰＡ｜＋｜ＰＯ｜＝｜ＰＭ｜＋｜ＰＯ｜ ＝Ｒ Ｐ点的轨迹是以 Ａ（－６,０）,Ｏ（０,０） 为焦点的椭圆．故选（Ｂ）． 例 ２ 已知定点 Ａ（２,）,Ｆ是椭圆头十头一１的左焦点,点Ｍ在椭圆上移动,１６ １… 相似文献
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所谓等积转化,即将欲求棱锥转化为与其等体积的新棱锥求解;“等积法”对求棱锥体积既具有灵活性,又具有规律性;本文介绍四种技巧;１ 顶点替换法;三棱锥顶点相互替换后而等积;利用该特性是求三棱锥体积的常用方法;例１ 已知四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ的底面是面积为２３的菱形,侧面ＰＡＤ是等边三角形且与底面垂直,Ｅ为侧棱ＰＣ的中点（如图）;求三棱锥Ｃ－ＡＤＥ的体积;ＢＣＥＰＤＦＡ解 过Ｐ作ＰＦ⊥ＡＤ于Ｆ,则ＰＦ⊥底面ＡＢＣＤ;由题意可求得ＰＦ＝３,∴ＶＣ－ＡＤＥ＝ＶＥ－ＡＣＤ＝１３·Ｓ△ＡＣＤ·１２ＰＦ＝１３·３·… 相似文献
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定理 设三角形的Ｂｒｏｃａｒｄ角是θ,外接圆半径是Ｒ,则正负Ｂｒｏｃａｒｄ点间的距离是２Ｒ１－４ｓｉｎ２θ·ｓｉｎθ．引理１ 将△ＡＢＣ绕外心Ｏ反时针旋转２θ得△Ａ１Ｂ１Ｃ１,则△ＡＢＣ的正Ｂｒｏｃａｒｄ点与△Ａ１Ｂ１Ｃ１的负Ｂｒｏｃａｒｄ点重合．图１证明 如图１,设Ｐ是△ＡＢＣ的正Ｂｒｏｃａｒｄ点,延长ＡＰ、ＢＰ、ＣＰ分别交外接圆Ｏ于Ｂ１、Ｃ１、Ａ１,连结Ａ１Ｂ１、Ｂ１Ｃ１、Ｃ１Ａ１．则 ∠ＰＡ１Ｃ１＝∠ＰＢ１Ａ１＝∠ＰＣ１Ｂ１＝θ．可见Ｐ是△Ａ１Ｂ１Ｃ１的负Ｂｒｏｃａｒｄ点．又易证△ＡＢＣ≌… 相似文献
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矩形外接圆周上点的有趣性质刘清阁（吉林省白城地区教育学院１３７０００）引理矩形外接圆周上任一点，到各顶点距离的平方和为定值，已知：如图１，Ｐ为矩形ＡＢＣＤ外接圆周上任一点，Ｏ半径为Ｒ．求证：ＰＡ２＋ＰＢ２＋ＰＣ２＋ＰＤ２＝８Ｒ２．证由勾股定理易得结论... 相似文献
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近日，笔者在研究棱锥内切球球心的性质时，得到了一个由棱锥内切球球心带来的棱锥底面上的一特殊点的一个有趣性质． 相似文献
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在对椭圆、双曲线的研究中 ,笔者发现一组有趣性质 .为便于结论统一 ,我们先引入一个概念 :定义 在二次曲线方程Ａｘ2 +Ｂｙ2 +Ｃ=0 (其中Ａ、Ｂ、Ｃ是常数且Ａ·Ｂ·Ｃ≠ 0 )中 ,称比值 - ＡＢ 为此二次曲线的斜心率 ,记为Ｋ ,即Ｋ =- ＡＢ.例如圆ｘ2 +ｙ2 =ｒ2 的斜心率Ｋ =- 1 .于是 ,我们有如下有趣性质 .定理 1 椭圆 (或双曲线 )的中心在原点Ｏ ,焦点在坐标轴上 ,其斜心率为Ｋ .点Ｐ为椭圆 (或双曲线 )上任意点 ,Ｐ1 Ｐ2 为椭圆 (或双曲线 )上任意弦 ,设直线ＰＰ1 、ＰＰ2 的斜率分别为ｋ1 、ｋ2 .若弦Ｐ1 Ｐ2 过中心Ｏ ,则ｋ1 ·ｋ2… 相似文献
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定理 1 ｎ棱锥有外接球的充要条件是 :它的底面多边形有外接圆 .证明 记ｎ棱锥为Ｐ-Ａ1 Ａ2 …Ａｎ,它存在一个外接球 ,球心为Ｏ ,半径为Ｒ .Ｏ在底面投影记为Ｍ ,则ＯＡ1 =ＯＡ2 =… =ＯＡｎ =Ｒ显见Ｒｔ△ＯＭＡ1 ≌Ｒｔ△ＯＭＡ2 ≌… ≌Ｒｔ△ＯＭＡｎ∴ＭＡ1 =ＭＡ2 =… =ＭＡｎ即Ｍ是ｎ边形Ａ1 Ａ2 …Ａｎ 的外心 ,必要性证毕 .反之 ,对于ｎ棱锥Ｐ-Ａ1 Ａ2 …Ａｎ,设底面多边形有外接圆心Ｍ ,过Ｍ作直线ＭＮ垂直于底面 ,显见ＭＮ不与ＰＡ1 垂直 ,故作线段ＰＡ1 中垂面 (即过ＰＡ1 中点且与ＰＡ1 垂直的平面 )必与直线ＭＮ有唯一的交… 相似文献
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文 [1]给出结论 :在正四棱锥中 ,设侧面与底面所成的二面角为α ,相邻两侧面所成的二面角为 β ,则ｃｏｓβ =-ｃｏｓ2 α .图 1 (1)式证明用图事实上 ,由ｃｏｓβ =-ｃｏｓ2 α可化为 2ｃｏｓ2 β2 - 1=-ｃｏｓ2 α ,所以 2ｃｏｓ2 β2 =ｓｉｎ2 α ,进而化为ｃｏｓ β2 =ｃｏｓ π4 ｓｉｎα (1)证明 如图 1,正棱锥的高为ＰＯ ,ＰＦ为斜高 ,则∠ＰＦＯ =α .设∠ＡＥＣ为侧面ＰＡＢ与侧面ＰＢＣ所成的二面角 ,即∠ＡＥＣ =β .由正棱锥的特性 ,ＯＥ平分∠ＡＥＣ ,那么ｃｏｓ β2 =ＯＥＡＥ=12 ＰＢ·ＰＯ12 ＰＢ·ＡＥ=Ｓ△ＰＯＢＳ△… 相似文献
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ＳＯＭＥＡＮＺＡＨＬＴＨＥＯＲＥＭＳＩＮＶＥＣＴＯＲＳＰＡＣＥＯＶＥＲＺ／Ｐ~ｋＺ~１（游宏，南基洙）￥ＹｏｕＨｏｎｇ（Ｄｅｐｔ．ｏｆＭａｔｈ．，ＨａｒｂｉｎＩｎｓｔｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ．，Ｈａｒｂｉｎ１５００１，Ｃｈｉｎａ．）ＮａｎＪｉｚｈｕ（Ｄ... 相似文献
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本刊文 [1 ]将文 [2 ]的关于抛物线的一个几何性质推广到了椭圆及双曲线中 ,几个结论综合起来是与圆锥曲线对称轴有关的一个性质 .但文[1 ]中所述的性质只涉及到曲线焦点所在的对称轴 ,而遗漏了另一对称轴的情形 .另外 ,这个性质对圆也是成立的 .作为文 [1 ]的补充 ,本文再给出以下三个结论 .定理 1 设Ａ是以Ｏ为圆心、Ｒ为半径的圆内异于Ｏ的任意一点 ,Ｂ是ＯＡ延长线上的一点 ,且｜ＯＡ｜·｜ＯＢ｜=Ｒ2 ,(1 )若过Ａ点引直线与这个圆相交于Ｐ ,Ｑ两点 ,则∠ＰＢＡ =∠ＱＢＡ ;(2 )若过Ｂ点引直线与这个圆相交于Ｐ ,Ｑ两点 ,则∠ＰＡＢ+∠… 相似文献