关于正项等差数列一个不等式的加强及应用

笔者在文[1]中建立了如下不等式:命题设{an}为等差数列,且首项a1>0,公差d>0,k∈R 且k≠1,n>1,则1d(1-k)(a1n- 1k-a11-k)<∑ni=11aik0,公差d>0,k∈R ,且k≠1,n>1,则1d(1-k)1akn- 11-a11k-1 21a11k-a1nk 1<∑ni=11aik0),则f′(x)=-xkk 1<0,f″(x)=k(kxk 21)>0,故函数f(x)在(0, ∞)内单调递减且严格下凸.设y=f(x)的图形为曲线C,作直线x=ai和直线x=ai 1,分别与曲线C和x轴正半轴相交于Pi,…     

“二项式定理”有哪些常见的题型

1　“二项式定理”常见的题型1)求指数n ;2 )求二项式两项中的某一项 (或相关部分 ) ;3)求二项展开式的某一项 ;4 )求二项展开式的某些项的系数和 ;5 )求n个二项式的和、差、积的某项 ;6 )三项式问题 .2　例题研究例 1　 x +14(x - 1) 5的展开式中 ,x4的系数为 (　　 )(A) - 4 0 .　　 (B) 10 .　　 (C) 4 0 .　　 (D) 4 5 .解　展开式的通项为　Cr4x4-r2 Ck5x5-k(- 1) k=(- 1) kCr4Ck5x14 -r -2k2 (0≤r≤ 4 ,0≤k≤ 5 ) .令14 -r - 2k2 =4 ,得 2k +r=6 .∴ r =0 ,k =3,或 r=2 ,k =2 ,或 r=4 ,k=1.∴x4的系数为 -C04C3 5+C24C25-C44C…     

新编应用题选登

题 1 　某车间有 10台同类型的机床 ,每台机床配备的电动机功率为 10千瓦 ,已知每台机床工作时 ,平均每小时实际开动 12分钟 ,且开动与否是相互独立的 .1)现因当地电力供应紧张 ,供电部门只提供 5 0千瓦的电力 ,这 10台机床能够正常工作的概率为多大 ?2 )在 1)的条件下 ,一个工作班的 8小时内 ,不能正常工作的时间约是多少 ?解　 1)设 10台机床中实际开动的机床数为随机变量 ξ,由于车床类型相同 ,且机床的开动与否相互独立 ,因此 ξ～B(10 ,p) .其中 p是每台机床开动的概率 ,由题意 p =126 0 =0 .2 ,所以P(ξ =k) =Ck10 ×0 .2 k× 0 .81…     

几何分布中两类问题的说明

在贝努里 (Bernoulli)试验中 ,事件A发生的概率为 p ,若以 ξ记A首次出现时所需的试验次数 ,则ξ是随机变量 ,它的所有可能取值为 1,2 ,3,… ,n ,… ,且概率函数为g(k ,p) =P(ξ=k) =(1- p) k - 1p ,k =1,2 ,3,…我们把由该式所决定的概率分布即称为几何分布 .其分布列为ξ 12     

陕西省第四次大学生高等数学竞赛(复赛)试题(附答案)〔2001年10月13日上午9∶00—12∶00〕

一、( 1 0分 )求 dndxn( x3x2 -1 ) |x=0 　 ( n>1 ) [=0 ,当 n为偶数-n!,当 n为奇数二、( 1 0分 )设函数 φ( x)、f( x)有一阶连续导数 ,且 f′( x) >0 ,又函数 z( x,y) =f[x φ( y) ]满足方程φ( y) z x- z y=0 ,求φ( y) .[=Cey三、( 1 0分 )计算 I =∫ 11 kcosxdx,k为非零常数 .[当 |k|>1时 ,I =1k -1k -1k 1 lnk 1k -1 tan x2k 1k -1 -tan x2 C;当 0 <|k|<1时 ,I =21 -k2 arctan( 1 -k1 ktan x2 ) C;当 k =± 1时 ,I =± cscx± cotx C,四、( 1 0分 )设 xn 1=14( 3 xn 81x3 n) ( n=0 ,1 ,2 ,… ) ,其中 x0 >0 .( 1 )证明…     

用随机方法证明一类组合恒等式

在组合恒等式∑sk1=0Ck1n1Cs- k1n2 =Csn1+ n2 　　　　 s=0 ,1 ,2 ,… ,n1+n2 ( 1 )的各种证法中 ,最简捷的要数概率方法的证明。恒等式 ( 1 )的一种概率方法证明是 :考虑如下的随机试验 ;设有一批产品 ,其中 n1件是次品 ,n2 件是正品 ,现从中随机地取 s件 ,则这 s件中的次品数“ξ=k”的概率是 P(ξ=k) =Ckn1Cs- kn2Csn1+ n2由于在 S件产品中次品数可能是 0 ,1 ,2 ,… ,s。共 s+1种 ,它们彼此互不相容 ,且这 ( s+1 )个事件之并为必然事件 ,故有∑sk1=0p(ξ =k) =∑sk1=0Ckn1Cs- kn2Csn1+ n2=1　　　　　即 ( 1 )得证　　由等式 ( 1 )…     

数学问题与解答

20 0 3年 1 2月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 466　设M =5 2 0 0 1 + 72 0 0 2 + 92 0 0 3+ 1 1 2 0 0 4 ,求证 :M能被 8整除 .证明　令An =5 2n- 1 ,Bn =72n,Cn =92n- 1 ,Dn =1 1 2n(n∈Z+)( 1 )当n=1时 ,有A1 =5 ,B1 =49,C1 =9,D1 =1 2 1 ,所以A1 除以 8余 5 ;B1 除以 8余 1 ;C1 除以 8余 1 ;D1 除以 8余 1 .( 2 )假定n=k(k∈Z+)时 ,有Ak 除以 8余 5 ,即Ak =5 2k- 1 =8S1 + 5 (S1 ∈Z+) ;Bk=72k除以 8余 1 ,即Bk=72k=8S2 + 1 (S2∈Z+) ;Ck =92k- 1 除以 8余 1 ,即Ck =92k- 1 =8S3+1 (S3∈Z+) ;Dk =1 1 2k 除以 8余 1 …     

上期课外练习解答

高一年级1.( 1)易知△ABC为直角三角形 .由OC2 =OA×OB ,得 4×OB2 =42 ,∴　OB =2 ,　OA =8.过A( -8,0 ) ,B( 2 ,0 )的抛物线解析式设为 :y =a(x +8) (x -2 ) .将C( 0 ,4)代入得　a =-14 .∴　y =-14 (x +8) (x -2 ) .( 2 )易求得D( -3 ,2 54) ,S△ADC=12 [2 54-48× ( 8-2 ) ]× 8=13 .2 . -3 016x2 -2 ( 5 -k)x +16>0 Δ1 =( 5 +k) 2 -14 2 <0Δ2 =( 5 -k) 2 -162 <0 -19相似文献   

直线中最值问题的类型

类型一面积最值型例1过点P(1,4)引一条直线l,若它与两坐标轴在第一象限中围成的面积最小,求此直线方程.分析设此直线方程为y-4=k(x-1)(k<0),则它与两坐标轴分别交于点(k-k4,0)和点(0,4-k).设直线与两坐标轴围成三角形的面积为S,则S=21(4-k)(k-k4)=-21k(4-k)2=4-8k-2k≥4 2(-8k)·(-2k)=8.当且仅当-2k=-8k即k=-4,Smin=8.将k=-4代入原直线方程,就可以得到直线方程y=-4x 8.类型二距离最值型例2当θ∈[0,2π]时,方程xcosθ ysinθ-3=0表示一簇直线,点P(1,-1)离这簇直线中哪一条最近,哪一条最远?分析由直线xcosθ ysinθ-3=0知,点P(1,-1)到直…     

高阶复微分方程关于迭代级的辐角分布

设Aj是整函数(j=0,1,…,k-2),其中i(A0)=p,i(Aj)＜p,或σp(Aj)＜σp(A0)(j=1,2,…,k-2),0＜p＜+∞.本文研究微分方程f(k)+Ak-2f(k-2)+…+A0f=0(k≥2)解的辐角分布并得出零点聚值线和Borel方向之间的关系.所得结论推广了先前的结果.     

2003年“通讯杯”高中数学综合应用能力竞赛试题

(2 0 0 3年 4月 2 0日上午 8:30— 11:0 0 )　　一、选择题 :本大题共 6小题 ,每小题 5分 ,共 30分 .在每小题给出的四个选项中 ,有且仅有一个符合题目要求 .把你认为符合题目要求的选项的代表字母填在题后的黑方括号内 .填错、不填或填的代表字母超过一个 (不论是否写在黑方括号内 )均记 0分 .　　 1.据有关资料表明 ,世界人口由 1976年的 4 0亿增加到 1987年的 5 0亿 ,经历了 11年的时间 ,如果按此增长率增长 ,2 0 2 0年的世界人口数将最接近【　　】(A) 78亿 .　　　 (B) 88亿 .(C) 98亿 .　　　 (D) 10 8亿 .　　 2 .已知函数 f(x) =x…     

关于多元凸函数的Bernstein多项式逼近的阶

1.引言 用△_k是表示R~k中的单纯形:△_k={X=(x_1,x_2,…,x_k)∈R~k|x_i≥0,i=1,2,…,k;sum from i=1 to k(x_i)≤1};C(△_k)表示定义在△_k上的连续函数的全体.记||f||=||f||_(△_k):=sup|f(X)|,ω(f,t):=sup |f(X)-f(Y)|。连续函数ω(t),t∈[0,+∞)称为     

Asymptotic approximation with Kantorovich polynomial

We present the complete asymptotic expansion for the Kantorovich polyno-mials K_n as n→∞.The result is in a form convenient for applications.All coefficients of n~(-k)(k=1,2,…)are calculated explicitly in terms ofStifling numbers of the first and second kind.Moreover,we treat the simultaneous approximation with Kantorovich poly-nomials and determine the rate of convergence of d/(dx)K_n(f;x)-f'(x).     

ON THE PROBLEM OF BEST CONVERGENCE RATES OF DENSITY ESTIMATES

Let X_1,…,X_n be iid samples drawn from an m-dimensional population with a probabilitydensity f,belonging to the family C_(ka),i.e.the family of all densities whose partialderivatives of order k are bounded by a.It is desired to estimate the value of f at somepredetermined point a,for example a=0.Farrell obtained some results concerning the bestpossible convergence rates for all estimator sequence,from which it follows,for example,thatthere exists no estimator sequence{γ_n(0)=γ_n(X_1,…,X_n,0)}such that(?)E_f[γ_n(0)-f(0)]~2=o(n~(-2k/(2k m))).This article pursues this problem further and proves that there existsno estimator sequence{γ_n(0)}such thatn~(-k/(2k m))(γ_n(0)-f(0))(?)0,for each f∈C_(ka),where(?)denotes convergence in probability.     

新题征展(52)

A　题组新编1.(1)满足条件 { 1,2 } M { 1,2 ,3,4 ,5 }的集合 M共有个 ;(2 )满足条件 M∪ { a,b,c} ={ a,b,c,d,e}的集合 M共有个 ;(3) M { 1,2 ,3,4 ,5 } ,且满足条件 :若 a∈ M,则 6 - a∈ M,这样的非空集合 M共有个 ;(4 ) A∪ B ={ a,b}的集合 A、B共有对 ;(5 ) A∪ B ={ a,b,c}的集合 A、B共有对 .2 .(1)若 f (x) =x1 x,则 f(1) f(2 ) f(3) … f(2 0 0 4 ) f(12 ) f(13) f(14 ) … f(12 0 0 4 ) =;(2 )若 f(x) =x21 x2 ,则 f (1) f(2 ) f(3) … f(2 0 0 4 ) f(12 ) f(13) f(14 ) … f(12 0 0 4 ) =;(3)若 f(x…     

A Simple Proof for a Theorem of Kelisky and Rivlin

Theorem (Kelisky and Rivlin) Let f(x) be a function defined in [0,1] and B_n(f(x))=sum from k=o to n (f(k/s)(?)x~k(1-x)~(n-k)) be the nth Bernstein polynomial of f(x). Then lim B~l(f(x))=f(0)+(f(1)-f(0))x. Proof We can assume f(0)=0, Let φ_i(x) and ψ_i(x)(i=1,2,…,n) be Bernstein basis polynomials and Bezier basis polynomials respectively. Let n×n matrices     

平均每个人查血次数的最小值

文[1]从概率的角度给出“要查出n个人患某种病(假定每人患某种病的概率都是0.1)所需查血总次数最少的一种查血方案”,本文再给出“k个人一组查血时,平均每人查血次数的最小值.”文[1]的(1)式已得:k个人一组查血时,平均每个人查血的次数是ak=11-0.9k 1k(k=1)(k∈N,且k≥2)下面求ak的最小值.定义下文中记f(x)=1x 1x 1-ln109(x>0),g(x)=0.9xx(x 1)(x>0);引理1 1)当00,2)当x≥19时,f(x)<0.证因为f(x)是减函数,又f(18)=0.0028…,f(19)=-0.0027…,所以引理1成立.引理2 1)g(1)g(k 1)(k∈N,且k≥19).证…     

二阶非线性脉冲微分方程的振动性

考虑二阶脉冲微分方程(r(t)(x′(t))σ)′+f(t,x(t),x′(t))=0,t t0,t≠tk,k=1,2,…x(tk+)=gk(x(tk)),x′(tk+)=hk(x′(tk)),k=1,2,…(E)其中0 t0相似文献   

一道数学开放题

题目已知:两函数f(x)=kx b(k≠1)和g(x)=x,数列{xn}当n≥2时满足xn=f(xn-1),且x1=α.由此可得出哪些结论? 本题参考答案 (1)函数f(x)=kx b(k≠1)和g(x)=x的图象有交点(b/1-k,b/1-k); (2)数列{xn}满足递推式xn-kxn-1=b; (3)数列{xn}的通项公式是: (4)数列{xn}前n项和: (5)当-1相似文献   

关于线性算子的高阶饱和

设f(x)∈C_(2π)。而f(x)～sum from k=0 ( )A_k(f_1k)≡α_0/2 sum from k=1 ( )(α_kcoskx b_ksinkx)。 又设 U_n(f,x)=1/πintegral from -πto π(f(x t)u_n(t)dt,) 其中u_n(t)=1/2 sum from k=1ρ_k~(n)coskt满足条件: integral from 0 to k(|u_n(t)|dt=O(1),)ρ_k~(n)→1(n→∞;k=1,2,…,)。设m是正整数,ρ_0~(n)=1。记~mρ_k~(n)=sum form v=0 to ∞ ((-1)~(m~(-v))(m v)ρ_k v~(n) (k=0,1,…,)。)T.Nishishiraho考虑了在ρ_k~(n)=O(k>n)的情况下U_n(f,x)的饱和问题,证明了。 定理A 设{_n}是收敛于0的正数列,使得