用方程的观点求函数的值域

用方程的观点求函数的值域雷海勇（陕西麟游县中学７２１５００）定理已知函数ｙ＝ｆ（ｘ）（Ｘ∈Ａ）的值域为Ｃ，且关于Ｘ的方程ｆ（ｘ）－ｙ＝０在Ａ中至少有一解的ｙ的集合为Ｄ，那么Ｃ＝Ｄ．由证明较易，这里从略．此定理从根本上解释清了用判别式求函数值域出现问题...     

构造法在解题中的应用

一、引言在中专数学课本（第四册）求条件极值问题中，介绍了拉格朗日乘数法，即求函数ｕ＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）在条件φ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０下的极值．先通过构造函数Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋λφ（ｘ，ｙ，ｚ），这里λ为常数；通过对辅助函数Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）...     

关于条件极值的一个充分性条件

对于求多元函数的条件极值问题，有下面熟知的拉格朗日乘数法为了求函数ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）在附加条件φ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０下的极值，令Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋λφ（ｘ，ｙ，ｚ）则方程组Ｆｘ（ｘ，ｙ，ｚ）≡ｆｘ（ｘ，ｙ，ｚ）＋λφｘ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０...     

纠正一个概念错误

纠正一个概念错误毛晓峰（兰州铁路一中７３００００）笔者在两种数学刊物上分别看到了求反函数的两道例题．为了便于说明问题起见，现将题目和原解抄录如下：问题１已知ｆ（ｘ）＝２ｘ＋１，求ｆ（ｘ－１）的反函数．解令ｙ＝２ｘ＋１，得ｘ＝ｙ－１２∴ｆ－１（ｘ）＝１...     

与反函数有关的几个对称问题

由高中《代数》（上册）互为反函数的性质知：互为反函数的两个函数ｙ＝ｆ（ｘ）与ｙ＝ｆ－１（ｘ）的图象关于直线ｙ＝ｘ对称．那么函数ｙ＝ｆ（ｘ＋１）与函数ｙ＝ｆ－１（ｘ＋１）的图象是否也关于直线ｙ＝ｘ对称？它们之间到底有何关系？本文从函数图象入手,探讨与之有关的几个问题：定理１　若函数ｙ＝ｆ（ｘ）的反函数为ｙ＝ｆ－１（ｘ）,则函数ｙ＝ｆ（ｘ＋ｃ）（ｃ∈Ｒ）与ｙ＝ｆ－１（ｘ＋ｃ）的图象关于直线ｙ＝ｘ＋ｃ对称．证明　设Ｐ（ａ,ｂ）是函数ｙ＝ｆ（ｘ＋ｃ）上任意一点,则　　　　　　ｂ＝ｆ（ａ＋ｃ）①而点Ｐ（ａ…     

巧用函数单调性解赛题

函数ｆ（ｘ）在区间［ａ,ｂ］上单调增加（或单调减少）,又ｃ、ｄ∈［ａ,ｂ］上,若ｆ（ｃ）＝ｆ（ａ）,则有ｃ＝ｄ．１　求代数式的值例１　已知ｘ、ｙ∈［－π４,π４］,ａ∈Ｒ,且　ｘ３＋ｓｉｎｘ－２ａ＝０４ｙ３＋ｓｉｎｙｃｏｓｙ＋ａ＝０则ｃｏｓ（ｘ＋２ｙ）＝　　．（１９９４年全国高中数学竞赛题）解　由已知条件,可得　　ｘ３＋ｓｉｎｘ＝２ａ（－２ｙ）３＋ｓｉｎ（－２ｙ）＝２ａ故可设函数ｆ（ｔ）＝ｔ３＋ｓｉｎｔ,则有ｆ（ｘ）＝ｆ（－２ｙ）＝２ａ．由于函数ｆ（ｔ）＝ｔ３＋ｓｉｎｔ,在［－π２,π２］上是单…     

解析式“恒等”质疑

解析式“恒等”质疑陈重穆（重庆西南师大６３０７１５）一般初等数学及中学数学教材教法书上对解析式恒等的定义为：设ｆ，ｇ是两个解析式．如果对ｆ，ｇ定义域的公部内每一点ｘ＝（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ），均有ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ），则称ｆ与ｇ恒等，可记为ｆ≡ｇ．解析...     

具有某种对称性的两个函数的性质

具有某种对称性的两个函数的性质卜以军（江苏省建湖县钟庄中学２２４７４１）设有两个函数ｙ＝ｆ（ｘ）和ｙ＝ｇ（ｘ），它们的定义域都是实数集Ｒ．则有：１若函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象与函数ｙ＝ｇ（ｘ）的图象既关于ｘ轴对称，又关于ｙ轴对称，则函数ｙ＝ｆ（ｘ）和ｙ＝...     

世界各地数学奥林匹克试题摘编

１．ｐ，ｑ是正整数，ｆ是正实数集合到正实数集的一个映射，使得对于任意的正实数ｘ，ｙ，有ｆ（ｘｆ（ｙ））＝ｘｐｙｑ①求证：ｑ＝ｐ２．证取ｘ＝１ｙ，代入①得ｆ（ｙ）＝ｙｑｐ（ｆ（１））１ｐ②再取ｙ＝１，代入②得ｆ（１）＝１，由②得ｆ（ｙ）＝ｙｑｐ③∴ｆ（...     

自反函数初探

本文探讨反函数为其自身的函数的特征与构造．１定义：定义域为Ａ的函数ｙ＝ｆ（ｘ）存在反函数ｙ＝ｆ－１（ｘ）,若对任意ｘ∈Ａ,恒有ｆ（ｘ）＝ｆ－１（ｘ）,则称函数ｙ＝ｆ（ｘ）为自反函数．显然,自反函数的定义域与值域相等．２特征定理１：若函数ｙ＝ｆ（ｘ）在...     

抽象函数关系给出的对称性与周期性

命题１设函数ｙ＝ｆ（ｘ）的定义域为Ｒ,且满足条件ｆ（ａ＋ｘ）＝ｆ（ｂ－ｘ）,则函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象关于直线ｘ＝ａ＋ｂ２成轴对称．证明设函数ｙ＝ｆ（ｘ）图象上任一点为Ｐ′（ｘ′,ｙ′）,它关于直线ｘ＝ａ＋ｂ２的对称点为Ｐ（ｘ,ｙ）,则ｘ＝ａ＋ｂ－ｘ′...     

求函数f(x)周期的几种常见方法

求函数ｆ（ｘ）周期的几种常见方法邓光发（四川开江普安中学６３６２５１）函数的周期性是函数的一个重要性质．对一般函数ｆ（ｘ）的周期，不少中学生往往不知从何入手去求．为了加深对函数ｆ（ｘ）周期概念的理解，本文以实例来说明求函数ｆ（ｘ）周期的几种常见方法，...     

2001年普通高等学校春季招生考试(北京、内蒙古、安徽卷) 数学(理工农医类)试题及参考解答

一、选择题：本大题共１２小题,每小题５分,共６０分．在每小题给出的４个选项中,只有ｌ项是符合题目要求的． （１）集合Ｍ＝｛１,２,３,４,５｝的子集个数是（　）． （Ａ）３２（Ｂ）３１（Ｃ）１６（Ｄ）１５ （２）函数ｆ（ｘ）＝ａｘ（ａ＞０且ａ≠１）对于任意的实数ｘ,ｙ都有（　）． （Ａ）ｆ（ｘｙ）＝ｆ（ｘ）ｆ（ｙ） （Ｂ）ｆ（ｘｙ）＝ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ） （Ｃ）ｆ（ｘ＋ｙ＝ｆ（ｘ）ｆ（ｙ） （Ｄ）ｆ（ｘ＋ｙ）＝ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ） 辽ｄ）１１】日ｔｒｗ Ｍ 区） ”“’“““““厂用十１””’ Ｑ————丸Ｊ２…     

复合函数的性质及应用

复合函数这一概念,现行高中课本未直接定义．而复合函数的应用实例,在现行高中课本《代数》上册（以下简称课本）中大量出现．如　ｙ＝ｌｏｇ０．５（４ｘ－３）（课本Ｐ１００）;ｙ＝１６－５ｘ－ｘ２（课本Ｐ１０８）;ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）（课本Ｐ１７８）;ｙ＝ｓｉｎ（ａｒｃｓｉｎｘ）（课本Ｐ３００）．在全国高考数学试题中,复合函数的应用问题成为命题热点．本文试对复合命题的性质作点介绍．设ｙ＝ｆ（ｕ）,ｕ＝ｇ（ｘ）,则ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］为复合函数．根据函数单调性的定义,容易得出下列结论．（１）若ｙ＝ｆ（ｕ…     

The Coset Group and Com ove Group

§１．　ＢａｓｉｃＤｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓＬｅｔＸａｎｄＹｂｅｓｅｔｓ，ｆｏｒａｇｉｖｉｎｇｍａｐｐｉｎｇｆ：Ｘ→Ｙ，ｘ｜→ｙ＝ｆ（ｘ），ａｍａｐｐｉｎｇｆｏｎｐｏｗｅｒｓｅｔｃａｎｂｅｃｏｎｄｕｃｔｅｄｂｙｆ：ｆ：Ｐ（Ｘ）→Ｐ（Ｙ），Ａ｜→Ｂ＝ｆ（Ａ）＝｛ｙ｜ｘ∈Ａ，ｙ＝ｆ（ｘ）｝．　　Ｎｏｔｅｔｈａｔａｂｉｎａｒｙｏｐｅｒａｔｉｏｎｉｓａｓｐｅｃｉａｌｍａｐｐｉｎｇｏｎｓｅｔｓ．ＧｉｖｅｎａｂｉｎａｒｙｏｐｅｒａｔｉｏｎｏｎｓｅｔＸｓｕｃｈｔｈａｔ：：Ｘ×Ｘ→Ｘ，　（ｘ，ｙ）｜→ｘ…     

ON THE COEFFICIENTS APPEARING IN THE EXPANSION OF MELNIKOV FUNCTIONS IN HOMOCLINIC BIFURCATIONS

Ｃｏｎｓｉｄｅｒａｐｌａｎａｒｐｅｒｔｕｒｂｅｄｓｙｓｔｅｍｏｆｔｈｅｆｏｒｍｘ＝Ｈｙ＋εｆ（ｘ，ｙ），ｙ＝－Ｈｘ＋εｇ（ｘ，ｙ）（１）ｗｈｅｒｅＨ，ｆ，ｇａｒｅｆｕｎｃｔｉｏｎｓｏｆｃｌａｓＣ∞．Ａｓｕｍｅｆｏｒε＝０（１）ｔｏｈａｖｅａｈｏｍｏｃ...     

用微积分分解二次六项式

在中学数学中,经常会碰到形如Ａｘ２＋２Ｂｘｙ＋Ｃｙ２＋２Ｄｘ＋２Ｅｙ＋Ｆ（Ａ、Ｃ不全为零）的因式分解,我们称之为二次六项式的因式分解;方法较多,常用的有双十字相乘法,但需要一些技巧,学生掌握起来有一定的困难;本文用微积分的方法给出二次六项式可分解的一个判别条件,并得到一种较简单的分解方法;设　ｆ（ｘ）＝Ａｘ２＋２Ｂｘｙ＋Ｃｙ２＋２Ｄｘ＋２Ｅｙ＋Ｆ（其中Ａ≠０）,则　ｆ′（ｘ）＝２Ａｘ＋２Ｂｙ＋２Ｄ＝２Ａ（ｘ＋Ｂｙ＋ＤＡ）,两边求积分,得ｆ（ｘ）＝∫ｆ′（ｘ）ｄｘ＝Ａ（ｘ＋Ｂｙ＋ＤＡ）２＋Ｍ（常数…     

一类非线性积分方程正解的存在唯一性

本文研究积分方程ｕ（ｘ）＝λ∫_Ωｋ（ｘ，ｙ）ｆ（ｙ，ｕ（ｙ））ｄｙ，λ＞０及其它的非线性摄动ｕ（ｘ）＝λ∫_Ωｋ（ｘ，ｙ）ｆ（ｙ，ｕ（ｙ））ｄｙ＋Ｇ（ｕ（ｘ）），在ｋ（ｘ，ｙ）非负可测，ｆ（ｘ，ｕ），Ｇ（ｕ）满足一定条件下，得到所述方程解的存在唯一性及其迭代逼近．     

被开方数高于一次的函数极值的几何求法

１９９９年第３期《中学数学》刊登了陈宽国老师的文章“函数ｆ（ｘ）＝Ａａ１ｘ＋ｂ１＋Ｂａ２ｘ＋ｂ２的值域的几何求法”，读后颇有启发．并且马上产生了写作此文的想法，聊以助兴．例１　求函数ｆ（ｘ）＝ｘ２＋４＋ｘ２－１０ｘ＋３４的最小值．解析１　用立体几何知识．函数可化为ｆ（ｘ）＝ｘ２＋２２＋（５－ｘ）２＋３２．构造如图１所示的长方体，其三度长分别为２、３、５，设ＢＥ＝ｘ，则　ＡＥ＝ｘ２＋２２，ＥＣ′＝（５－ｘ）２＋３２，∴　ｆ（ｘ）＝ＡＥ＋ＥＣ′．这样，原题就化归为在棱ＢＢ′上找一点Ｅ′，使折线ＡＥ′…     

Existence and Uniqueness of Limit Cycles for a Polynomial System

§１．ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎＦｏｒｔｈｅｆｏｌｏｗｉｎｇｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓｙｓｔｅｍｏｆｄｅｇｒｅｅｍ：ｄｘｄｔ＝ｆ１（ｘ,ｙ）,ｄｙｄｔ＝ｆ２（ｘ,ｙ）,（Ｅ）ｗｈｅｒｅｆ１（ｘ,ｙ）ａｎｄｆ２（ｘ,ｙ）ａｒｅｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓｉｎｘａｎ...