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题目:设数列{an}的首项a_1∈(0,1),a_n=(3-a_(n-1))/2,n=2,3,4,….(Ⅰ)求{a_n}的通项公式;(Ⅱ)设bn=an.3-2an,证明bn相似文献
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问题问题97数列{an}中,a1=2,2an=an-1 an1-1(n≥2),求an.解由特征方程2x=x 1x得x=±1.∴2(an-1)=an-1 a1n-1-2=(ana-n1--11)2(1)2(an 1)=an-1 a1n-1 2=(ana-n1- 11)2(2)由((21))得aann -11=(aann--11 -11)2=[(aann--22- 11)2]2n-1=(aann--22 -11)4=…=(aa11- 11)2n-1.∵a1=2,∴aann- 11=(13)2n-1,即an=21-3-2n-1-1.上面解法是找特征根后,通过化简变形后得出规律的.但递推式变为:3an=an-1 an1-1(n≥2)后,用上面方法失效.我也曾试过好多种方法均告失败.请同行们参与讨论:“已知数列{an}中,a1=2,3an=an-1 an1-1(n≥2),求an”问题.an怎样求呢?是… 相似文献
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题143设函数f(x)=x x2-a2(a>0).1)求f(x)的反函数f-1(x)及定义域;2)若数列{an}满足a1=3a,an 1=f-1(an),设bn=an-aan a,Sn表示{bn}的前n项和,试比较Sn与78的大小.解1)由f(x)=x x2-a2(a>0)得x=y2 a22y,∵y=x x2-a2(a>0),∴x2-a2=y-x=y-y2 a22y=(y a)(y-a)2y≥0,∴-a≤y<0或y≥a.∴f-1(x)=x2 a22x(-a≤x<0或x≥a)2)∵an 1=f-1(an)=an2 a22an,∴bn 1=an 1-aan 1 a=an2 a22an-a an2 a22an a=an-a an a2=bn2.∵a1=3a,∴b1=a1-aa1 a=12.∴bn=(bn-1)2=(bn-2)22=…=(12)2n-1.∴Sn=b1 b2 b3 … bn=12 (12)2 (12)22 … (12)2n-1.∵2n-1=C0n-1 C1n-1 … 相似文献
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先分析两个递推式:(1)Sn=an bn=(a b)Sn-1-abSn-2;(2)Sn=an bn cn=(a b c)Sn-1-(ab bc ca)Sn-2 abcSn-3.将(1)变形为Sn-(a b)Sn-1 abSn-2=0,则发现其系数与方程x2-(a b)x ab=0的系数相同,而方程的两根就是a,b.(2)也有同样的情形,是巧合还是必然结果呢?再经过归纳发现这么一个事实,即定理若数列{an}的通项公式an=c11λn c2λ2n … ckλkn,且1λ,λ2,…,kλ是方程xk B1xk-1 B2xk-2 … Bk=0(Bk≠0)不相等的根,则数列{an}有递推式an B1an-1 B2an-2 … Bkan-k=0(n>k),其中B1,B2,…,Bk由初始条件或韦达定理确定.证因为λ1,2λ,…,kλ是方… 相似文献
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在求数列极限时 ,我们经常遇到求limn→∞ Sn 问题 ,灵活把握住以下两点将能快速求解 ,下面结合高考题加以说明 .1 不必求Sn对于所给数列是无穷等比递缩数列 (即公比q≠ 0 ,且 |q|<1) ,可以不必先求Sn,直接利用公式limn→∞ Sn=S =a11-q简捷解决 .例 1 (2 0 0 3年北京高考题 )若数列 {an}的通项公式为an=3-n+2 -n+(- 1) n(3-n- 2 -n)2 ,n =1,2 ,… ,则limn→∞(a1+a2 +a3 +… +an)等于 ( )(A) 112 4 . (B) 172 4 . (C) 192 4 . (D) 2 52 4 .解 (不必先求Sn)原通项公式可以改写为an=12n,n为奇数 ,13n,n为偶数 ,于是… 相似文献
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人教社2005年1月出版的普通高中课程标准实验教科书《数学》必修5A版P39B组第4题:已知数列{an}中,a1=5,a2=2,an=2an-1 3an-2(n≥3),对于这个数列的通项公式作一研究,能否写出它的通项公式?教参中给出的解答有两个缺陷,1)解法上的缺陷,对和式31-32 33-…-3n-3 3n-2分组变为(31 3 相似文献
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原题(人教A版必修5 P44例3)
已知数列{an}的前n项和Sn=n2+1/2n,求数列的通项公式an.
解:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+1/2n)-[(n-1) 2+1/2(n-1)]=2n-1/2.
当n-1时,a1=S1=3/2,也适合an=2n-1/2,
所以an=2n-1/2.
分析:(1)教材目的是把握an与Sn的关系,学会通过S推导通项公式an={S1,n=1,Sn-Sn-1,n≥2. 相似文献
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《中学数学》2005,(Z1)
1.(辽宁卷,19)已知函数f(x)=x 3x 1(x≠-1).设数列{an}满足a1=1,an 1=f(an),数列{bn}满足bn=an-3,Sn=b1 b2 … bn(n∈N*).()用数学归纳法证明bn≤(32n--11)n;()证明Sn<233.2.(江西卷,21)已知数列{an}的各项都是正数,且满足:a0=1,an 1=21an(4-an),n∈N.(1)证明an相似文献
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A 题组新编1 .已知曲线 C:xy - 2 kx k2 =0与直线 l:x - y 8=0有唯一的公共点 ,而数列{an}的首项 a1=2 k,点 ( an- 1,an)恒在曲线上( n≥ 2 ) ,数列 {bn}满足关系 bn =1an - 2 .( 1 )问数列 {bn}是等差数列吗 ?( 2 )求数列 {an}的通项公式 .2 .已知二次函数 f ( x) =ax2 bx c有f ( 0 ) =3,且直线 y =5x 1与 f( x)的图像相切于点 ( 2 ,1 1 ) .( 1 )求函数 f ( x)的解析式 ;( 2 )若 f( n)为数列 {an}的前 n项和 ,求数列 {an}的通项公式 ;( 3)求limn→∞ ( 1a2 a3 1a3a4 1a4 a5 … 1an- 1an) .B 藏题新掘3.在边长为 1的正△ … 相似文献
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《一道课本习题的变式教学》一文的一点补充 总被引:2,自引:2,他引:0
文[1]例谈了an=pan-1 f(n)型数列的通项求法,让笔者受益匪浅.但文[1]中变题2,3,4,7最后在方法点评上似有不妥,今冒昧提出,与大家讨论.我们先看变题2:已知数列{an}中,a1=21,an=4an-1-3n-1,求an.解将递推式变为an λ·3n=4(an-1 λ·3n-1),即an=4an-1 λ·3n-1.所以λ=-1.则an-3n 相似文献
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我们知道数列可看作是定义在自然数集或它的子集上的函数 ,而函数学习中要注意它的定义域 ,因此学习数列中也应当注意它的定义域 ,即项数 n的起始问题 .在教学中许多学生不注意这个问题导致出现错误 .例 已知数列 { an}中 ,a1 =1,前 n项的和为 Sn,对任意的自然数 n≥ 2 ,an是 3Sn- 4与 2 - 32 Sn-1 的等差中项 .(1)求通项 an;(2 )计算 limn→∞ Sn.错解 (1)由题意得2 an =(3Sn - 4) (2 - 32 Sn-1 ) (n≥ 2 ) ,即 2 an =3Sn - 32 Sn-1 - 2 (n≥ 2 ) 1故 2 an-1 =3Sn-1 - 32 Sn-2 - 2 (n≥ 2 )2又 ∵ an =Sn - Sn-1 由 … 相似文献
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20 0 0年 1月号问题解答(解答由问题提供人给出 )12 3 1.试确定实数 a0 ,使得由递推公式 an 1 =-3 an 2 n( n=0 ,1,2 ,… )决定的数列 {an}为严格递增 .解 将递推公式 an 1 =-3 an 2 n改写为( an 1 -2 n 15 ) =-3 ( an-2 n5 ) .记 bn=an-2 n5 ( n≥ ) 0 ,上式变为bn 1 =-3 bn.于是 bn=( -3 ) nb0 ,从而得出 :an=( a0 -15 ) ( -3 ) n 2 n5 ( n=0 ,1,2 ,… ) 1再将 1变形为an=( -3 ) n〔( a0 -15 ) ( -23 ) n· 15 〕.注意到 limn→∞ ( -23 ) n=0 ,因此若 a0 -15 ≠ 0 ,则上式括号内的数与 ( a0 -15 )同号 (当 n充分大时 ) ,… 相似文献
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2011年广东普通高考文科、理科考的数列综合题如下.例1 (文科)设b>0,数列{an}满足a1=b,an=nban-1/an-1+n-1(n≥2),(1)求数列:{an}的通项公式;(2)证明:对于一切正整数n,2an≤bn+1+1. 相似文献
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2011年广东高考数学第20题第(1)问是:设b〉0,数列{an}满足a1=b,an=(nan-1)/(an-1+2n-1)(n≥2),求数列{an}的通项公式.看到这个问题,使我们想起了2006年江西高考22题第(1)问:已知数列{an}满足:a1=32,且an=(3nan-1)/(2an-1+n-1)(n≥2,n∈... 相似文献