正三角形和正四面体的优美定值

用解析法可以得到正三角形的一个优美定值如下： 定理1 若正三角形的边长为a，以其中心为圆心的圆半径为r．则该圆上任意一点与该正三角形各顶点连线段长度的平方和及四次方和均是定值．     

正三角形和正四面体的优美定值

用解析法可以得到正三角形的一个优美定值如下:定理1若正三角形的边长为a,以其中心为圆心的圆半径为r,则该圆上任意一点与该正三角形各顶点连线段长度的平方和及四次方和均是定值.证明设正△ABC的中心为O,由正三角形的性质,以O为原点,以OA为y轴,如图建立平面直角坐标系,则A(0,33a),特别地,若此圆为正三角形的外接圆,则r=33a;若此圆为正三角形的内切圆,则r=63a,因此有:推论1.1若正三角形ABC的边长为a,P是其处接圆上任意一点,则PA2 PB2 PC2=2a2,PA4 PB4 PC4=2a4.推论1.2若正三角形ABC的边长为a,P是其内切圆上任意一点,则PA2 PB2 …     

请不要轻信你的猜想

我们来研究一个简单有趣的极限问题: 有一个半径为1的圆c(见图1),在圆c内作一个内接正三角形及这个三角形的内切圆c3,再在c3内作一个内接正四边形及这个内接     

椭圆内接n边形最大面积的探求

如何求内接于椭圆的n边形的最大面积? 这个求最大值问题中,没有对n边形的边或内角加以任何限制,因此无法确定取最大面积的 n边形的特征,解题难以入手.但我们知道,圆的内接三角形中,正三角形的面积最大.本文就以此结论为基础,光由圆引申到椭圆,再由三角形弓呻到多边形,求出答案. 1.圆内接三角形的最大面积 圆内接三角形中以正三角形的面积最大     

正方形的内接正三角形

如果一个三角形(正三角形)的三个顶点都落在一个正方形的边上,则称这个三角形为该正方形的内接三角形(内接正三角形).当该内接正三角形的面积最大时,称最大内接正三角形;当该内接正三角形的面积最小时,称最小内接正三角形.     

正方形内接最大和最小正三角形

<正>0引言如果一个三角形(正三角形)的三个顶点都落在一个正方形的边上,则称这个三角形为该正方形的内接三角形(内接正三角形).由于正三角形的边长平方与面积的大小成正比,可以通过比较正三角形的边长来比较面积的大小,也可称面积最大(小)的正三角形为最大(小)的正三角形.文[1]首先给出正方形内接正三角形尺规作图的一般作法,然后用代数的方法探讨其内接正三角形的面积最值,最后巧妙作出正方形的最大和最小内接正三角形.本     

一个数学问题的再探讨

命题若复数z_1,z_2,z_3满足z_1+z_2+z_3=0,|z_1|=|z_2|=|z_3|=1,则复平面内以z_1,z_2,z_3所对应的点为顶点的三角形是内接于单位圆的正三角形。文[1]的作者给出了该命题的一种证法。并探讨了该命题的逆命题。若复平面内以模为1的复数z_1,z_2,z_3所对应的点为顶点的三角形是正三角形,则z_1+z_2+z_3=0。容易证明此命题也正确(略)。作者还对该命题进行了推广,笔者读后受益非浅。本文将进一步探讨以上两个命题在解题中的应用。下面以例示明。例1 (1986年苏州市数学竞赛题) 已知复数z满足|z|=1,z~(11)+z=1,求z。解∵ |z|=1, ∴|z~(11)|=|z|=|-1|=1 又z~(11)+z+(-1)=0 ∴z~(11),z,-1所对应的三点构成一个正三角形。故z=(-1)(cos120°±sin120°)=(1/2)±3~(1/2)/2i 例2 (1987年第二届全国高中数学冬令营赛题)     

虚数ω与正三角形

虚数ω与正三角形刘亚聆金伟明（江苏昆山一中２１５３００）由于虚数ω＝－１２＋３２ｉ＝ｃｏｓ１２０°＋ｉｓｉｎ１２０°所代表的点在单位圆中的特殊位置使许多与正三角形有关的习题均可借助于ω来解决．１三个复数０，ω，－１和０，ω，－１所表示的三点成正三角形...     

单位圆内接正三角形顶点坐标的一个性质

设A,B,C为单位圆x2＋y2=1上的三个点,且△ABC为正三角形,则可设A,B,C的坐标分别为A（cosα,sinα）,B（cosβ,sinβ）,C（cosγ,sinγ）．若k为整数则有如下结论：     

正三角形综合练习(上)

<正>三条边长相等的三角形叫做等边三角形,也叫做正三角形.正三角形每个内角都等于60°.正三角形是特殊的等腰三角形,它有三条对称轴.它的内心、外心、重心、垂心是同一点,叫做正三角形的中心.正三角形的性质极为丰富,因此在几何练习题中经常出现.注意:等腰三角形中有一个内角为60°,这个三角形是正三角形.例1 P为正三角形ABC内任一点,则P点到正三角形三边距离的和等于定值     

从圆内接三角形面积想到的

首先证明了正三角形的外接椭圆中面积最小的是一个圆.进而用初等方法证明了二维情形的F.John定理.     

请不要轻信你的眼睛

我们来研究一个简单而有趣的极限问题 :有一个半径为 1的圆Ｃ(见图1 ) ,在圆Ｃ内作一个内接正三角形及这个三角形的内切圆Ｃ3 ,再在圆Ｃ3 内作一个内接正四边形及这个内接正四边形的内切圆Ｃ4,又在圆Ｃ4内作一个内接正五边形及这个内接正五边形的内接圆Ｃ5 ,……一直进行下去 ,所有内切圆的半径是否趋向于 0 ?如果只凭直觉及简单的推理 ,会认为“半径趋向于 0” ,因为圆的半径在不断地减小 .下面我们将证明 ,半径不会趋于 0 !图 2　半径ｒｎ 与ｒｎ -1的关系由图 2可以看出 ,圆Ｃｎ 的半径ｒｎ 是圆心到圆Ｃｎ -1的内接正ｎ边形的边心距 ,所…     

有趣的向量旋转角度的计算

问题如图1，小正三角形沿着大正三角形的边，按逆时针方向无滑动地滚动．小正三角形的边长是大正三角形边长的一半，如果小正三角形沿着大正三角形的边滚动一周后返回出发时的位置，     

运用“类比推理”应注意的三个问题——由圆和球中有关极值问题想到

在由平面几何中的圆内接三角形以正三角形的面积为最大;圆内接四边形以正方形的面积为最大这两个最简单、最基本的极值问题,运用“类比推理”提出一系列立体几何中的命题和问题时,感到需要注意三个问题:第一,“类比推理”只具有某种相似性;第二,运用“类比推理”提出     

构造正三角形证题的一个契机

当我们看到一条弦长等于圆的半径,我们就知道它所对的圆周角有一个等于30°;当我们看到正三角形和它一边上的中线,我们就知道这条中线分顶角为两个30°.反过来,当题目给出30°的角的时候,我们能否在头脑中“无中生有”地想到它所对的弦或它所在的正三角形呢?这可能就是我们构造     

科克岛——分形几何

先看下面有趣的科克岛问题:一艘太空船飞向地球.第一次观测时,发现一个正三角形的岛屿(边长为1);第二次观测时,发现岛屿并非正三角形,而是每边中央的三分之一段处有向外突出的小正三角形岬角;第三次观测时,原先六角星的每一小边的中央三分之一段处仍有向外突起的更小的三角形岬角(如图).若将该过程无限继续下去,就得到著名的一个数学模型——科克岛问题.     

证明·猜想·反驳——对一个数学问题的探索

在文献[1]中第100页有这样一个问题: 若复数z_1,z_2,z_3满足z_1 z_2 z-3=0,|z_1|=|z_2|=|z_3|=1,则复平面内以z_1,z_2,z_3所对应的点为顶点的三角形是内接于单位圆的正三角形。作者给出了一种证法。我们学习数学,在解决了一个数学问题之后,如果我们能继续对该问题的方方面面作进一步的探索,那么,我们就有可能得出更多、更漂亮的结果。从复数的三角表示着手,我们可得证法:依题意可     

一个几何概率试题的题源探究

1 题目 (2009年福建文)点A为周长等于3的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取一点B,则劣弧AB的长度小于1的概率为___. 解,另一端点B只能在优弧上运动,故所求概率P=B1B2优弧长/圆周长=2/3. 2 题源 2.1 源于历史名题 初看这题以为是数学史上一个经典的悖论--贝特朗悖论,其实这是一个根据贝特朗悖论改编的题目.贝特朗悖论:"在半径为1的圆周上任取两点,连成一条弦,问弦长超过其内接正三角形的边长的概率是多少?"     

智慧窗

<正>1迎接2022年请使用一位正整数把汉字替换下来,使得45个正整数的平方和为2022.(黑龙江省绥化市教育学院(152002)田永海)2三个正三角形如图是三个正三角形,分别以各边为一边作正方形,九个正方形的面积之和为2022,问图中的正三角形的边长各是多少?     

三角形内接正三角形的个数问题

文 [1 ]中研究了三角形内接正三角形的存在性问题 ,得到结论 :任意三角形至少存在一个内接正三角形 .同时指出 :关于三角形内接正三角形的个数问题 ,有待进一步研究 .本文就此问题做一些探讨 .图 1　内接正三角形图如图 1 ,在△ＡＢＣ中 ,设Ａ≥Ｂ≥Ｃ ,ＢＣ =ａ ,ＣＡ =ｂ ,ＡＢ =ｃ,△ＰＱＲ为它的一个内接正三角形 ,其边长为ｍ ,∠ＡＲＱ =α ,∠ＡＱＲ =β,ＡＲ =ｘｃ ( 0 <ｘ<1 ) ,ＡＱ =ｙｂ ( 0 <ｙ <1 ) .在△ＡＲＱ中 ,由正弦理有 :ＱＲｓｉｎＡ=ＡＱｓｉｎα=ＡＲｓｉｎβ,∴ｍｓｉｎα =ｙｂｓｉｎＡ ,ｍｓｉｎβ =ｘｃｓｉｎＡ …