关于球面上极小子流形的内蕴刚性

本文给出球面上紧致极小子流形的某些内蕴刚性定理,特别对较高余维数的子流形,Simons的Pinching常数被改进了。     

球面子流形的几个整体Pinching定理

本文证明了球面的紧致极小子流形和具有平行平均曲率向量的紧致子流形的几个整体Pinching定理.     

关于球面的紧子流形

本文讨论单位球面的紧致子流形的Pinching问题.改进了S.T.Yan与莫小欢有关球面中具有平行平均曲率的紧致子流形的Pinching常数及S.S.Chern等与沈一兵有关紧致极小子流形的Pinching常数.对截曲率的情形,本文还改进了沈一兵有关截曲率的Pinching常数.     

等参函数及相关问题研究

著名的Yau 猜想断言单位球面中的紧致嵌入极小超曲面的Laplace 算子的第一特征值等于其维数. 近年来有许多几何学家致力于对Yau 猜想的研究, 但是到目前为止, 已有的结论只是一些关于第一特征值估计的不等式. 作为本文的一个主要结果, 本文证明了对于单位球面中的等参极小超曲面,Yau 猜想是正确的. 进一步地, 对于等参超曲面的焦流形(实际上是球面的极小子流形), 本文还证明了在一定维数条件下, 它的第一特征值也是其维数.
作为本文的第二个主要结果, 以著名的Schoen-Yau-Gromov-Lawson 的关于数量曲率的手术理论为出发点, 本文在一个Riemann 流形的嵌入超曲面处作手术, 构造了一个新的具有丰富几何性质的流形, 称为double 流形. 特别地, 本文在单位球面的极小等参超曲面处实行了这一手术, 发现得到的double 流形不仅有很复杂的拓扑(但其示性类有精确描述), 还存在数量曲率为正的度量, 更重要的是保持了等参叶状结构.
比Willmore 曲面更广泛的定义是Willmore 子流形, 即Willmore 泛函在球面中的的极值子流形.单位球面中的Willmore 子流形的例子在已有文献中是非常罕见的. 作为本文的另外两个主要结果, 通过深入挖掘单位球面上的OT-FKM- 型等参函数的焦流形的性质, 本文发现其极大值对应的焦流形是单位球面的一系列Willmore 子流形; 之后, 本文用几何办法统一证明了单位球面中具有4 个不同主曲率的等参超曲面的焦流形都是单位球面的Willmore 子流形. 这些新的Willmore 子流形是极小的,但一般不是Einstein 的.     

关于极小和Kaehler子流形的特征值不等式

本文利用A.Ros的想法,给出了球面中紧致极小子流形的Laplacian特征值的某些新不等式,它们只与子流形的内蕴几何量有关.对于复射影空间的紧致Kaehler子流形,也有类似的结果.     

关于S^n＋p和CP^n＋p中的极小子流形

本文改进了分别由Ｓ．Ｔ．Ｙａｕ，Ａ．Ｒｏｓ及沈一兵给出的关于单位球面Ｓｎ＋ｐ的极小流形和复射影空间ＣＰ＾ｎ＋ｐ的Ｋａｅｈｌｅｒ子流形及全实极小子流形的截面曲率的Ｐｉｎｃｈｉｎｇ常数。     

S^n上具有极小高斯象的子流形

本文证明对于标准球面 S~(n+p)中的子流形 M~n 当 n=n 或 p=1时,其高斯象是Grassmanniam G(n+1,p)中的极小流形当且仅当 tr_Gh=0,即曲面的二次基本形式关于Grassmanniam 子流形度量之迹为零。     

Simons型Pinching常数和等距浸入问题

丘成桐对球面中具有平行平均曲率的子流形证明了一个Simons型Pinching定理,本文将此定理中的Pinchng常数改进到其次,文[1]在维数n与余维数p满足n>2~p的假定下,将Hilbert-Efimov定理推广到维数较高的情形。我们将这一结果继续推广到n>2p的情形。     

双曲空间极小子流形的唯一性

设Ｍ是ｎ维双曲空间Ｈｎ的一个ｋ维的逆紧浸入完备极小子流形，如果Ｍ的渐近边界是一个ｋ－１维球面，则Ｍ是一个ｋ维的全测地子流形．     

单位球面的三维紧致极小子流形

本文得到高维球面上三维紧致极小子流形的若干刚性定理．在一个整体拚挤条件下，数量曲率的拚挤常数被改进了，也对李奇曲率的拚挤问题进行了讨论．     

关于四元射影空间的一般极小子流形

本文研究四元射影空间的一般极小子流形,建立了一个积分公式,并且用此公式得到了紧致一般极小子流形的截曲率的Ｐｉｎｃｈｉｎｇ结果．     

Conormal bundles with vanishing Maslov form

IfM is a Riemannian manifold, andL is a Lagrangian submanifold ofT ^* M, the Maslov class ofL has a canonical representative 1-form which we call theMaslov form ofL. We prove that ifL =v ^* N = conormal bundle of a submanifoldN ofM, its Maslov form vanishes iffN is a minimal submanifold. Particularly, ifM is locally flatv ^* N is a minimal Lagrangian submanifold ofT ^* M iffN is a minimal submanifold ofM. This strengthens a result of Harvey and Lawson [H L].     

Enlarging totally geodesic submanifolds of symmetric spaces to minimal submanifolds of one dimension higher

We show that a totally geodesic submanifold of a symmetric space satisfying certain conditions admits an extension to a minimal submanifold of dimension one higher, and we apply this result to construct new examples of complete embedded minimal submanifolds in simply connected noncompact globally symmetric spaces.

     

将闭Riemann子流形保角变形成极小子流形

在本文中，通过外围空间的适当保角变形，我们证明了，每个Riemann子流形可以被认作一个极小子流形，我们还研究了这样得到的子流形的稳定性，定理2和3推广了Schoen和S．TYan[2]的结论．     

Some results on the occurrence of compact minimal submanifolds

Varying the situation considered in Myers theorem, we show, via standard index form techniques, that a complete Riemannian manifold which admits a compact minimal submanifold is necessarily compact, provided a suitable curvature object is positive on the average along the geodesies issuing orthogonally from the minimal submanifold. By slightly recasting this result, one establishes the nonexistence of compact minimal submanifolds (in particular, closed geodesies) in complete noncompact manifolds which obey an appropriate curvature condition. A generalization of a result of Tipler concerning the occurrence of zeros of solutions to the scalar Jacobi equation is also obtained.     

Closest point of the cut locus to submanifold

This paper deals with some of the matching and non-matching properties of two minimal geodesics from a cut point, which is not a focal point, to the points of the submanifold. Closest cut point to the submanifold has been obtained under some additional assumptions.     

极小子流形上Laplace算子的谱

本文讨论了Ｓ^ｎ＋ｐ（１）（或ＣＰ^ｎ＋1）中极小子流形上Ｌａｐｌａｃｅ算子的谱，证明了Ｓ^ｎ＋ｐ（１）中全测地极小子流形（或ＣＰ^ｎ＋1中Ｋａｃｈｌｅｒ超曲面）是由作用在ｑ-形式上的Ｌａｐｌａｃｅ算子的谱唯一确定．     

Surfaces in Euclidean 3-space whose normal bundles are tangentially biharmonic

A submanifold is said to be tangentially biharmonic if the bitension field of the isometric immersion that defines the submanifold has vanishing tangential component. The purpose of this paper is to prove that a surface in Euclidean 3-space has tangentially biharmonic normal bundle if and only if it is either minimal, a part of a round sphere, or a part of a circular cylinder.     

到欧氏空间的等距极小浸入

本文研究了欧氏空间极小子流形的测地球的体积增长,给出了一个黎曼流形可等距极小浸入到欧氏空间的一个必要条件,并给出了具非正截曲率的欧氏空间极小超曲面的一个分类．     

局部对称的黎曼流形中的极小子流形

主要研究了局部对称的黎曼流形中的定向紧致无边极小子流形的内蕴刚性问题,利用一个矩阵不等式,得到了这类子流形的一个刚性定理．所得结果部分改进了已有的一个结论．