A two phase Stefan problem with flux boundary conditions

We studied a two phase Stefan problem in a infinite plane slab, when the thermal fluxes are assigned on the two limiting planes. We proved existence and uniqueness of the solution upon minimal smoothness assumptions upon the initial and boundary data, and we demonstrated the continuous and monotone dependence of the solution on the data. In sec. 5 we studied in which cases one of the two phases disappears and the asymptotic behavior in the cases in which the two phases exist for all time.

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Riassunto Si studia un problema di Stefan a due fasi in uno strato piano indefinito quando si suppongono assegnati i flussi termici sui piani che delimitano lo strato stesso. Viene dimostrata l’esistenza e l’unicità della soluzione con ipotesi assai generali sui dati iniziali ed al contorno del problema, nonchè la dipendenza continua e monotona della soluzione da tali dati. Si esaminano infine i casi in cui una delle due fasi può sparire ed il comportamento asintotico in caso di permanenza delle due fasi.

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The research was supported in part by the National Science Foundation contract G1 15724 and the NATO Senior Fellowship program.

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Entrata in Redazione il 14 settembre 1970.     

On Rayleigh-Taylor stability

We study the nonlinear stability of the rest state for the Rayleigh-Taylor problem related to a plane layer of viscous, heavy fluid under periodicity assumptions in the horizotal directions, with nonzero surface tension. Such a problem is studied for both incompressible and isothermal fluids where, in the class of regular flows, it is proved the exponential decay to the rest state for perturbations, in absence of hypotheses on the characteristic coefficients of the flow, and on the initial conditions as well.

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Sunto Si studia la stabilità nonlineare della quiete per il problema di Rayleigh-Taylor relativo ad uno strato piano di fluido viscoso pesante nelle ipotesi di periodicità nelle direzioni orizzontali, ed in presenza di tensione superficiale. Tale problema è studiato sia per fluidi incompressibili che isotermi. In entrambi i casi, nella classe di moti regolari si prova il decadimento di tipo esponenziale allo stato di quiete per le perturbazioni, senza aggiungere alcuna ipotesi sui coefficienti caratteristici del moto o sulle condizioni iniziali.

     

Hilbert polynomials and powers of an ideal

Sunto Nel n1. viene definito il complesso generalizzato di Koszul K(A; E; t) di R-moduli associato ad una matrice A sopra un anello R e un R-modulo E. Si studia poi K(A; E; t) nel caso particolare in cui A sia una matrice della forma B(m, s) data nel n.3. Si dimostra infine che, sotto certe condizioni di finitezza, la lunghezza di ogni modulo d'omologia à una funzione polinomiale in m per m grande, e che per ogni m ≥1 la caratteristica di Euler-Poincaré è il prodotto di un coefficiente binomiale per la caratteristica del complesso di Koszul K(B(1, s); E;0).

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Entrata in Redazione il 18 novemb e 1972.     

Regularity of weak solutions of one-dimensional two-phase Stefan problems

Sunto Si considera il problema di Stefan unidimensionale a due fasi e si dimostra l'esistenza di soluzioni classiche sotto ipotesi minimali sui dati (continuità a tratti e limitatezza). Nelle stesse ipotesi si dimostra che tali soluzioni dipendono in modo continuo dai dati, conseguendo un risultato che è più generale anche di quello noto per le soluzioni deboli.

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Entrata in Redazione il 22 dicembre 1976.

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Work partially supported by the Italian C.N.R.     

The algebraic behaviour of the weyl tensor in the geometrical optics approximation

Sunto In questo lavoro si studia la propagazione di un'onda gravitazionale nel vuoto, nell'approssimazione dell'ottica geometrica. Viene esaminato il tensore di Weyl dell'onda all'ordine zero e all'ordine uno della serie che rappresenta l'approssimazione dell'ottica geometrica. Questi termini sono gli unici invarianti per le trasformazioni infinitesime che preservano la forma dell'espansione del tensore metrico (trasformazioni di gauge). Perciò sono gli unici ad avere un significato fisico, cioè ad essere misurabili indipendentemente dalla convergenza della serie che li definisce. Viene caratterizzato il tipo algebrico del tensore di Weyl a questi due ordini in termini degli scalari ottici associati alla congruenza dei raggi su cui l'onda si propaga.

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Entrata in Redazione l'8 luglio 1975.     

Remarks on the analyticity of the free boundary for the one-dimensional Stefan problem

Sunto Si dimostra che nel problema di Stefan (con una o due fasi) nelle variabili x(-,+) e t0il contorno libero è una funzione analitica di t ^1/2 per t0,se il dato iniziale è assunto in una classe di fungioni intere. I coefficienti dello sviluppo del contorno libero in serie di poterne di t^1/2 sono determinati mediante formule ricorrenti. Un particolare esame è svolto per il caso in cui non c'è raccordo tra il dato iniziale e quello sul contorno libero, dimostrando l'esistenza di soluzioni dotate di contorno analitico, sotto opportune limitazioni sul salto tra i due dati; sono peró messi in evidenza anche casi in cui il problema non ammette soluzioni. Infine una breve analisi è svolta per i problemi in domini limitati, fornendo una dimostrazione della analiticità del contorno libero rispetto a t per t>0,alternativa a quella di [1].

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Work partially supported by the Italian CNR, while the first of the Authors was visiting the Mathematical Institute «U. Dini» of the University of Florence.     

Piani grafici a caratteristica 3

Sunto Si dimostra che un piano grafico finito di caratteristica 3 sopra un quasicorpo associativo d'ordine q² il cui centro sia un campo d'ordine ≥ q è necessariamente pascaliano, e che non esistono piani diHughes di caratteristica 3.

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Summary It is proved: a) Any graphic finite plane of characteristic 3 on an associative near-field of order q² whose center is a field having order ≥ q, is necessarily pascalian ; b) There is noHughes plane of characteristic 3.

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A Giovanni Sansone nel suo 70^o compleanno.     

Il profilo alare ad arco di cerchio in flusso transonico continuo senza incidenza

Sunto Nella presente ricerca viene studiato con metodo diretto sul piano odografico il campo aerodinamico attorno a profili alari sottili ad arco di cerchio investiti senza incidenza da una corrente asintoticamente uniforme con numero di Mach M_∞<1. Il problema viene anzitutto formulato in forma analitica nell'ambito delle piccole perturbazioni transoniche effettuando alcune assunzioni atte a renderne possibile una trattazione di prima approssimazione. Esso viene ricondotto ad un particolare problema di valori al contorno con frontiera mobile, di cui si indica un metodo iterativo per la risoluzione. In questo procedimento iterativo interviene in modo essenziale la risoluzione di un altro problema di valori al contorno con frontiera fissa, di cui viene anzitutto data una formulazione variazionale. Succesivamente tale problema con frontiera fissa viene affrontato mediante calcolo numerico col metodo delle differenze finite. Si ottiene così un sistema di equazioni lineari per il quale si adattano i metodi di risoluzione utilizzati usualmente sui calcolatori elettronici.

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Summary In the present paper it is studied, with direct method on the hodograph plane, the aerodynamic field around thin circular arc aurfoils in asymptotically uniform flow with zero incidence and Mach number M_∞<1. The problem is, first of all, analitically formulated within the limits of small transonic perturbation with some assumption apt to make possible a first approximation treatment. Thus it is reduced to a particular boundary values problem with free boundary, for which an iteraction method for the solution is developed. In the iteraction process the solution of an other boundary values problem with fixed boudary occurs, for which it is given a variational formulation. The fixed boundary values problem is numerically treated by means of the finite differences method. Thus it is obtained a linear equations system which can be solved with the methods usually utilized on Computers.

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A Bruno Finzi nel suo 70^mo compleanno

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Lavoro effettuato nell'ambito dei Contratti di ricerca della Matematica del Consiglio Nazionale delle Ricerche. Esso, in una stesura più estensiva, ha conseguito il premio Rancati 1969 dell'Istituto Lombardo, Accademia di Scienze e Lettere di Milano. Al primo Autore è dovuta la parte aerodinamica del lavoro e l'impostazione della risoluzione del problema matematico che ne consegue; al secondo Autore lo studio del problema con frontiera fissa; al secondo ed al terzo Autore la trattazione numerica del problema stesso.

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Entrata in Redazione il 10 aprile 1970.     

On the stability of couette-benard M.H.D. flows of binary mixtures

Summary We study a class of Couette-Benard M.H.D. flows of a binary mixture in a plane slant layer. By using the theory of semigroups of linear bounded transformations, we prove that the initial-value problem forfinite perturbations has one and only one solution belonging to a suitable Banach space. Finally, we show the inconditionated asymptotical stability in norm of such a solution.

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Sunto Si studia una classe di moti magnetoidrodinamici alla Couette-Benard di una miscela fluida binaria in uno strato piano obliquo e, con le tecniche della teoria dei semigruppi di trasformazioni lineari limitate, si dimostra, in un opportuno spazio di Banach, l’esistenza e l’unicità della soluzione del problema di evoluzione per perturbazionifinite e l’incondizionata stabilità asintotica in norma di tali moti.

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Entrata in Redazione il 19 Ottobre 1974.

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Work performed under the auspices of the National Research Council (C.N.R., Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica).     

Sul problema unidimensionale non lineare di Stefan in uno strato piano indefinito

Sunto Considerato un processo unidimensionale di cambiamento di fase in un mezzo occupante uno strato piano indefinito di spessore finito, supposte le caratteristiche fisiche delle due fasi e il calore latente funzioni della temperatura, si dimostra l'esistenza di una sola soluzione per il problema al contorno connesso col problema diStefan non lineare in esame. A Giovanni Sansone nel suo 70^mo compleanno.     

The lamellar inclusion problem in plane elasticity

Within the framework of linear isotropic plane elasticity, a general method giving the elastic field in an internally stressed three-phase material is determined. The internal stress source may be located either in or near the lamellar component. General closed-form formulas solving the limiting case of a bimetallic interface are also obtained. As an example of application, the interaction between a lamellar inclusion and a dilatation centre is analyzed.

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Riassunto Nel presente lavoro viene elaborato un metodo per determinare il campo elastico in un materiale a tre fasi deformato internamente. Ciascuna fase e' supposta omogenea ed isotropa e si assume uno stato di deformazione piana, o di sforzo piano, trattabile mediante la teoria lineare dell'elasticita'. La sorgente di deformazione puo' essere localizzata all'interno oppure all'esterno del componente lamellare. Formule risolutive esatte si ricavano nel caso limite di mezzo bifasico. Come esempio di applicazione, viene analizzata l'interazione tra un'inclusione lamellare ed un centro di dilatazione.

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Work supported by the Ministero della Publica Istruzione, Italy     

Sur le plongement de certaines variétés riemaniennes à deux dimensions dans l'espace euclidien à quatre dimensions

Sunto Poggiando su una rappresentazione delle trasformazioni puntuali del piano euclideo E² mediante superficie dello spazio euclideo a4 dimensioni E ₄ , il cui principio è stato esposto nella memoria[1] di questiAnnali, si studia un modo particolare d'immersione di alcune varietà riemmaniane a due dimensioni nellE ₄ . Il caso delle realizzazioni reali concrete di tali varietà, sia nell'E ₄ o nella ipersfera unitaria dell'E ₄ (nello spazio ellitico a tre dimensioni) è specialmente esaminato.

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Entrata in Redazione il 17 dicembre 1977.

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Deceduto a Marseille il 9 agosto 1978. Bozze rivedute dal Comitato di Redazione.     

Elastic field perturbation by an elliptic inhomogeneity with a sliding interface

Summary Muskhelishvili complex potentials are used to solve the problem of an infinite elastic plane containing an elliptic inhomogeneity with a sliding interface but no eigenstrain. The boundary conditions considered are (a) continuity of normal tractions and displacements and vanishing shear tractions at the interface, and (b) vanishing stresses at infinity. After a conformal mapping of the elastic plane, the solution is obtained in terms of a set of infinite algebraic equations yielding the Laurent's expansion coefficients of the complex potentials. Distinct sets of formulae must be written for a circular inhomogeneity (degenerate ellipse) and an elliptic inhomogeneity (no degeneracy), and in both cases no closed-form solution is obtainable. For an elliptic inhomogeneity the solution requires iteration and recursion, and implies vanishing stresses in the homogeneity when the system is loaded with a remote uniform shear parallel to the axes of the ellipse.

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Riassunto I potenziali complessi di Muskhelishvili vengono usati per risolvere il problema di un piano elastico infinito contenente una disomogeneità ellittica con interfaccia scorrevole e che non sia all' origine di un campo di sforzi in terni. Si considerano le condizioni al contorno: (a) continuità delle trazioni e degli spostamenti normali e annullamento delle trazioni tangenziali all' interfaccia; (b) annullamento degli sforzi all' infinito. Mediante una trasformazione conforme del piano elastico, la soluzione viene espressa in termini di un sistema di infinite equazioni algebriche per i coefficienti degli sviluppi di Laurent dei potenziali complessi. Si trova che occorre scrivere distinti sistemi per i casi di disomogeneità circolare (ellisse degenere) e di disomogeneità ellittica (non circolare). In ambedue i casi non è ottenibile una soluzione in forma chiusa. Nel caso di disomogeneità ellittica la soluzione consiste in formule ricorrenti e richiede iterazione; inoltre, essa implica l'annullamento del campo di sforzi nella disomogeneità quando il sistema è soggetto ad uno sforzo di taglio uniforme applicato all' infinito parallelamente agli assi dell' ellisse.

     

Su alcune soluzioni parametriche delle equazioni del moto intorno a un punto fisso di un solido pesante asimmetrico

Sunto. In questa nota si considerano le equazioni del moto intorno a un punto fisso di un corpo rigido pesante, nel caso in cui il baricentro appartenga a uno dei piani principali dell'ellissoide d'inerzia relativo al punto fisso (piano xy). Si ravvisa la possibilità di una particolare soluzione parametrica per mezzo di un parametro u tale che du=rdt, essendo r la componente della velocità angolare secondo l'asse z, e nell'ipotesi che il coseno direttore γ₃ secondo l'asse z della verticale discendente, sia della forma: γ₃=α₀(Ax₀p+By₀q)r, con α₀ costante, mentre gli altri simboli hanno il solito significato. Si dimostra che sono possibili soltanto due casi: Il 1^o é quello in cui il baricentro appartiene a uno degli assi x, y (y₀=o, oppure x₀=0), e questo corrisponde a un caso di integrabilità segnalato da Stekloff; il 2^o è quello in cui l'asse z è asse intermedio dell'ellissoide d'inerzia e la retta baricentrale coincide con l'intercezione del piano xy con uno dei due piani ciclici dell'ellissoide d'inerzia passanti per l'asse z. In questo secondo caso il moto si riduce a una rotazione uniforme del solido intorno a tale retta baricentrale disposta verticalmente, retta che appartiene al cono di Staude. Entrata in Redazione il 15 maggio 1975.     

Contributions to the spectral theory for nonlinear operators in Banach spaces

Sunto Si introduce una definizione di spettro σ(f) per applicazioni continue definite in uno spazio di Banach. Tale definizione coincide con quella classica nel caso in cui f sia lineare e continua. Alcuni dei risultati più noti della teoria spettrale lineare vengono estesi al caso non lineare. In particolare si dimostra che σ(f) è chiuso e che la sua frontiera è contenuta nello spettro puntuale approssimato σ_π(f).

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Entrata in Redazione il 17 giugno 1977.

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Work performed under the auspices of the National Research Council of Italy (C.N.R.).     

Sulla influenza dell'effetto Hall nella propagazione di onde magnetofluidodinamiche iu un fluido incomprimibile

Sunto Si esamina l'influenza dell'effetto Hall sulla propagazione ondosa it un fluido incomprimibile descritto dalle equazioni della magnetofluidodinamica nello schema del continuo. Nella parte I si studia dapprima la propagazione di onde piane di piccola ampiezza e poi quella delle onde di ampiezza finita. Nella parte II l'indagine é estesa alle onde cilindriche e nella parte III infine si discute la propagazione di onde piane e cilindriche nel caso in cui nello stato imperturbato il fluido non sia in quiete, bensì in moto uniforme. Nel lavoro si tiene conto delle azioni dissipative della viscosità e della conducibilità elettrica finita.

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Summary In this paper we discuss wave propagation in an incompressible conducting fluid considered as a continuous medium taking account of the Hall effect. In Part I we first consider the propagation of plane waves of small amplitude and secondly waves of finite amplitude. In Part II the discussion is extended to cylindrical waves and in Part III the propagation of plane and cylindrical waves is examined when in the unperturbed state the fluid is not at rest, but in a state of uniform motion. The dissipative effects of viscosity and finite electrical conductivity are taken into account in the present paper.

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A Bruno Finzi nel suo70mo compleanno.

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Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività dei Gruppi di Ricerca Matematica del C.N.R. (Anno 1969) presso l'Istituto di Matematiche Applicate ? U. Dini ? della Facoltà di Ingegneria dell'Università di Pisa.

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Entrata in Redazione il 20 ottobre 1969.     

Estensioni semigruppali

Sommario Si da un nuovo metodo per costruire algebre da una data algebra, si studiano le identità che si conservano in questa costruzione e l'operatore ad essa collegato.

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Summary I give a new method for building new algebras from a given algebra, we study identities preserved in this construction and related operator.

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Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività dei gruppi di ricerca matematica del C.N.R. contratto n. 115218205174.

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Ringrazio il Prof.R. Magari dell'Università di Ferrara sotto la cui guida è stato eseguito questo lavoro.     

Principi variazionali nella teoria lineare delle miscele di due solidi elastici

Riassunto In questa nota gli Autori stabiliscono dei principi variazionali che caratterizzano in maniera completa il più generale problema ai limiti sia della statica sia della dinamica di una miscela isotropa di due solidi elastici lineari. Questi principi sono del tutto generali poichè non si richiede agli stati o processi ammissibili di soddisfare ad alcuna delle equazioni di campo e delle condizioni iniziali o al contorno. Tale risultato viene ottenuto esprimendo i problemi considerati in forma operazionale.

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Summary In this paper the Authors establish variational principles which characterize the most general boundary-value problem for statics and dynamics of an isotropic mixture of two linear elastic solids. These principles are completely general because the admissible states or processes are not required to meet any of the field equations, boundary or initial conditions and they are obtained by expressing the problems in operator form.

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Il lavoro è stato eseguito nell’ambito del Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica del C.N.R.     

Sul luogo di Gorenstein di un anello

Riassunto In questo lavoro viene data una nuova dimostrazione del fatto che il luogo di Gorenstein di un anello di Cohen-MacaulayA che sia immagine omomorfa di un anello di Gorenstein è aperto. La presente dimostrazione permette di dare esplicitamente l'ideale a ⊂A la cui varietà è il luogo non di Gorenstein diA. Si studia inoltre il comportamento del luogo di Gorenstein rispetto a certi omomorfismi di anelli.

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Summary In this paper we give a new proof of the fact that the Gorenstein locus of a Cohen-Macaulay ringA which is homomorphic image of a Gorenstein ring is open, this describing explicitly the ideal a⊂A whose variety gives the non-Gorenstein locus ofA. Also, we study the Gorenstein locus behaviour with respect to certain ring homormorphisms.

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Lavoro eseguito nell'ambito dei gruppi di ricerca del C.N.R.     

Sugli insiemi di grandezze meccaniche derivate

Riassunto Si dà innanzi tutto un cenno del procedimento mediante il quale un insieme di grandezze meccaniche dotate di misura positiva può essere derivato da altri insiemi dello stesso tipo, per mezzo di una funzione generatrice che dipende dalle misure delle grandezze. Si stabilisce quindi la condizione necessaria e sufficiente che deve essere soddisfatta dalla funzione generatrice affinchè essa dia luogo ad insiemi indipendenti dalla scelta delle unità per le grandezze da cui sono derivati. Le soluzioni di un'equazione funzionale forniscono l'espressione di tutte le funzioni generatrici che soddisfano la precedente condizione di invarianza, insieme ad una condizione necessaria riguardante la osservabilità delle grandezze derivate. La trattazione è infine estesa alle grandezze dotate di misura algebrica.

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Summary An outline is first given of the process which is followed to derive a set of mechanical quantities with positive measure from other sets of the same type, by means of a generating function depending upon the measures. The necessary and sufficient condition is then found which must be satisfied by the generating function, to give rise to sets independent from the units chosen for the quantities from which they are derived. The solutions of a functional equation give the expression of all the generating functions which satisfy the above invariance condition, together with a necessary condition concerning the observable character of the derived quantities. The theory is finally extended to quantities with algebraic measures.

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A Dario Graffi nel suo 70^o compleanno

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Entrata in Redazione il 28 giugno 1975.