相似三角形解题中的常见错误分析

在《相似三角形》这一章中 ,同学们往往对概念不清或考虑不周而出现解题错误 .两个三角形一旦用“∽”表示出来 ,就明确了边、角的对应关系 ;而只说两个三角形相似 ,并没有用符号表示出来 ,就可能存在边角对应的不唯一性 .下面就学习中常见的解题错误举例剖析如下 .例 1　要做两个形状相同的三角形框架 ,其中一个三角形框架的三边分别为 4,5 ,6.另一个三角形框架的一边为 2 ,怎样选料可使这两个三角形相似 ?【错解】设另一个三角形框架的三边分别为 2 ,x ,y ;由题意得2∶4=x∶5 =y∶6.得x=52 ,y =3 .【剖析】题目中只要求两个三角形相似 ,而…     

“合理假设”之运用

一些数学问题 ,初看不知从何下手 ,此时如能恰当地运用合理假设 ,则能拨开迷雾见太阳 ,起到“点石成金”的破题功效 .所谓合理假设是指对问题作合乎情理的重新调整和约定 .本文谈谈合理假设解 (证 )题中的某些运用 .一、挖掘特定背景 ,实施转化策略例 1已知ａ、ｂ、ｃ是三角形的三边 ,求证 :ａ2 ｂ(ａ -ｂ) +ｂ2 ｃ(ｂ -ｃ) +ｃ2 ａ(ｃ -ａ)≥ 0①图 1分析与简证　ａ、ｂ、ｃ是三角形的三边 ,对这三个正数的特定限制约束 ,如何体现和反映出来成为证题的关键 .联想到三角形的内切圆 ,将三边用切线长表示 ,则有如下的合理假设 :令ａ =ｙ +ｚｂ…     

例说相似三角形的综合运用

<正>对于两个图形若其中一个图形可以通过放大或缩小(放缩变换)得到另一个图形,则称这两个图形为相似形.相似三角形有许多性质,如:我们把相似三角形对应边的比称为这两个相似三角形的相似比,那么相似三角形的周长比等于相似比,相似三角形的面积比等于相似比的平方等.与相似三角形有关的中考试题往往综合性、技巧性较强,需要考生综合分析并熟     

数学问题解答

数学问题解答１９９６年６月号问题解答（解答由问题提供人给出）１０１６两个相似的不等边三角形的各边均为整数，且其中一个三角形的最长边与另一个三角形的最短边均为１９９６，求其相似比的可能值及所有可能的相似三角形的对数．解设最长边为１９９６的三角形的最短边...     

分类讨论思想在三角形分割线中应用

<正>三角形的分割是指从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形.由于分割后的图形位置与形状的不确定性而需要加以分类讨论,纵观近年中考试题,涉及三角形分割线的试题屡见不鲜,解答此类问题,一定要注意正确的分类讨论,谨防以偏概全的漏解错误.例1已知△ABC中,∠C是其最小的内角,如果过顶点B的一条直线把这个三     

“探索三角形全等的条件(二)”教学实录及评析

1学习目标 (1)知识与技能:掌握三角形全等判定的条件,“角边角”和“角角边”. (2)过程与方法:在探索三角形全等的判定条件及其运用过程中,能够有条理地进行简单推理. (3)经历探索三角形全等的判定条件形成的过程,体会利用分类讨论思想和转化思想获得数学结论的方法.     

探究一类边长都是特殊整数的倍角三角形问题

我们知道三边长分别是连续正整数3,4,5时,构造的三角形是直角三角形.在连续正整数构造的直角三角形中,三边长分别是3,4,5也是唯一的情况.本文结合2008年一道全国初中数学竞赛试题进行另一方面的探究:如果三个连续正整数构造的三角形中能否满足条件:恰有一个角是另一个角的2倍呢?     

从几何图形中提取“A”形或“X”形解题

在学习三角形相似判定方法中,用的较多的一种便是两角对应相等得相似,由此衍生了"平行于三角形一边的直线与其它两边(或延长线)相交,则所构成的三角形与原三角形相似"这一性质.转化为图形即为图1通常称为"A"形,图2称为"X"形.解题时都是从较复杂的图形中提取出这两种图形,看似简单,但真正做起来并不容易.     

此类问题亦可用余弦定理来解

新编教材数学第一册 (下 ) (Ｐ1 2 8) ,在总结正弦定理的应用时指出 :已知三角形两边和其中一边的对角 ,求解三角形其余元素时 ,可利用正弦定理 .而在 (Ｐ1 30 )总结余弦定理的应用时指出 ,利用余弦定理 ,可以解决以下两类有关三角形的问题 :(1)已知三边 ,求三个角 ;(2 )已知两边和它们的夹角 ,求第三边和其它两个角 .在这里给学生造成了一种错觉 ,似乎已知三角形两边和其中一边的对角 ,求解三角形其余元素这类问题 ,只能用正弦定理来解 ,从而忽视了此类问题亦可用余弦定理来解 ,甚至可能用余弦定理来解反而比用正弦定理来解更方便、更简单 …     

正确理解两个三角形相似的不同描述

<正>学习相似三角形的过程中,发现学生对两个三角形相似的不同描述总是存在理解的误区,从而导致丢解现象.因此正确理解两个相似三角形的不同描述,是利用相似三角形的性质正确解决数学问题的关键.一般常见的对两个三角形相似的描述主要有如下几种情况.一、描述的两个相似三角形形状是确定的,且各边的对应关系是确定的;这时只有唯一解;学生不易出错.常见描述如下:(1)直接使用相似符号"∽"描述两个三角     

证明相似三角形的若干途径

一般相似三角形的判定方法有 :1.定义判定法 .此方法因证明过程中所需的条件太严格 ,即三个角相等 ,三边对应成比例 ,故一般不用它来判定 .又由于三角形具有稳定性 ,所以在实际解题中常使用削弱条件的几个判定定理 :2 .两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似 ;3.两角对应相等的两三角形相似 ;4 .三边对应成比例的两三角形相似 ;5.平行于三角形的一边的直线截其他两边 ,截得的三角形与原三角形相似 ;对特殊的三角形———直角三角形 ,除满足以上五种判定方法外 ,还有其自身的判定方法 ,即 :6 .斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形…     

“三点定形”寻找相似三角形

证明线段成比例或等积式常用的方法是利用相似三角形.其基本思想是:先找出与所证的比例式中的线段有关的两个三角形,然后设法证明这两个三角形相似.因此正确寻找并证明相关的两个三角形相似是解决这类问题的关键.如何由比例式找出相关的三角形,这是同学们感到比较困难的问题.为了帮助同学们解决这一难点,本文介绍一种常用的方法——“三点定形法”.     

分类讨论相似三角形

分类讨论是数学上常用的一种思想,广泛应用于相似三角形中.相似三角形中有些问题由于题设笼统,要进行讨论;由于题目复杂,包含多种情形,也要进行讨论,分类讨论一般根据其数量差异与位置差异进行分类,分类要做     

中考中常见的数学思想方法

近几年的中考数学试题加强了对数学思想方法的考查 .初中数学中的数学思想方法有很多 ,这里仅对中考中常见的分类思想、数形结合思想、方程思想和函数思想进行讨论 .一、分类思想当一个数学问题不能用一种形式表示时 ,就需要对这一问题分类讨论 .如涉及绝对值的化简时 ,ａ等于什么 ?不能确定 .需要对ａ的符号分类讨论 :当ａ≥0时 ,ａ =ａ ;当ａ <0时 ,ａ =-ａ ,即ａ的不同取值有不同的结果 .例 1　 ( 2 0 0 1年济南中考试题 )已知等腰三角形ＡＢＣ的底边ＢＣ =8ｃｍ ,且ＡＣ -ＢＣ =2ｃｍ ,则腰ＡＣ的长为 (　 ) .Ａ . 1 0ｃｍ或 6ｃｍ　　…     

与外周界中点三角形有关的不等式

文 [1]给出了三角形的周界中点的定义 :定义 1　如果三角形一边上的一点和这边所对的顶点把三角形的周界分为两条等长的折线 ,那么就称这一点为三角形的周界中点 .由于三角形任意两边之和大于第三边 ,因而三角形任一边上的周界中点必为这边的内点 .因此 ,我们不妨称定义 1中的周界中点为该三角形的内周界中点 ,以三个内周界中点为顶点的三角形称为该三角形的内周界中点三角形 .类似地 ,我们可以建立三角形的外周界中点及外周界中点三角形的概念 .定义 2　若将三角形的一条边延长 ,使其延长部分等于另两边之和 ,那么就称这条边与其延长部分构…     

中考中的分类讨论思想

对于一个比较复杂的或者不能我到统一的解(证)法的数学问题,可以把问题分成几类分别加以讨论解决,这种方法称为分类法.分类讨论思想是中学数学中较常用的思想方法,分类讨论题涉及到中学数学中的很多知识点,利于考查学生的知识面、分类思想和技巧;同时方式多样,具有较高的逻辑性及很强的综合性.树立分类讨论思想,应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧,做到“确定对象的全体,明确分类的标准应当统一,分类应不重复、不遗漏”.     

关于“相似形”中有关教材两点处理意见

(一) 初中几何课本第二册“相似形”这一章的第四节写的是“三角形一边的平行线的判定”、它是在证明了“平行于三角形一边的直线截其他两边所得的对应线段成比例”这一命题的逆命题:“如果一条直线截三角形的两边,其中一边上截得的一条线段和这边与另一边上截得的一条对应线段和另一边成比例那么这条直线平行于第三边”。由于原命题的结论(比例线段)不只一种,从而其逆命题的条件(比例线段)也不只一种,即除上述一种形式外,还有如下形式。如图(1)在△ABC中。若AD/DB=AE/EC,则DE//BC由上述定理,根据比例性质易证后一种形式的逆命题为真。就得到了推论:若一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例那么这条直线平行于三角形的第三边。     

相似三角形及其应用(上)

<正>定义:如图1,△ABC与△A′B′C′中,如果∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,且(AB)/(A′B′)=(BC)/(B′C′)=(CA)/(C′A′),则称△ABC与△A′B′C′相似,简记作△ABC∽△A′B′C′.一、相似三角形的判定1.两角对应相等的两三角形相似;2.两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似;3.三边对应成比例,两三角形相似;4.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.二、相似三角形的性质1.相似三角形的对应角相等,对应边成比例;     

两圆相交的两条性质及应用

两圆相交为圆周角定理、圆内接四边形性质定理提供了用武之地.由此我们也获得了两相交圆的一系列重要性质.本文介绍其中的两条性质及应用的几个例子。下面的性质1及其推论也就是贵刊88年第5期中的《相交圆内接三角形的性质及应用》一文的三条性质.以一交点为一顶点,过另一交点的割线为对边的三角形叫两相交圆的内接三角形。性质1 相交两圆的内接三角形的三个内角均为定值.(如图1,△AEC为其内接三角形) 推论1 在相交两圆中,内接三角形都相似。推论2 在相交两圆中,若内接三角形的一边与公共弦垂直,则另两边必分别为两圆直     

四面体“重心”的探求

陈省身说:“数学是什么?数学是根据某些假设用逻辑的推理得到结论”.在直线(一维空间)上,线段的中点是它的两等分点,即是说中点到一个端点的距离是它到另一个端点距离的一倍;在平面(二维空间)里,三角形的重心是三条中线的交点(三条中线交于一点),重心到各顶点的距离是它到对边中点距离的2