｛R（n~m）｝的周期性

｛Ｒ（ｎ~（ｍ））｝的周期性湖北竹溪县龙滩中学甘志国本文研究一类自然数列（各项都是自然数的数列）的周期性．把自然数Ｎ的各位数字相加得Ｎ１，再把Ｎ１的各位数字相加得Ｎ２，…直至得到一位数Ｎｋ止．我们定义Ｒ（Ｎ）＝Ｎｋ，如Ｒ（３１９）＝４．显然ＮＲ（Ｎ）?..     

推广的AKNS方程族

本文得出的可积方程族，具有双 Ｈａｍｉｌｔｏｎ结构，含 ５个因变数ｕｉ，ｉ＝１，２，…，５．当ｕ３＝ｕ４＝ｕ５＝０时，它约化为 ＡＫＮＳ族，故称之为推广的 ＡＫＮＳ族．     

Kloosterman和的角度

有限域 Ｆｑ（ｑ为奇）上的 Ｋｌｏｏｓｔｅｒｍａｎ和是两个模为 ｑ１／２的共轭复数之和．这个复数的角度就称为相应的Ｋｌｏｏｓｔｅｒｍａｎ和的角度．我们在本文给出了Ｋｌｏｏｓｔｅｒｍａｎ和的角度的一些结果,改进了Ｋａｔｚ Ｎ．［１］的一些结果,也改进和推广了Ｃｏｎｒｅｙ　Ｊ．和Ｉｗａｎｉｅ Ｈ．［２］的结果．     

利用尺度函数寻求常微分方程的近似解

论的结论是：设ｍ－１阶线性常微分方程的一般形式为ｄ＾ｍ－１ｕｄｘ＾ｍ－１＋ａ１（ｘ）ｄ＾ｍ－２ｕｄｘ＾ｍ－２＋…＋ａｍ－２（ｘ）ｄｕｄｘ＋ａｍ－１（ｘ）ｕ＝ｆ（ｘ）那么,当限定ｘ∈「０,１」时,它的近似解为ｕＮ（ｘ）＝∑２＾Ｎ－１ｋ＝－ｍ＋１ｃ＾ＮｋＮｍ（２＾Ｎｘ－ｋ）其中,ｍ≥２,Ｎｍ是ｍ阶样条函数。ｃ＾Ｎｋ是待定常数,它由ｍ－１个定解条件和导出等式产生的２＾Ｎ个条件决定。     

Ck（X）的扇密度和强Frechet性质

本文证明了如下两个定理：（１）Ｃ＿ｋ（Ｘ）为强Ｆｒｅｃｈｅｔ空间（或者Ｆｒｅｃｈｅｔ空间）的充分必要条件是Ｘ中的每一开Ｋ－覆盖序列｛ｕ＿ｎ：ｎ∈Ｎ｝，存在Ｕ＿ｎ∈ｕ＿ｎ，使｛Ｕ＿ｎ：ｎ∈Ｎ｝为Ｘ的Ｋ－序列，（２）Ｃ＿ｋ（Ｘ）有可数扇密度的充分必要条件是Ｘ中的每一开Ｋ－覆盖序列｛ｕ＿ｎ：ｎ∈Ｎ｝存在ｕ＿ｎ的有限于族ｕ＇＿ｎ，使｛ｕ＇＿ｎ：ｎ∈Ｎ｝是Ｘ的开Ｋ－覆盖．     

带振荡系数的Kloosterman和

ａ，ｑ为正整数，且（ａ，ｑ）＝１，μ（ｎ）为Ｍｂｉｕｓ函数，带系数μ（ｎ）的不完整Ｋｌｏｏｓｔｅｒｍａｎ和定义为Ｓ（Ｎ，ａ，ｑ）＝∑ｎＮｎｎ≡１（ｍｏｄｑ）μ（ｎ）δｑ（ｎ）ｅａｎｑ，其中δｑ（ｎ）＝１如果（ｎ，ｑ）＝１，否则δｑ（ｎ）＝０本文建立如下较为精确的上界估计Ｓ（Ｎ，ａ，ｑ）Ｎｄ（ｑ）ｌｏｇ５２Ｎｑ１２＋ｑ１５ｌｏｇ１３５ＮＮ１５｛｝这个结果进一步改进了Ｈａｊｅｌａ，Ｐｏｌｉｎｇｔｏｎ以及Ｓｍｉｔｈ以前的工作     

n维单形的纳斯必特——彼得洛维奇不等式

利用优超理论将平面上关于三角形的纳斯必特－彼得洛维奇不等式推广到ｎ维欧几里得空间中的ｎ维单形上,得到Ｎ＾２ｎ（Ｎ－１）（ｄ＋ｎＮ）≤∑Ｎｋ＝１ｓｄ＋ａｋＮ≤Ｎ－ｎｎ＋ｎｎ－１（ｄ＋１）,式中ａｉ（ｉ＝１,…,Ｎ;Ｎ＝ｎ（ｎ＋１）２为ｎ维单形∑Ａ的棱长,ｄ为任一非负实数,ｓ＝１ｎ∑Ｎｉ＝１ａｉ。     

2-阶邻域连通无爪图的Hamilton性

设Ｇ是无爪图．对ｘ∈Ｖ（Ｇ），若Ｇ［Ｎ（ｘ）］不连通，则存在ｙｉ∈Ｖ（Ｇ）－｛ｘ｝（ｉ－１，２），使｜Ｎ（ｙｉ）∩Ｋｉ（ｘ）｜≥２，且｜Ｎ（ｙｉ）∩Ｎ（Ｋｉ＋１（ｘ））｛ｘ｝｜≥２（ｉ模２），那么称无爪图Ｇ是强２－阶邻域连通的，其中Ｋ１（ｘ），Ｋ２（ｘ）分别表示Ｇ［Ｎ（ｘ）］的两个分支．本文证明了：连通且强２－阶邻域连通的无爪图是Ｈａｍｉｌｔｏｎ图．     

关于一种循环类预条件方程组的快速求解

１引言考虑下列Ｎ阶线性方程组其中Ｃ１＝,Ｃ２＝０≤ｉ,ｊ≤Ｎ－１,是Ｎ阶循环矩阵,Ｊ１＝（Ｊ）是Ｎ阶置换矩阵,其元素分别满足１９９３年,Ｔ,Ｋ．Ｋｕ,Ｃ．Ｃ．Ｊ．Ｋｕｏ在［１］中取Ｃ１,Ｃ２为实对称循环矩阵,而Ｃ１＋Ｊ１Ｃ２作为预条件矩阵来求解在数字信号处理中有一定应用的Ｔｏｅｐｌｉｔｚ加Ｈａｎｋｅｌ线性方程组［２］,得到了一种高效的预处理其轭梯度算法．当Ｔｏｅｅｌｉｔｚ与Ｈａｎｋｅｌ矩阵之和为正定矩阵且条件数适中时,所需运算量可达到０（Ｎｌｏｇ２Ｎ）,比原有算法［２,３,４］的运算量０（Ｎ２）…     

图Kn和Kn,n的7—匹配设计和简单设计

本文给出图Ｋｎ和Ｋｎ，ｎ的７－匹配设计的存在性和由两个简单的（ｎ，ｋ，λ）－设计（ｉ＝１，２）构造简单的（ｎ，ｋ，λ１＋λ２）设计的条件。     

有理数集上不存在四连贯的二次多项式

有理数集上不存在四连贯的二次多项式甘志国（湖北省竹溪县龙滩中学４４２３００）杨仕椿同志在本刊文［１］中给出定义若数集Ｋ上的多项式ｆ（Ｘ）与ｆ（ｘ）＋１均在Ｋ上可约（指能表成Ｋ上的两个次数低一些的多项式的积），则称ｆ（Ｘ）为Ｋ上的连贯多项式，若Ｋ上的多...     

关于三角形区域的Heilbronn数

设Ｋ是一个具有面积｜Ｋ｜的平面凸体。用（ｒ＿１ｒ＿２ｒ＿３）表示三角形ｒ＿１ｒ＿２ｒ＿３的面积，并令然后将Ｋ中ｎ个点的Ｈｅｉｌｂｒｏｎｎ数定义为对于三角形区域Δ，我们证明了     

几类可升分解的图

Ａｌａｖｉ等人在文献［１］中定义了图的一种新分解，即“升分解”，并且猜想：任意有正数条边的图都可升分解。本文证明了下面三类图可升分解，并得到了一些有意义的推论。１设Ｒｎ是一个至多含有ｎ个顶点和至多含有ｎ条边的图，Ｋｎ－Ｒｎ可升分解（ｎ≥５）；２对称图可升分解；３对称图Ｇ的混合积（Ｇ；ｋ）可升分解。     

最佳L_P逼近对P的依赖性

设。本文证明了Ｎ（ｐ）（ｐ≥２）是Ｐ的可微函数，并且Ｎ（ｐ）在区间［１，∞］上满足Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件。设是定义在区间［ａ，ｂ］上的ｎ个线性无关的连续函数，记给定ｆ∈Ｌ∞［ａ，ｂ］，令Ｎ（ｐ）＝我们称ｖｐ（１≤Ｐ≤∞）是ｆ的最佳Ｌｐ逼近。     

Nest代数的某些范数闭理想

设Ｒ＿Ｎ是Ｎｅｓｔ代数ａｌｇＮ的Ｊａｃｏｂｓｏｎ根，用表示由；生成的ａｌｇＮ的范数闭双边理想。Ｊ．Ｒ．Ｒｉｎｇｒｏｓｅ［１，定理５．４］给出了Ｒ＿Ｎ的Ｋ１ｎｇｒｏｓｅ特征，本文将给出具有广义Ｒｉｎｇｒｏｓｅ特征的充分必要条件，这个结果是［１］中的Ｒｉｎｇｒｏｓｅ准则在上的一般化     

关于广义Thue－Mahler方程的解数

设ａ，ｂ是非零整数，ｐ１，…，ｐｒ是不同的素数，Ｐ＝｛±｜ｍ１，…，ｍｒ是非负整数｝．设Ｋ是ｎ（ｎ≥３）次代数数域，α１，…，αｍ∈ｋ（１＜ｍ＜ｎ），△（α１，…，αｍ）是α１，…，αｍ的判别式，ｆ（ｘ１，…，ｘｍ）＝αＮｋ／Ｑ（α１ｘ１＋…＋αｍｘｍ）∈ｚ［ｘ１，…，ｘｍ］．本文证明了：当ｆ（ｘ１，…，ｘｍ）非退化且Ｐｉ△（α１，…，αｍ）（ｉ＝１，…，ｒ）时，方程ｆ（ｘ１，…，ｘｍ）＝ｂｙ，ｘ１，…，ｘｍ∈ｚ，ｇｃｄ（ｘ１，…，ｘｍ）＝１，ｙ∈Ｐ至多有（４Ｓｄ２）（Ｓｄ）组解（ｘ１，…，ｘｍ，ｙ），其中ｄ＝ｎ！，Ｓ＝ｒ＋ω是ｂ的不同素因数的个数，ｈＡ是Ｋ的类数．     

有相依关系的成败型元件串联系统可靠性经典精确最优置信下限

设有由Ｋ个成败型元件Ａ１，Ａ２，…，ＡＫ组成的串联系统，设Ａ１，Ａ２，…，ＡＫ之间有相依关系，要Ａ１成功的条件下Ａ２才可以试验，在Ａ１，Ａ２，都成功的条件下Ａ３才可以试验，…在Ａ１，Ａ２，…ＡＫ－１都成功的条件下Ａｋ才可以试验，设条件概率Ｐ（Ａｉ│Ａ１Ａ２…Ａｉ－１）ｐｉ，ｐｉ未知，ｉ＝１，２，…，Ｋ。设有样本（Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＫ）（Ｘ≥Ｘ２≥…≥ＸＫ），本文用样本点排序法求此串联系统可靠性之经     

关于广义Thue－Mahler方程的解数

设ａ，ｂ是非零整数，ｐ１，…，ｐｒ是不同的素数，Ｐ＝｛±｜ｍ１，…，ｍｒ是非负整数｝．设Ｋ是ｎ（ｎ≥３）次代数数域，α１，…，αｍ∈ｋ（１＜ｍ＜ｎ），△（α１，…，αｍ）是α１，…，αｍ的判别式，ｆ（ｘ１，…，ｘｍ）＝αＮｋ／Ｑ（α１ｘ１＋…＋αｍｘｍ）∈ｚ［ｘ１，…，ｘｍ］．本文证明了：当ｆ（ｘ１，…，ｘｍ）非退化且Ｐｉ△（α１，…，αｍ）（ｉ＝１，…，ｒ）时，方程ｆ（ｘ１，…，ｘｍ）＝ｂｙ，ｘ１，…，ｘｍ∈ｚ，ｇｃｄ（ｘ１，…，ｘｍ）＝１，ｙ∈Ｐ至多有（４Ｓｄ２）（Ｓｄ）组解（ｘ１，…，ｘｍ，ｙ），其中ｄ＝ｎ！，Ｓ＝ｒ＋ω是ｂ的不同素因数的个数，ｈＡ是Ｋ的类数．     

某些周期卷积类上的最佳单边逼近

设Ｋ满足性质Ｂ（或Ｋ是ＮＣＶＤ核），本文得到了以Ｋ为核的卷积类Ｂ＿ｐ（或Ｋ＿ｐ），１≤ｐ≤∞，在Ｌ＿１尺度下，借助于三角多项式和周期样条的单边逼近的精确值．ｈ，ｆ⊥Ｓ，则ｈ⊥Ｓ，结合（４．７）我们易知Ｆ∈Ｓ￣－（Ｇ￣＊），且Ｆ⊥Ｓ，Ｆ（０）＝０．由引理６得由引理７得进一步地根据定理２，我们可得（４．６）及（４．８）得另一方面．根据［２］（定理１．７．５）及引理８得由（４．８）、（４．１０）定理得证．作者感谢导师孙永生教授的悉心指导．参考文献     

关于ψ（z）f（z）f‘（z）的值分布

本文研究有穷圆内ψ（ｚ）ｆ（ｚ）ｆ＇（ｚ）的值分布，其中ｆ（ｚ）为非常数亚纯函数，ψ（ｚ）为非零亚纯函数，并对平面上这样的函数，若Ｔ（ｒ，ψ）＝Ｓ（ｒ，ｆ），得到Ｔ（ｒ，ｆ）〈９／２Ｎ（ｒ，ｆ）＋１／２Ｎ（ｒ，１／ψｆｆ＇－１）＋Ｓ（ｒ，ｆ）。