线段被任意折成三段能构成三角形的概率分析

线段被任意折成三段能构成三角形的概率有多种解法,本文分析了不同解法对"任意折"的样本空间及相应均匀分布的理解,证明了三种折法的等价性.     

线段被任意折成三段的折法注记

比较分析了线段被"任意折"成三段的含义,在文献[2]"同时折"的基础上得到一种与之等价的"依次折"的折法.     

线段折成三段构成三角形的概率实验分析

这是一个非常经典的概率题目.将长为1的木棒随机折成3段,求这三段构成三角形的概率.常见解法是:设三段长度为x,y,1-x-y,其中0＜x＜1,0＜y＜1,而要构成三角形,必须满足x+y＞1-x-y,x+1-x-y＞y,y+1-x-y＞x,所以满足条件的点是如图1所示的阴影区域,P(A)=1/4.     

全概率公式的推广及应用

通过引入随机变量的思想推广全概率公式,由此可得到解决几何概型的一种方法,实例说明这种方法在求解几何概型方面的的应用。     

关于贝特朗奇论的新观点——基于点的均匀分布假设进行建模分析

针对贝特朗问题进行建模,给出在适当的附加均匀分布假设下,概率解可以取到区间[0,1]内任一值的结论.为得出在无附加条件下贝特朗问题的解,同样采用建模方法,通过改变模型参数使附加条件变为贝特朗问题的内含条件,进而导出结果,以此判明既有的诸主流解法的正确性.     

任意三角形单元上的三次Lagrange型插值逼近

本文推广了文［２］中的结果，对于任意三角形单元的三次Ｌａｇｒａｎｇｅ型插值多项式给出了原函数ｕ与被插函数Ｕ之间的误差估计     

Bertrand奇论几种经典方法的注记

分别给出了Bertrand奇论三种经典解法中,弦两端点极角坐标、弦中点极坐标与弦中点直角坐标的概率分布,比较了三种随机取弦方式的内在区别.     

三角形三条高构成三角形的几个性质

文[1],[2]分别研究了三角形的三条中线,三条角平分线构成的三角形的性质,受到两文的启发,笔者对三角形三条高组成的三角形进行了探究,得到如下的几个性质.     

一道几何概型问题的多解与推广

经过研究,从平面向量的基本定理、三角形重心的向量等式、特殊法、坐标法等不同的角度思考此题,有以下几种精彩解法．     

一类几何概率问题的推广

文从著名的蒲丰投针问题出发,得到凸ｎ边形与一组等距离的平行线相交的概率公式．     

Dissection of a Triangle into Similar Triangles

We prove that the number of non-similar triangles T which can be dissected into two, three or five similar non-right triangles is equal to zero, one and nine, respectively. We find all these triangles. Moreover, every triangle can be dissected into n similar triangles whenever n = 4 or n ≥ 6. In the last section we allow dissections into right-triangles but we add another restriction. We prove that in any perfect, prime and simplicial dissection into at least three tiles, the tiles must have one of only three possible shapes.     

一道数学竞赛题的其它解法与推广

对第八届全国大学生数学竞赛(非数学专业,决赛)的一道试题,又给出了两种其它证明方法.此外,对本试题也进行了推广与证明.     

概率最优停止问题

本文在时齐马氏序列中引入了概率最优停时和(ε,B)概率最优停时的概念,得到了其显式表达式,从而在某种程度上弥补了期望最优时的不足.同时,本文研究了两种停止问题的关系,指出期望最优停时也是概率最优停时的特例,并证明了集合首达时也是一种概率最优时,进一步给出了首达时为有限的等价条件.     

一个易错概率题的分析及发现

分堆问题是排列组合中常遇到的难题之一.通过一个易错概率题的分析,推广了分堆问题,定义相同结构,并对相同结构下的排列组合进行研究,给出了相同结构下的计算公式,并利用离散型随机变量的性质加以验证.此外,还发现了一个符号运算的恒等式,并进行了证明.     

The Kolmogorov Problem on Uniqueness of Probability Solutions of a Parabolic Equation

Doklady Mathematics - Abstract—We give a solution to the Kolmogorov problem on uniqueness of probability solutions to a parabolic Fokker–Planck–Kolmogorov equation.     

The Physics of Self-Adjoint Extensions: One-Dimensional Scattering Problem for the Coulomb Potential

We consider a one-dimensional single-center scattering problem on the entire axis with the original potential |x|^–1. This problem reduces to seeking admissible self-adjoint extensions. Using conservation laws at the singularity point as necessary conditions and taking the analytic structure of fundamental solutions into account allows obtaining exact expressions for the wave functions (i.e., for the boundary conditions), scattering coefficients, singular corrections to the potential, and also the corresponding spectrum of bound states. It then turns out that pointlike -corrections to the potential must necessarily be involved for any choice of the admissible self-adjoint extension. The form of these corrections corresponds to the form of the renormalization terms obtained in quantum electrodynamics. The proposed method therefore indicates a 1:1 relation between boundary conditions, scattering coefficients, and -like additions to the potential and demonstrates the general possibilities arising in the analysis of self-adjoint extensions of the corresponding Hamilton operator. In the part pertaining to the renormalization theory, it can be considered a generalization of the renormalization method of Bogoliubov, Parasyuk, and Hepp.