通过截断不变展开求奇异扰动Boussinesq方程的近似解

由于非线性偏微分方程的复杂性和非线性性,很难求出它们的准确解,因此某些合理近似以及通过截断不变展开求解实非线性系统是被考虑和建议的.文中一个简单截断不变展开及其一个普遍的赝势被用于奇异扰动Boussinesq方程,可以得到该方程的近似解,在某些情况下,这些解亦为准确解.     

高维可积模型构造和解析解

根据Virasoro可积性(具有无限维无中心Virasoro型对称代数意义下的可积性)的定义建立了一种系统构造(3+1)维Virasoro可积模型的方法. 利用广义Virasoro型对称代数的每一种具体实现, 可以得到大量的高维Virasoro意义下可积模型. 同时, 还获得了具有共形不变性、Painlevé和Lax对意义下的高维可积方程. 最后, 研究了部分方程的解析解.     

Kadomtsev-Petviashvilli方程的直接相似约化

Clarkson和Kruskal发展的直接法(CK直接法)是求解非线性微分方程相似约化的一种强有力的方法. 本文以Kadomtsev-Petviashvilli(KP)方程为例, 运用CK直接法把KP方程简化为3种类型的(1+1)维偏微分方程, 这3种偏微分方程等价于经典Lie方法得到的3种具有不同独立变量的相似约化方程. KP方程的解包含了更多经典Lie方法所遗漏的任意函数, 例如, CK直接法得到的第3类约化可以分为3个子情形, 而经典Lie法得到的KP方程的第3类解只是我们结果的一个子情形的特例.     

列紧算子方程解的存在性及其近似解

求解微分方程定解问题及其数值解经常可归结为求算子方程的不动点及其近似不动点,[8]、[9]曾在假定方程解存在的前提下讨论了在 Banach 空间中方程的解的近似解法。本文打算讨论 B_0型空间中一类列紧算子方程不动点的存在性及近似解问题。     

求非线性系统对称群的新方法

(1)从Lax可积系统的Lax对出发, 寻找非线性系统的对称及精确解, 利用这种方法可以解决不少(2＋1)维的可积系统, 它的优点在于比较简洁方便, 这从KP方程的求解对比就可以看出. (2)从CK直接法入手, 将这种方法进行修正, 利用这种修正的CK直接法求非线性系统的对称和精确解; 这种方法的最大优点在于不但可以用于可积系统, 而且也适用于不可积系统, 还可以求出离散群. 另外, 这种方法也适用于高维的不可积模型.     

寻找变系数KP方程的精确解

将非线性演化方程的变系数看作与实际物理场具有相等地位的新的变量,用推广的经典李群约化法,建立了常系数KP方程以及变系数CKP方程的解与新的变系数KP方程解之间的关系.利用已知的常系数KP和变系数CKP方程的解得到了新的变系数KP方程的一般解和某些特殊形式的精确解.     

对称理论在解若干非线性问题中的应用

将摄动理论和对称约化理论结合起来对研究扰动非线性方程具有重要的意义. 本文利用近似对称约化理论研究了扰动mKdV方程, 得到了该方程的各阶近似约化方程和级数约化解. 本文还讨论了同伦近似对称方法在求解不可积系统中的应用以及利用对称和守恒律的关系求解非线性系统的无穷多守恒律等问题.     

M?bius几何中的多分量Camassa-Holm方程

研究了一般M?bius几何中的曲线流,证明了一类多分量的Camassa-Holm方程等价于M?bius几何中的一个不变曲线流,此方程是两分量Camassa-Holm方程的多分量推广,也可以看成是一类多分量KdV系统的对偶可积系统.最后得到了此方程的一个退化情形的尖峰孤子解.     

形变映射法在求解非线性Klein-Gordon方程中的应用——以Φ4方程和Φ6方程为例

非线性Klein-Gordon方程在场论中具有十分重要的物理意义,且通常是不可积的.形变映射法利用场论中可积场方程的已知孤子解、周期解等共同特征,通过建立一般特解间的联系来求解不可积场的新解析解.形变映射法可以将一个非线性系统的某些重要的严格解和其他系统互相联系起来,从而得到这些非线性系统的新类型严格解,例如多个椭圆周期波的相互作用解或椭圆周期波和孤立波的相互作用解;也可以利用系统自身的形变映射关系,得到同一个系统不同解之间的形变映射关系,从而得到系统的新严格解.将严格解映射到系统自身,就是系统的贝克隆变换.     

形变映射法在求解非线性Klein-Gordon方程中的应用——以Φ

非线性Klein-Gordon方程在场论中具有十分重要的物理意义, 且通常是不可积的. 形变映射法利用场论中可积场方程的已知孤子解、周期解等共同特征, 通过建立一般特解间的联系来求解不可积场的新解析解. 形变映射法可以将一个非线性系统的某些重要的严格解和其他系统互相联系起来, 从而得到这些非线性系统的新类型严格解, 例如多个椭圆周期波的相互作用解或椭圆周期波和孤立波的相互作用解; 也可以利用系统自身的形变映射关系, 得到同一个系统不同解之间的形变映射关系, 从而得到系统的新严格解. 将严格解映射到系统自身, 就是系统的贝克隆变换.     

预防接种情况下具有非线性传染率的SEIR传染病模型的全局分析

研究一类具有预防接种的非线性传染率SEIR传染病模型,得到了各类平衡点存在的阈值条件。利用Lia-punov-Lasalle不变集原理证明了无病平衡点全局渐近稳定,利用Hurwitz判别法得到了地方病平衡点的局部渐近稳定的充分条件。应用微分方程轨道稳定和复合矩阵的相关理论得到了地方病     

统计不变测度及其维数性质

研究了Graf定义的统计自相似集的结构，提出了统计不变测度的概念，并得到了统计不变测量的支撑，以及它的维数和维数分布。     

绕积Markov链的不变测度及遍历极限

对绕积Markov链的不变测度的存在唯一性条件、不变测度的分解、最小闭集的结构和绕积Markov链的遍历极限用HopfMarkov链的方法作了进一步的研究,获得了一些与经典Markov链类似的结果.这些结果对研究随机环境的Markov链是有用的.     

回归系数估计的渐近分析

讨论正态线性模型回归系数的一种非线性有偏估计，给出了它的偏差及其均方误差的渐近展开式，在均方误差意义下，得到了该估计优于最小二乘估计的渐近充要条件。     

具有分布时滞的高阶Hopfield神经网络的全局稳定性判据

通过使用Lyapunov泛函方法和LMI方法研究了具有连续分布时滞的高阶Hopfield神经网络（HHNNs）的全局渐近稳定性,得到了系统全局渐近稳定的充分条件．通过使用Matlab中的LMI工具箱验证了结果的有效性．     

关于两个不考虑结合律的代数系统的讨论

从两个方面讨论了不考虑结合律的代数系统的结构和性质，给出了ｎ元置换的不动表的概念，证明了不动表的存在及其数目的计算方法，定义了一种新的代数系统－伪群，并进行了初步的讨论。     

一类群体平衡方程的尺度变换群分析及显式精确解

研究了一类既存在增长过程又存在破损过程的群体平衡方程的精确解法。用尺度变换群分析法得到群体平衡方程的部分对称、群不变解和约化积分-常微分方程。用试探函数法探求约化积分-常微分方程,得到群体平衡方程的显式精确解,并分析了该显式精确解的动力学特性。所得群不变解能解释实体模型,显式精确解可检验数值解的正确性和精确度。     

随机截断下PL 估计的强表示式以及密度函数的核估计

本文在随机左截断情形下, 研究了分布函数的乘积限估计(PL 估计) Fn 的一致强表示式, 对文献[ 4] 给出的强表示式的误差项的阶加以改进, 并用此强表示式研究了核密度估计fn(x)的渐近性质.对于渐 近最优窗宽的选择以及MSE 的阶, 得到与完全样本下相同的结果.     

不变平均和拓扑不变平均

设G为局部紧群，在一致连续函数空间U(G)上，用两种方法证明左不变平均和拓扑左不变的等价性．当G是交换群时．给出一种证明其顺从的方法．     

一类非线性奇性方程的奇异摄动边值问题的渐近解

引入伸长变量构造了一类非线性奇性方程的奇异摄动边值问题的形式渐近解，并用微分不等式理论证明了相应问题解的存在性和一致有效性．本文与传统的方法不同之处在于使用了一个简捷而特殊的辅助函数讨论了它的解的渐近性态．