源于课本例题的一个活跃函数——高斯函数

在人教B版必修1教材2.1.2《函数的表示方法》一节中,例题2介绍了一个重要的函数——高斯函数（又叫取整函数）.这个函数常常活跃在高考、各类竞赛试题中,本文在教材的基础上,拓展了这个函数的6个基本性质,例举其在高中数学中的一些应用.一、定义设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,也叫做取整函数,记{x}=x-[x]为x的小数部分.     

源于课本例题的一个活跃函数——高斯函数

<正>在人教B版必修1教材2.1.2《函数的表示方法》一节中,例题2介绍了一个重要的函数——高斯函数(又叫取整函数).这个函数常常活跃在高考、各类竞赛试题中,本文在教材的基础上,拓展了这个函数的6个基本性质,例举其在高中数学中的一些应用.一、定义设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,也叫做取整函数,记{x}=x-[x]为x的小数部分.值得注     

四类取整数列通项性质的探究与应用

函数f（x）：[x]（x∈R）表示不超过实数x的最大整数,称为取整函数．定义在正整数集上的某些类型取整数列的通项是否具有一些特有的性质呢？利用这些类型取整数列的通项性质可以表示哪些类型数列的通项公式呢？笔者发现在近年来的高考和竞赛试题中经常可以找到此类数列问题的影子!本文将展开四类取整数列通项性质的探究,以实例说明其应用．     

取整函数的性质及典型例题剖析

取整函数[x]是一个非常有趣的数论函数，在许多数学分支中都有广泛的应用，在高中数学竞赛和高考试题中也经常出现与取整函数有关的试题．做好此类题目，不仅要掌握清楚取整函数的定义和性质，还要熟悉取整函数的常见题型和求解方法．本文介绍取整函数的定义、基本性质和几类基本题型，供读者参考．     

悄然升温的函数新贵——取整函数

近年来,一些省市调考、联考以及高考数学试卷中,取整函数先是低调出场,接着悄然升温.就命题形式而言,选择题形式的考题有之,填空题形式的考题有之,解答题形式的考题也有之;就试题难易程度而言,容易题有之,中等题有之,难题也有之.下面略举几例.例1(湖北省八校2013届高三第二次联考理科数学第9题)已知x∈R,符号[x]表示不超过x的最大整数,     

高斯函数及其应用

高斯函数[x]是一个特殊的函数，在数学竞赛中经常出现，在近几年高考试题中也偶尔出现．本文介绍高斯函数的定义、基本性质和典型问题，供读者参考．     

聚焦“高斯函数”的交汇性

十八世纪,函数f（x）=[x]被“数学王子”高斯采用,因此得名为高斯函数．“高斯函数”,又叫“取整函数”,其定义简洁、内涵丰富、应用灵活,与数论、组合数学息息相关,在离散数学、计算机算法分析、微积分、竞赛数学等领域得到广泛应用．     

解决高斯函数的函数值问题的策略初探

对于每一个实数x,我们用[x]来表示不大于x的最大整数,并将函数f(x)=[x]称为高斯函数.高斯函数首先是由德国数学家高斯于十九世纪所提出,而后广泛应用于生产生活的各个方面.高斯函数作为一种重要的初等函数,不仅具有简洁的结构和通俗的意义,而且还具有其他初等函数所没有的特性———连续的定义域和离散的函数值域,再加     

浅析含有取整号“[]”的方程的解法

符号[x]表示不超过x的最大整数,又称x的整数部分．解含有取整号“[ ]”的方程是初中数学竞赛中一类常见的题型．本文对其解法进行探讨．例1 (2000年重庆市初中数学竞赛题)若[x]表示不超过x的最大整数,且满足3x 5[x]-49=0,求x．     

数学竞赛中有关高斯函数问题的解法技巧

函数f(x)=[x]叫高斯函数,[x]表示不超过实数x的最大整数。近年来,高斯函数经常活跃在国内外数学竞赛之中,解答这类试题除了用到性质:x-1<[x]≤x及[x+x]=[x]+x(x∈Z)外,还要用到其他的一些特殊技巧,本文例举常用的解法技巧。     

一类上取整函数的极小值问题

针对一类上取整函数f(n,m,k)(x)=nx+m[k/x]研究其极小值问题,通过分区间的方法讨论x取正整数和x≥1的函数最小值,并进行实例分析.     

关于复合函数的一个错误命题

文[1]称：若已知f[g（x）]的定义域为A,则f（x）的定义域就是函数g（x）（x∈A）的值域.错误!例1设函数f（x）=2x,函数g（x）=x2,则复合函数f[g（x）]=2x2.显然,复合函数f[g（x）]的定义域是R,函数g（x）（x∈R）的值域[0,＋∞）,但函数f（x）的定义域是R,而不是函数g（x）（x∈...     

高斯函数[x]在高中数学竞赛中的应用

高斯函数[x]在数论和其他数学分支中有着非常广泛的应用,因此经常出现在高中数学竞赛试题中.在竞赛中经常考查关于[x]的方程、不等式、整除问题、格点问题、组合数问题等等.求解与高斯函数[x]有关的竞赛题虽然不会涉及到很多其他基础知识,但题目比较灵活,而且有较强的技巧性.……     

关于复合函数的一个错误命题

文[1]称:若已知f[g(x)]的定义域为A,则f(x)的定义域就是函数g(x)(x∈A)的值域.错误!例1设函数f(x)=2x,函数g(x)=x2,则复合函数f[g(x)]=2x2.显然,复合函数f[g(x)]的定义域是R,函数g(x)(x∈R)的值域[0,+∞),但函数f(x)的定义域是R,而不是函数g(x)(x∈R)的值     

函数的周期性和对称性

1　周期函数问题设函数 f(x)的定义域为D ,若存在非零常数T ,使得对每个x∈D ,都有 f(x +T) =f(x -T) =f(x)成立 ,则称 f(x)为周期函数 ,T为 f(x)的一个周期 .如果 f(x)的所有正周数中存在最小值T0 ,则称T0 为周期函数 f(x)的最小正周期 .一般说函数的周期通常是指最小正周期 .例 1　判定函数 f(x) =x - [x],x∈R(其中[x]表示不超过x的最大整数 )的周期性并作出其图象 .解　如图 1,我们作出 f(x)的图象 .图 1　例 1图由 f(x)的图像可知 ,当x∈R时 ,f(x) =x -[x]是周期函数 ,且T =1是它的最小正周期 .事实上 ,对x∈R ,有f(x + 1) =x + 1…     

品味取整函数

取整函数[x]是一个非常重要的数学概念,其定义和性质非常简单,正因为如此,在解决与之相关的问题时,可以依据的命题、法则不多,规律性不明显,解法变化大,灵活性强.需要用到多种数学思想方法,其中较为常见的有分类讨论(例如对区间进行划分)、命题转换(例如等式转化为不等式)、数形结合等等.     

从一道高考题，谈一类分段函数题型的求解方法

2002年全国高考数学理科卷中有这样一道题: 第(21)题,设a是实数,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R, (1)讨论f(x)的奇偶性;(2)求f(x)的最小值. 分析:此题中的函数实质是一个分段函数     

上取整函数和小数部分函数的积分公式

基于上取整函数y=〈x〉的定义与图象,给出当a>b时,积分∫ba〈x〉f′〈x〉dx∫,baf(〈x〉)dx的计算公式,当f(x)在[b,a]为单调函数时,积分∫ba〈f(x)〉dx的计算公式以及伴随小数部分函数{x}=〈x〉-x的两个积分公式∫0a{x}dx和∫ba{x}dx,并举例说明其应用.     

有约束的LP逼近的极限

设P是实n维欧氏空间的非空闭子集,函数F(A,x)关于参数A∈P和x∈[a,b]连续。f(x)∈C[a,b],取(F,P)作为对f的逼近函数类。‖·‖R,‖·‖分别表示在[a,b]上的L_(P_k)范数({P_k}为实数列,P_k↑∞)和一致范数。     

平均值函数的性质及应用

设函数 f (x)在 (-∞ , ∞ )上连续 ,当 x≠ 0时 ,我们称 F(x) =1x∫x0 f (t) dt为 f (x)在 [0 ,x]上的平均值函数 ,本文将介绍平均值函数 F(x)的若干性质并举例说明其应用 .一、F(x)的性质性质 1　 f(x)是 [0 ,x](或 [x,0 ])上的有界函数 ,F(x)也是 [0 ,x]或 [x,0 ]上的有界函数 .性质 2　若 f (x)为奇 (偶 )函数 ,则 F(x)也为奇 (偶 )函数 .性质 3　若 f(x)是周期为 T(T>0 )的周期函数 ,则limx→ ∞1x∫x0f (t) dt=1T∫T0f (t) dt (1 )　　　性质 4　若 f(x)为单调递增 (减 )函数 ,则 F(x)也为单调递增 (减 )函数 .性质 5　若对任意…