Inkrementelle Variationsformulierung gewisser nichtlinearer Randwertprobleme,insbesondere in der Elastizitätstheorie

Übersicht Ausgangspunkt sind die beiden (Systeme von) nichtlinearen Differentialgleichungen B(u) = , B _u ^* (u, ) = q und die ihnen zugeordneten Variationsprinzipien, die der Verfasser in [1] entwickelt hat. In der vorliegenden Arbeit werden hieraus die entsprechenden (linearisierten) Relationen für die inkrementellen Größen allgemein hergeleitet, wobei das Indifferenzproblem als Sonderfall auftritt. Die Anwendung wird am Beispiel der nichtlinearen Elastizitätstheorie erläutert.

---

Summary As a basis there are used the two (systems of) nonlinear differential equations B(u) = , B _u ^* (u, ) = q and the corresponding variational principles which had been developed by the author in [1]. From these ones the relevant (linearized) relations for the incremental quantities are generally derived; the problem of indifference is considered as a special case. Implementation is illustrated by the example of nonlinear elasticity theory.

---

---

Herrn Prof. Dr.-Ing. Dr. h. c. H. Neuber zu seinem 70. Geburtstag.     

Lösung von Verzweigungsproblemen und Traglastproblemen bei einer Klasse nichtlinearer Randwertprobleme der Kontinuumsmechanik

Übersicht Eine einparametrige Klasse von Randwertproblemen wird vorgegeben. Es werden die Grundlagen für die Berechnung von kritischen Werten des Parameters dargestellt. Es zeigt sich, daß man dazu i. a. ein nichtlineares Eigenwertproblem zu lösen hat. Insbesondere wird eine Klasse nichtlinearer Stoffgesetze diskutiert, bei der man zur Ermittlung von kritischen Werten des Parameters ein lineares Eigenwertproblem zu lösen hat. Die sich hieraus ergebenden Möglichkeiten werden anhand der Lösung von zwei unterschiedlich scheinenden Problemstellungen verdeutlicht: Zunächst wird das Problem der Imperfektions-sensitivität einer radial gedrückten Kreisplatte behandelt. Anschließend wird in derselben Verfahrensweise die Traglast eines über einen glatten, flachen Stempel belasteten Halbraums ermittelt.

---

Solution of bifurcation problems and limit load problems in certain non-linear boundary-value problems of continuum mechanics

Summary A one parameter class of boundary-value problems is considered. The theoretical foundation for the calculation of critical values of the parameter is summarised. It turns out that in general the calculation of critical values of the parameter leads to a nonlinear Eigenvalue problem. In detail a class of nonlinear material laws is discussed where the calculation of critical values of the parameter leads to a linear Eigenvalue problem. As applications of the method derived in this paper first the problem of the imperfection sensitivity of a circular plate is studied. Second, the limit load problem of a plane semi-infinite medium indented by a smooth flat die is solved.

---

---

Diese Arbeit ist im Rahmen der Tätigkeit des Verfassers in der von der Deutschen Forschungsgemeinschaft geförderten Forschergruppe Felsmechanische Elemente und Systeme entstanden     

Randwertprobleme der mathematischen Akustik

Ohne Zusammenfassung     

Zur Stabilität einfach besetzter Wellen mit nichtlinearer innerer Dämpfung

Übersicht Die destabilisierende Wirkung linearer innerer Dämpfung bei einfach besetzten Wellen ist allgemein bekannt. Innere Dämpfungskräfte lassen sich aber im allgemeinen nicht mit linearen Ansätzen beschreiben, sondern nur mit einer nichtlinearen Darstellung mehr oder weniger gut erfassen. In dieser Arbeit werden nichtlineare innere Dämpfungskräfte und nichtlineare Rückstellkräfte angenommen, die Stabilität der Welle bei vertikaler und horizontaler Achse untersucht und auch nichttriviale stationäre Lösungen betrachtet. Die dafür erhaltenen Ergebnisse bestätigen teilweise das von Tondl gefundene Verhalten.

---

Summary The destabilizing effect of linear inner damping on rotating shafts with a single disc is well-known. Inner damping forces can however in general not be well described by linear functions, but may only be reproduced with some accuracy with nonlinear terms. In this paper, nonlinear inner damping as well as nonlinear restoring forces are considered, the stability of the vertical and of the horizontal shaft are discussed and non-trivial stationary solutions are also examined. The obtained results confirm to a certain extent the behavior of a rotating shaft found by Tondl.

---

---

Herrn Professor Dr.-Ing. K. Klotter zum 75. Geburtstag gewidmet.     

Entkopplung nichtlinearer Schwingungen

Übersicht In dieser Arbeit wird die Entkopplung nichtlinearer Eigenschwingungen durch kanonische Transformationen untersucht. Zunächst werden die Bewegungsgleichungen durch die bekannte lineare Transformation in den linearen Gliedern entkoppelt. Die vollständige Entkopplung durch kanonische Transformation ist dann besonders einfach. Bei kleinen Nichtlinearitäten folgt diese Transformation aus der Lösung einer linearen inhomogenen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung. Alle Lösungen einer nichtlinearen unsymmetrischen Schwingerkette werden so angenähert berechnet.

---

Summary In this paper the decoupling of nonlinear vibration is investigated by means of canonical transformation. First the linear terms in the equations of motion are decoupled by use of the well-known linear transformation. Then the complete decoupling by means of canonical transformation is very simple. In case of small nonlinearities this transformation is a corrollary of the solution of a linear inhomogeneous partial differential equation of first order. All solutions of a nonlinear nonsymmetric chain oscillator can be calculated approximately by this way.

     

Kinematische Untersuchung geometrisch nichtlinearer Stabtragwerke

Übersicht Die Analyse des Verformungszustandes nichtlinearer Stabtragwerke ermöglicht die Aufspaltung der Gesamtverformung in einen Starrkörper- und einen Deformationsanteil. In Verbindung mit der Finite-Element-Methode können auf diese Weise nichtlineare Systeme mit Hilfe linearer Elemente und nichtlinearer Kinematik berechnet werden.

---

Summary Analysing the deformation of nonlinear beam structures, you can divide the total deformation into two parts, one representing rigid body motion, the other representing only strain deformation. Using finite element method, nonlinear systems may be calculated by means of linear elements and nonlinear kinematic functions.

     

Tensor-orientierte Formulierung nichtlinearer,finiter Schalenelemente

Übersicht In unmittelbarer Anlehnung an die Tensorformulierung geometrisch nichtlinearer Flächentrag-werkstheorien werden besonders genaue, finite Weggrößenmodelle hergeleitet. Sie sind für beliebige Schalen-formen einsetzbar und dienen insbesondere zur Simulation kritischer und überkritischer Systemantworten. Der vorliegende Aufsatz beschreibt die Herleitung der Elemente und überprüft deren Konvergenzverhalten und Leistungsfähigkeit.

---

Tensor-oriented formulation of nonlinear, finite shell elements

Summary In accordance with the tensor formulation of geometrically nonlinear shell theories high precision finite displacement models will be developed. They can be applied to arbitrarily curved shell shapes and are especially able to simulate critical and supercritical mechanical responses. The paper describes the derivation of the elements and investigates their convergence behavior and efficiency.

     

Potentialtheoretische Randwertprobleme bei Tensorfeldern beliebiger Dimension und beliebigen Ranges

Ohne ZusammenfassungHerrn Prof. Dr. Ludwig Biermann zum 65. Geburtstag gewidmet Vorgelegt von H. Görtler Diese Arbeit entstand am Max-Planck-Institut für Physik und Astrophysik, München.     

Die Berechnung nichtlinearer Schwingungen mit finiten Raum-Zeit-Elementen

Übersicht Ein numerisch stabiles Verfahren für die Berechnung großer linearer dynamischer Systeme [5] wird zur Lösung nichtlinearer Schwingungen herangezogen. Die Anwendungen auf nichtlineare Balken- und Netzwerkschwingungen zeigen, daß die Zeitschritte gegenüber Argyris [1] erheblich vergrößert werden können.

---

Summary An unconditionally stable method for the computation of large linear dynamic systems [5] is applied to the solution of nonlinear oscillations. The computation of nonlinear oscillations of beams and networks shows that time-steps can be considerably increased compared with Argyris [1].

     

Iterationsverfahren zur Lösung nichtlinearer Stabprobleme

Übersicht In der vorliegenden Arbeit werden Alternativen gezeigt, wie nichtlineare Stabprobleme numerisch iterativ gelöst werden können. Die Nichtlinearität bezieht sich sowohl auf die Gleichgewichtsbedingungen als auch auf das Stoffgesetz. Die geometrischen Beziehungen sind linear. Die numerischen Ergebnisse zweier Beispiele mitgeteilt.

---

Summary In this paper there are shown alternative iteration techniques for solving numerically nonlinear problems of bars. The equilibrium conditions and the material law are assumed to be nonlinear. The geometric relations are linear. The numerical results of two examples are given.

     

Randwertprobleme für die zeitunabhängigen Maxwellschen Gleichungen mit variablen koeffizienten

Ohne Zusammenfassung Vorgelegt von A. Erdélyi     

Analytische Näherungen und physikalische Deutung nichtlinearer Schwingungen mit inneren Resonanzen

Übersicht In dieser Arbeit werden innere Resonanzen nichtlinearer Schwingungen analytisch genauer untersucht und physikalisch gedeutet. Die klassische kanonische Störungsmethode wird erweitert, so daß mit ihr auch angenäherte innere Resonanzen analytisch erfaßt werden können. Als Beispiel wird eine symmetrische Schwingerkette betrachtet, deren Instabilitäten durch innere Resonanzen erklärt werden.

---

Analytical approximations and physical interpretation of nonlinear vibrations with internal resonances

Summary In this paper internal resonances of nonlinear vibrations are analytically investigated and physically interpreted. The classical canonical perturbation method is generalized in such a manner that nonlinear vibrations in near internal resonances can be analytically calculated too. As an example a symmetrical system with two degrees of freedom is considered and the instabilities of this system can be explained by internal resonances.

     

Eine einfache Konstruktion von Koordinatenfunktionen für die numerische Lösung zweidimensionaler Randwertprobleme nach Rayleigh-Ritz

Übersicht Um mit dem Verfahren von Rayleigh-Ritz brauchbarc Näherungslösungen zweidimensionaler linearer Randwertaufgaben zu erhalten, benötigt man oft eine große Zahl linear unabhängiger Koordinatenfunktionen. Diese müssen den wesentlichen Randbedingungen des Variationsproblems genügen und sollten, im Hinblick auf den numerischen Rechenaufwand, zu einem gut konditionierten und rasch aufzubauenden Gleichungssystem für die Parameter des Ritzschen Näherungsansatzes führen. Die hier mitgeteilte Konstruktion von Koordinatenfunktionen, die solche Forderungen optimal erfüllen, beruht auf der Lösung eines zweidimensionalen Interpolationsproblems. In den Knotenpunkten eines rechteckigen Netzes sind die Werte der zu interpolierenden Funktion und ihrer partiellen Ableitungen bis zu einer bestimmten Ordnung als Stützwerte der Interpolation vorgeschrieben. Über jeder rechteckigen Masche des Netzes können dann ganze rationale Funktionen gleichhoher Ordnung angegeben werden, welche die in den Eckpunkten vorgegebenen Stützwerte annehmen und sich von Masche zu Masche stetig und mit stetigen Ableitungen bis zu einer gewissen Ordnung aneinander anschließen. Verwendet man die Stützwerte der Interpolation als Parameter des Ritzschen Näherungsansatzes, so wird die Lösung der Randwertaufgabe über ihrem Bereich mosaikartig approximiert.

---

Summary In order to obtain suitable approximate solutions of two-dimensional boundary problems by the Rayleigh-Ritz method frequently a great number of linear independent and admissible coordinate functions is required. They have to satisfy the essential boundary conditions of the variational problem and are expected to yield a well conditioned and rapidly built up set of linear equations for the undetermined constants in the Ritz minimising sequence. Our method to realize such demands is based on the solution of a two-dimensional interpolation problem. In the knots of a rectangular net the values of the function and of its partial derivatives up to a definite order are prescribed as the pivots of the interpolation. Above every singular mesh of the net polynomials of equal degree can be set up which take the pivots in the four corners and represent from one mesh to another above the whole net a smooth surface with continous partial derivatives up to a required order n. The (n + 1)² pivots in every net-point are used as the undetermined constants in the Rayleigh-Ritz method and thus the solution of the boundary problem is approximated by tesselated polynomials of restricted degree.

     

Kombinationsresonanz und Instabilitätsbereiche zweiter Art bei parametererregten Schwingungen mit nichtlinearer Dämpfung

Übersicht Bei parametererregten Schwingungen mit nichtlinearer (kubischer) Dämpfung wird der Resonanzfall untersucht, in dem die Erregerfrequenz gleich der Summe zweier Eigenfrequenzen der ungedämpften freien Schwingungen ist. Dazu wird die erste Näherung der asymptotischen Methode nach Bogoljubow und Mitropolski benützt. Bei der Stabilitätsuntersuchung der trivialen Lösung ergibt sich ein kritischer Fall, in dem das Stabilitätsverhalten mittels eines von Salvadori angegebenen Verfahrens nach der zweiten Methode von Ljapunow untersucht wird. Es zeigt sich dabei im besonderen, daß die nichtlineare Dämpfung eine Erweiterung der Instabilitätsbereiche zur Folge hat, ähnlich der, die im Falle linearer Dämpfung eintritt, wie Schmidt und Weidenhammer nachgewiesen haben.

---

Summary In this paper, parametrically excited vibrations with nonlinear (cubic) damping are examined for that case of resonance in which the exciting frequency is equal to the sum of two of the natural frequencies of free undamped vibration. Here, the first approximation according to the asymptotic method of Bogoliubov and Mitropolski is used. The stability investigation indicates a critical case, which is solved by Liapunov's second method by use of a procedure given by Salvadori. It is particularly shown that nonlinear damping causes widening of the instability regions similar to that shown by Schmidt and Weidenhammer for the case of linear damping.

     

Ein Mehrschrittverfahren für einen Torsionsschwingungsdämpfer mit nichtlinearer viskoelastischer Flüssigkeit

Übersicht Die nichtlineare viskoelastische Dämpferflüssigkeit wird unter Verwendung eines faktorisierten Einfachintegral-modells beschrieben. Die Bewegungsgleichung führt zusammen mit dem Stoffgesetz auf eine gewöhnliche Integrodifferentialgleichung mit Anfangsbedingungen, die numerisch mit einem Mehrschrittverfahren gelöst wird. Die numerischen Ergebnisse zeigen den Einfluß der Amplitude und der Frequenz einer anregenden Schwingung auf das Dämpfungsverhalten. Die erreichbaren optimalen Dämpfungen weichen dabei erheblich von den Dämpfungen ab, die man für ein hypothetisches inelastisches Fluid mit denselben viskosen Eigenschaften berechnet.

---

A multistep method for a torsional damper with non-linear viscoelastic fluid

Summary We use a factorized single integral model to describe the non-linear viscoelastic liquid. The equation of motion together with the constitutive equation results in an ordinary integro-differential equation under initial conditions. For the numerical treatment we use a multistep method. The numerical results show the damping under the influence of various applied amplitudes and frequencies. The calculations also indicate that the optimal damping is drastically different to the damping of a hypothetical inelastic fluid with the same viscous properties.

     

Kinetische Stabilitätstheorie elastischer Stäbe unter Beachtung nichtlinearer Krümmungen und Torsion

Übersicht Unter Berücksichtigung nichtlinearer Terme sowohl in den Krümmungen als auch in der Torsion wird mit Hilfe des Prinzips von Hamilton das beschreibende Randwertproblem für kinetisches Kippen elastischer, querbelasteter Stäbe formuliert. Mittels der Methode der kleinen Schwingungen werden die zugehörigen Stabilitätsgleichungen hergeleitet, die bisher bekannte Beziehungen ergänzen. Das Beispiel des einfachsten Biege-Kipp-Problems illustriert die verbesserte Wirkung der vorgeschlagenen Gleichungen.

---

Summary Considering non-linear terms in the curvatures as well as in the twist the governing boundary value problem for lateral bending of elastic, transverse loaded rods are formulated by means of Hamilton's principle. Using the method of small vibrations the associated linearized equations of stability are derived, which complete the currently accepted relations. The example of the simplest lateral bending problem illustrate the improved effect of the proposed equations.

     

Das Digitale Beukenmodell mit nichtkonstanten Koeffizienten — eine Matrixmethode zur Lösung nichtlinearer Ausgleichsvorgänge

Zusammenfassung Mit Hilfe des Digitalen Beukenmodells mit nichtkonstanten Koeffizienten lassen sich ein- und mehrdimensionale Ausgleichsvorgänge berechnen. Besonders einfach ist das Verfahren, wenn nur die Wärmeleitfähigkeit von der Temperatur oder der Diffusionskoeffizient von der Konzentration abhängig ist. Der Hauptvorteil des Digitalen Beukenmodells liegt in der einfachen Handhabung. Für viele praktische Fälle kann die Rechenzeit gegenüber dem herkömmlichen reinen Differenzenverfahren entscheidend verkürzt werden. Das Digitale Beukenmodell mit nichtkonstanten Koeffizienten ist die genaueste Rechenmethode für nichtlineare Ausgleichsvorgänge.

---

The digital Beuken-Model with non-constant coefficients — a matrix method for the solution of non-linear diffusion processes

By the help of the digital Beuken-Model with nonconstant coefficients it is possible to compute one- or multidimensional diffusion processes. Especially simple is that method, if only the thermal conductivity depends on the temperature or if the diffusion coefficient depends on the concentration. The main advantage of the digital Beuken-Model is its simple handling. In many practical cases the computing time can be shortened decisively to the traditional difference methods. The digital Beuken-Model with non-constant coefficients is the most exact computing-method for the solution of nonlinear diffusion processes.