巧用“ 中位线”,构架解题桥梁

三角形“中位线”的性质定理在几何求解题中的应用比较广泛,中考常考.在大多数题目中,“中位线”的组成,大多不是完整地表现出来,需要我们在解题时,能够抓住题目中的已知信息,补全三角形“中位线”的残缺部分,以此作为添加辅助的方法,构造解题桥梁,从而达到快速解题.下面试举几例,以示说明.     

三角形中位线定理应用例谈(上)

<正>(一)基础知识连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形的中位线,平行于第三边并且等于第三边的一半.这就是众所周知的三角形中位线定理.已知:如图1,△ABC中,D、E分别是边AB和AC的中点.求证:DE∥BC,且DE=1/2BC.证明连接CD,     

三角形中位线定理的多种证法

定理三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.已知:如图1,DE是△ABC的中位线.求证:DE∥BC,DE     

三角形中位线定理的另一证法

三角形中位线定理是:“三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半”.课本(人教版初二几何)在证明“三角形中位线定理”时,采用了“同一法”,方法如下: 如图1,DE是△ABC的一条中位线.如     

三角形中位线定理在证明四边形问题中的应用

应用三角形中位线定理证明四边形的有关问题 ,经常要用“取中点 ,连中位线”的方法 ,但到底在什么地方取中点 ,怎样利用中位线呢 ?这就是我们要研究解决的问题 .例 1　如图 ( 1 ) ,在四边形ＡＢＣＤ中 ,Ｅ为ＡＢ上一点 ,△ＡＤＥ和△ＢＣＥ都是等边三角形 ,ＡＢ ,ＢＣ ,ＣＤ ,ＤＡ的中点分别为Ｐ ,Ｑ ,Ｍ ,Ｎ .求证 :四边形ＰＱＭＮ是菱形 .分析 :欲证ＰＱＭＮ为菱形 ,即证明ＰＱ =ＱＭ =ＭＮ =ＮＰ .由已知Ｐ ,Ｑ ,Ｍ ,Ｎ分别是四边形的中点 ,想到它们可能分别是三角形的中位线 .为此 ,先构造三角形 ,因而连结ＡＣ ,ＢＤ ,可推出ＰＱ =ＭＮ…     

三角形与其内接三角形相似的条件

本文约定,如果三角形的三个顶点分别位于另一个三角形的三条边(不含端点)上,则称前者为后者的内接三角形.作为原三角形的衍生三角形,内接三角形具有"模型"意义,值得研究. 举例来说,以三角形三条中位线为边的三角形(称为中位三角形),是原三角形的内接三角形.     

发现、探究和掌握三角形中位线的性质定理

怎样发现和探求三角形中位线性质呢?我们常采用"观察、实验、猜想、验证、证明"的方法.这是一种科学的思维方法,也是我们获取知识的重要方法.如图1,△ABC中,DE是中位线.探求三角形中位线的性质,即探求图1中DE和BC的数量和位置关系我们很容易直觉观察到DE∥BC;用测量的方法可以得到DE=12BC.但这是一个特定的三角形,由此我们还不能得出猜想.     

折叠问题的三个层次

图形的翻折(折叠),实际上是图形的轴对称变换.近年来,折叠问题在中考中频频出现,其题型灵活,从考察空间想象能力及动手操作能力的实践操作题,到直接运用折叠相关性质的说理计算题,发展到去年和今年大量基于折叠操作的综合题甚至是压轴题,考查的着眼点日趋灵活,能力立意的意图十分明显!一、折叠操作题:例1(2006江阴)如图,把一个边长为1的正方形经过三次对折后沿中位线(虚线)剪下,则右图展开得到的图形的面积为()A.43B.21C.83D.136解析:连续折叠三次后得到的是一个三角形,根据相似三角形的性质,沿中位线剪掉的三角形是整个三角形面积的41,剩…     

梯形问题中添加辅助线解题例析

在平面几何的计算题或证明题中,往往通过添加辅助线把复杂问题简化。梯形问题更是如此,常常添加适当辅助线,使其转化为三角形、平行四边形问题。下面谈谈梯形问题中几种常用的辅助线,供读者参考。 1.添对角线,割成两个三角形 例1 已知:如图(1),在梯形ABCD中,AB∥CD,ADBC=CD,∠A=60°.求证:CD=1/2AB。 分析:我们通常利用“三角形中位线定理”和在“直角三角     

三角形中位线定理应用例谈

连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形的中位线,平行于第三边并且等于第三边的一半.这就是众所周知的三角形中位线定理.对于直角三角形ABC中,∠C=90°,设M为斜边AB的中点,则称MC为斜边上的中线.     

小题不小 解法多彩 ——对一道中考填空题的解法探析

2015年无锡市中考试卷中的一道填空题,看似简单,却简约而不简单,它可从不同角度思考,添加不同的辅助线,使解法多姿多彩. 一、试题呈现 已知:如图1,AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线,AD上BE,AD=BE=6,则AC的长等于_. 此题以三角形为背景,中线、角平分线为依托,综合考查了中线性质、角平分线性质、等腰三角形等重要知识点,以及构造相似三角形、全等三角形、特殊四边形等解决问题的能力,综合性较强. 二、解法探析 本题属于一道中档填空题,具有一定的难度,思维含量较高.根据题意,解答时可从中点的角度人手,联想到中线倍长法、构造中位线等,由垂直可构造平行线或特殊四边形等,从不同的角度思考、分析,可以探索出多种解题的思路,现列举如下.     

三角形中构造等腰三角形问题

<正>在三角形所在平面内画一条直线,使分割成的两个三角形中有一个是等腰三角形.拿一张特殊等腰三角形纸片剪两刀,使剪成的三个三角形都是等腰三角形.近年来中考中,出现了上述两种情况的问题.这类问题看似是画图问题或操作问题,实质上仍是推理分析问题.解答它们,离不开等腰三角形的有关知识.现举例介绍如下:例1(2014年无锡市)已知△ABC的三条边长分别为3、4、6,在△ABC所在平面内     

利用全等三角形证题

学习全等三角形,除了要理解和掌握全等三角形的概念、判定和性质外,还要学会利用全等三角形证题.下面以近几年全国各省市的中考题为例予以说明,以供参考.一.直接证直接利用两个三角形全等证明两条边或两个角相等.例1　已知:如图1,点Ｄ,Ｅ在△ＡＢＣ的边ＢＣ上,ＢＤ=ＣＥ,ＡＢ=ＡＣ.求证:ＡＤ=ＡＥ.(2001年广西中考题)证明:在△ＡＢＣ中,∵ＡＢ=ＡＣ,∴∠Ｂ=∠Ｃ.在△ＡＢＤ和△ＡＣＥ中,∵ＡＢ=ＡＣ(已知),∠Ｂ=∠Ｃ(已证),ＢＤ=ＣＥ(已知),∴△ＡＢＤ≌△ＡＣＥ(ＳＡＳ).∴ＡＤ=ＡＥ(全等三角形的对应边相等).例2　如图2,在正三角形ＡＢＣ…     

锐角三角函数在计算圆的半径中的应用

<正>已知三角形一边和对角可以计算三角形外接圆半径,附加三角形为等腰三角形条件,可以确定三角形内切圆的半径.例1(2012年湖北武汉中考第22题)在锐角△ABC中,BC=5,sinA=4/5,(1)如图1,求△ABC的外接圆的直径;(2)如图2,点I为△ABC的内心,若BA=BC,求AI的长.     

利用对称性处理线段中点问题

众所周知,在初中阶段处理线段中点问题时用得最多的方法是考虑中位线,但在解题实践中我们也发现,许多与线段中点有关的问题(特别是一些竞赛试题),用中位线定理去处理往往是不尽人意或根本做不出。相反若以线段中点为对称中心去构造中心对称型全等三角形,却常能使问题得到简捷的解     

梯形中位线定理的证法举隅

培养正确迅速的运算能力 ,逻辑思维能力 ,空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力是中学数学教学中的一个重要任务 ,要完成这一任务 .必须演算一定数量的题目 .但不少同学在演算习题时只追求数量而忽视有目的的总结、归纳 ,抓不住基本解题规律 ,这样尽管用了不少时间 ,费了很大精力 ,结果收效甚微 .本文以梯形中位线定理的证法来阐述知识的综合运用 .如图 1所示 ,已知 :在梯形ＡＢＣＤ中 ,ＡＤ∥ＢＣ ,ＡＭ =ＭＢ ,ＤＮ =ＮＣ ,求证 :ＭＮ∥ＢＣ ,ＭＮ =12 (ＡＤ+ＢＣ) .分析 1 :利用三角形中位线定理来证 .证法 1 :(略 ,参见初二《几何…     

证一个结论,少一点遗憾

<正>人教版数学八年级上《三角形》一章第一节中"三角形的有关线段"的内容,教材通过让学生作图,得到了三个重要的直观的结论:三条角平分线交于一点;三条中线交于一点;三角形的三条高交于一点.前二个结论分别在角平分线性质和判定及三角形的中位线的学习内容中得到了证明,只有最后一个结论,在课     

如何根据比例式找两个三角形相似

<正>很多学生遇到等积式,都会将等积式化为比例式.但是如何根据比例式去推断要证明哪两个三角形相似,是题目的重点和难点.现从一道中考真题出发,探究需要证明哪两个三角形相似.1原题呈现(2016年深圳中考)如图1,已知⊙O的半径为2,AB为直径,CD为弦,AB与CD交     

中点四边形的判定与性质

<正>中点四边形是依附于原四边形产生的一类特殊的四边形,不同的原四边形其中点四边形形状不同.人教版八年级数学下P_(68)第9题给出了其定义:"我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形".研究中点四边形,一般是通过连接对角线把四边形中的问题转化为三角形问题,运用三角形中位线定理解决.现将中点四边形的判定与性质作如下归纳:一、中点四边形的判定     

相似三角形开放型题解析

相似三角形开放型问题在全国各地的中考试卷中都能见到,本文选析几例供读者参考.例1 (2006年安徽省)如图1,已知△ABC、△DEF均为正三角形,D、E分别在AB、BC上,请找出一个与△DBE相似的三角形并证明.