递推数列的通项求法例析

在必修5《数列》P69T6:已知数列{a_n}中,a₁=5,a₂=2,a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3）对于这个数列的通项公式作一研究,能否写出它的通项公式?这是一道已知数列的递推式,求数列的通项公式,而且涉及到三个量的关系,它是本章内容的一个提升.本文试从这道题的类型展开加以研究.     

妙解三例

<正>等差数列{a_n},其通项可以统设为a_n=An +B,（其中A=d,B=a₁-d）,前n项和可以统设为S_n=An²+Bn,（其中A=（d/2）,B=a₁-（d/2））,灵活运用这个公式,可使解题变得简单,快捷.例1若数列{a_n}为等差数列,a_p=q,a_q=     

2023年天津高考数学数列题的解法及拓展

<正>今年高考结束后和一个天津考生交流,他说今年的第19题数列题“有点儿怪”．下面我们就来看看这道题．1原题及解法分析题目已知{a_n}是等差数列,a₂+a₅=16,a₅-a₃=4.(1)求{a_n}的通项公式和■     

用整数函数求一类递推数列前n项和

<正>问题设数列{a_n}的前m项为a₁,a₂,…,a_m,且a₍n+m₌a_n+d（n=1,2,…）,d为非零常数,求数列{a_n}的前n项之和S_n.这类递推数列的求和问题,是求递推数列前n项和中难度最大的问题.为此,本文以实例来说明它的求     

对一个数列问题的探究

在数列学习过程中,有这样一个问题:已知各项均为正数的数列{a_n},其前n项和S_n满足4S_n=（1+a_n）²,求其首项和通项公式.这个问题的解决并不难,将n=1代入,可得首项a₁=1,用4S_n=（1+a_n）²减去4S_n-1=(1+a_n-1)²（n>1）,得a_n=a_n-1+2或a_n=-a_n-1（n>1）,因为该数列各项均为正数,所以a_n=-a_n-1不成立,得a_n=a_n-1+2（n>1）,为等差数列,所以a_n     

由递推式a_(n+1)=pa_n+f(n)求通项的方法

一、引子 线性递推式an+1=pan+q(p,q为常数)的启示. 常见线性递推公式an+1=pan+q(p,q为常数)求数列通项公式的基本思路是由待定系数法构造等比数列,令an+1+a=p(an+a),得a=q/p-1(p≠1),从而有an+1+q/p-1=p(an+q/p-1),数列{an+q/p-1}为等比数列,则数列通.项公式易得. 受以上解题启发,我们可以求以下相关数     

放缩的方法探究

<正>考题(2014年新课标全国卷Ⅱ第17题)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.(1)证明:{an+1/2}是等比数列,并求{an}的通项公式;(2)证明:1/a1+1/a2+...+1/an<3/2.不难证得(1)数列{an+1/2}是以3/2为首项,     

一道数列问题解法分析

<正>某省2017年高中毕业生复习统一检测文科数学试题第17题和所给问题(1)的参考解答如下:题目"已知数列{a_n}中,a_n²+2a_n-n2+2a_n-n²+2n=0(n∈N+),(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{a_n}的前n项和".(1)的参考解答"由a_n2+2n=0(n∈N+),(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{a_n}的前n项和".(1)的参考解答"由a_n²+2a_n-n2+2a_n-n²+2n=0,得(a_n-n+2)(a_n+n)=0.∴a_n=n-2或a_n=-n.     

由数列和的关系求数列

在给定的条件下 ,求数列的通项、数列的前n项和等问题是数列中非常重要的一个类型 .当已知条件与数列前n项和有关时 ,这类问题的解决比较复杂 ,它也是数列教学中的难点 .那么 ,能否给出一种统一的求解方法呢 ?1　由条件Sn=f(t)Sn- 1 + g(t) (t∈R ,n≥ 2 )求数列例 1　设数列 {an}的首项a1 =1 ,前n项和Sn 满足 3tSn=( 2t+ 3)Sn - 1 + 3t (t >0 ,n≥ 2 ) .求数列 {an}的通项公式以及前n项和Sn.分析　求数列 {an}的通项公式an,常用的方法有两种 .第一 ,证明数列 {an}为等差或等比数列 ;第二 ,求出数列 {Sn}的通项公式Sn,由an=Sn-Sn- 1 可…     

数列问题的解法与背景探析

<正>题目(2013年广东省高考理科数学第19题)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,2S_n/n=a_(n+1)-1/3n²-n-2/3,n∈N2-n-2/3,n∈N^*.(1)求a2的值;(2)求数列{an}的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有1/a_1+1/a_2+…+1/a_n<7/4.本题考查了递推公式、等差数列的概念、通项公式、裂项相消法求数列的前n项和、放缩法证明不等式等知识.要求a2,需要建立关于a2的方程,考查了方程思想.要求数列的通     

求数列通项的题型分析及方法总结

<正>求数列通项是数列部分的一种常考题型,本文中对求数列通项的题型进行分类总结,给出六种求解方法:累加法、累乘法、裂项相消法、特征根法、对数构造法、换元构造法.1 累加法形如a_n+1=a_n+f(n)或a_n+1-a_n=f(n)的递推数列,其中f(n)是关于n的函数.对于该类数列的通项求解可采用累加法.具体方法如下:将a_n+1=a_n+f(n)列举为■将(n-1)个式子左右两边对应相加,得a_n+1-a₁=f(1)+f(2)+……+f(n),进而可求得该数列的通项公式.     

递推数列寻找特根(续)——从2010年全国卷Ⅰ第22(1)说起

下题由2010年全国1卷第22(1)题改编,求数列{bn}改成了求数列{an}的通项公式. 题3 已知数列{an}中,a1=1,an+1=5/2-1/an.求数列{an}的通项公式. 求根 设递推式an+1=5/2-1/an的特征方程s=5/2-1/s,解之得s1=2或s2=1/2.     

构造等比数列求一类数列的通项公式

<正>数列的通项公式是数列的基础知识,根据数列的递推公式求其通项公式,常见求法有累加法、累乘法、a_n与S_n的关系,以及构造法.对于"已知数列{a_n}满足:a_1=a,a_2=b,且pa_n+qa_(n+2)=ha_(n+1),求该数列的通项公式"这类问题,在数学竞赛中出现的较多,它的难度取决于系数p,q,h的取值情况,现笔者就这类问题利用构造等比数列对各种情况进行分析来探求求该数列通项的一个通法.1.实例分析     

构造常数数列解决数列问题

<正>常数数列是公差为零的等差数列,而且各项非零的常数数列是公比为1的等比数列.所以常数数列具有等差数列与等比数列的双面身份,我们可以借助常数列的特殊性质帮助解题.1.构造常数数列推导等差(或等比)数列通项公式例1已知{a_n}是公比为q的等比数列,求它的通项公式与(当q≠1时的)前n项和公式.     

新题征展(125)

A 题组新编 1.(1)设数列{an}由a1=5,a2=23,an+2=5an=1-an(nΕN*)确定. ①求证{an+1-5-√21/2an}是等比数列; ②求数列{an}的通项公式. (2)若把无理数(5+√21/2)2011写成小数,求其个位数字及十分位、百分位上的数字.     

2004年全国高考文科第18题另证

20 0 4年全国高考文科第 1 8题是 :已知数列 {an}为等比数列 ,a2 =6 ,a5=1 62 .(Ⅰ )求数列 {an}的通项公式 ;(Ⅱ )设Sn 是数列 {an}的前n项和 ,证明Sn·Sn + 2S2 n+ 1≤1 .分析 :本题主要考查等比数列的概念、前n项和公式等基础知识 ,考查学生综合运用基础知识进行运算的能力 .对第 (Ⅰ)问只需要用等比数列的通项公式即可解决 ,易得an=2·3n -1 .对第 (Ⅱ )问 ,可由 (Ⅰ )知 ,所证不等式等价于Sn·Sn + 2 ≤S2 n+ 1 ,高考命题组给出的标准证法是用均值不等式证明的 ,但事实上 ,上述不等式等号是取不到的 ,即我们只须证Sn·Sn + 2 相似文献   

蛛网图的深化及应用

<正>对一阶递推关系式a_n+1=f(a_n)而言,函数y=f(x)称为数列{a_n}的递推(迭代)函数,a₁为递推初值.利用递推函数:y=f(x)与直线y=x的图像可以方便、直观地研究数列{a_n}的相关性质.这种形象、便捷的方法称之为蛛网图.     

构造常数数列求通项

<正>在数列{b_n}中,若b_n+1=b_n(n∈N﹡),则数列{b_n}为常数数列,其通项公式是b_n=b_1,在求某些递推数列的通项公式时,若能构造出一个新的常数数列,便能简便的求得通项公式.1.我们知道等差数列的通项公式为a_n=a_1+(n-1)d,我们可以用构造常数数列的方法求这个通项公式.     

求一类数列通项公式的思路

学习数列知识以后 ,如何求数列的通项公式是学生必须掌握的内容 .求数列的通项公式主要有以下三种类型 :一是给出数列的前几项 ,求通项公式 ;二是给出了数列的前n项和Sn 和通项an 的关系求通项公式 ;三是由递推关系求通项公式 .尤其是第二类成为考查求通项公式的主流 ,这类题目的解决办法是充分利用化归的数学思想 ,实现项an 与和Sn 的有机转化 ,最终求出数列 {an}的通项公式 .例 1　在数列 {an}中 ,已知Sn=3+2an,求an.解　当n =1时 ,由a1=S1=3+ 2a1,得a1=- 3.思路 1 :把已知条件中的项an 转化成和Sn.利用an=Sn-Sn -1(n≥ 2 ) ,则条件变…     

等比数列的一个定理及其应用

本刊 1 999年第 1 1期文 [1 ]通过课本一道习题 ,探讨了递推数列问题的化归解法 ,充分挖掘了课本习题教学价值 .但本人发现应用本文给出等比数列的一个定理 ,可以使这类常见的由递推公式求通项公式的问题获得简捷、统一的解决 .定理　如果由数列 {ａｎ}的项构成的新数列 {ａｎ 1-ｋａｎ}是公比为ｌ的等比数列 ,则相应的数列 {ａｎ 1-ｌａｎ}是公比为ｋ的等比数列 .证　数列 {ａｎ 1-ｋａｎ}是公比为ｌ的等比数列 ａｎ 1-ｋａｎ=ｌ(ａｎ-ｋａｎ -1) ａｎ 1-ｌａｎ=ｋ(ａｎ-ｌａｎ -1) 数列 {ａｎ 1-ｌａｎ}是公比为ｋ的等比数列 .该…