利用图式理论指导中学数学教学

1 图式理论概述 图式理论(Schema Theory)是认知心理学研究的一个重要方面,它是一种关于人的知识是怎样表征出来,以及关于知识的表征如何以特有的方式有利于知识的应用的理论.按照该理论,人脑中保存的一切知识都能分成单元、构成"组块"和组成系统,这些单元、"组块"和系统就是图式(Schema).它的表征形式是命题、表象、线性排序等,是对一般概念的有意义信息形成的一个集合体.这里的一般概念可以是客体的类目,如数学中的三角形、等比数列、二次函数等;也可以是一个事件的类目,如解三角形、计算数列的和、求函数的极值等等.无论什么主题,图式中总是包含那个类目中的所有客体或事件所共有的某些特征,例如,"三角形"的图式就包含了我们所熟知的特征,如三条边、封闭的、二维的及其表象"△"等信息.因此,图式实质上是一种关于知识的认知模式.图式具有以下主要特征.     

基于“CPFS结构”的“立方根”概念教学

学者喻平先生提出了数学学习心理的“CPFS结构”,“CPFS结构”是一组“概念域、概念系、命题域、命题系”的简称.喻先生认为:一个数学概念C的所有等价定义的图式,叫做概念C的概念域.一组具有数学抽象关系的概念网络的图式叫做概念系.具体地说,概念域的涵义是:(1)一个概念的一组等价定义在个体头脑中形成的知识网络,是个体数学认知结构的组成部分;(2)对同一概念的等价描述均属知识点,它们之间存在逻辑等价(或称为等值抽象)关系.它反映了数学学习特有的心理现象和规律.     

初中数学概念教学导入阶段的"图式激活"——锐角的三角比(第一课时)教学设计

发生认识论的创始人皮亚杰认为:发生认识的发展涉及图式、同化、顺应和平衡4个方面,其中图式是动作的结构或组织,这些动作在相同或类似的环境中由于重复而引起迁移或概括.……     

对问题教学法的实践与思考

要实现由应试教育向素质教育的根本转变，提高课堂教学效率，教会学生学习，减轻学生过重的课业负担，我运用"发生认识论"的合理内核，借鉴国内外多种教学理论，经过多年实践和研究，逐步形成了"问题教学法"的教学模式，在实践中取得了较显著的效果．现将本人对问题教学法的实践与思考介绍于后，欢迎指正．1问题教学法的田里结构人的认知水平是在这样的过程中发展的：对给定的问题。情境，人们首先用已有的认知结构（图式）进行同化，若能完成，其认知结构在原有水平上得到进一步加强；振果用原】有图式无法同化，则引起认知的不平衡状态，…     

数学中"知识图式"在教与学中的意义

认知心理学的研究指出，对知识的表征能力是能否习得知识的关键，而快速形成正确的表征需要以知识图式为基础，这些知识图式是通过样例学习建立起来的，往往结合了大量的学科知识和程序性知识，它可以使对知识的理解或表征类型化．图式理论认为，知识图式是表征储存在记忆中的一般概念的网状资料结构，其基本活动方式是自自下而生的资料驱动加工和自上而下的概念驱动加工，其中心作用在     

迭代逼近m-增生映象的零点

设E是具有一致正规结构的实Banach空间,其范数是一致Gateaux可微的.设A是m-增生映象,使得C=■是E的凸子集,数列{α_n)■[0,1],{r_n}■ (0,∞),在适当的条件下,则由(1.2)式定义的迭代序列{x_n}强收敛于A~(-1)(0)中的点.其次证明了:设E是一致凸Banach空间,其范数是Frechet可微的.设数列{α_n},{β_n)■(0,1),{r_n}■(0,∞),满足适当的条件.如果A~(-1)(0)∩B~(-1)(0)≠φ,则由(3.20)式定义的序列{x_n}弱收敛于A~(-1)(0)∩B~(-1)(0)中的点.其结果推广和改进了Kamimura,Takahashi(2000)的定理2及Xu H.K.(2006)的定理4.1,定理4.2和定理4.3:(i)Kamimura,Takahashi(2000)定理2中的假设"自反Banach空间E的每个有界闭凸子集对非扩张自映象有不动点性质"被去掉;(ii)Xu H.K.(2006)的假设"E是具有弱连续对偶映象J_φ的自反Banach空间",被本文的假设"E是具有一致正规结构且其范数是一致Gateaux可微的Banach空间"所取代.从而补充了Xu H.K.(2006)未包含的另外一些Banach空间.同时还证明了逼近两个m-增生映象的公共零点,其结果也推广和改进了Mainge的相应结果.     

基于APOS理论的数学概念教学设计——记一堂《基本不等式》公开课

1 何谓APOS理论?APOS理论是由美国数学教育学家杜宾斯基(EdDu-binsky)在20世纪80年代提出的一种关于数学概念学习的新理论,是一种具有数学学科特色的建构主义学习理论,被誉为近年来数学教育界最大的理论成果之一.它分别是由英文action(操作)、process(过程)、object(对象)和schema(图式)的第一个字母所组合而成.     

论“同化顺应”理论在优化概率论教学中的作用

著名教育心理学家让·保罗·皮亚杰(Jean Paul Piaget,1896—1980)认为:新知识的学习无非是经历同化顺应过程。个体接触到新的知识,首先是以旧的认知结构(图式)对其进行解释与吸收(同化),将新问题纳入原有的认知结构之中;当原有的认知结构暂时不能解释容纳时,则内部系统就会及时对旧的认知结构进行调整(顺应),以便包容新知识,达到认知结构的新的平衡。这就是“同化顺应”理论在认识新知识和指导教学方面的基本内容。运用这个理论指导高等学校的数学课程的教学,对实现“高速度与巩固性相结合”的教学原则有着重要的意义。现以概率论教学为例,谈谈“同化顺应”理论在优化教学中的作用,以飧同行。     

数学探究的一个途径--数学想象力

。任何数学图形都是某种数学概念的直观表达方式，是一种用于思维的科学图式．因此数学图形对数学结构的提示作用都是经过人的想象力实现的．P.Berneys说：     

数学概念教学探究——以三角函数的概念为例

数学概念是知识结构化的关键,是学生数学学习的基础.美国著名数学教育家杜宾斯基创建了APOS学习理论,Morre提出了概念定义、概念表象和概念使用的概念理解模式.本研究以“三角函数的概念”为例,在APOS理论和概念理解模式的指导下设计了数学概念教学过程的四阶段——(1)创设活动情境,渗透表象和定义;(2)呈现探究过程,归纳概念特征;(3)建构对象整体,把握概念本质;(4)建立综合图式,形成概念网络.     

60 棱台中截面面积公式及其推广

（本专栏特邀过伯祥老师主持，稿件请寄：316004浙江舟山师专）[主持人按：皮亚杰的理论主要是由（通过他的研究、总结、概括而得来的）下述基本概念所组成的：智力，图式，同化与调节，平衡，内化与运算等．图式是行动的结构或组织，这些行动在同样与类似的情境中由于重复而引起迁移或概括；同化是把知觉到的新鲜刺激融于原有的图式中，调节（或译顺应）则是改变原有的图式或建立一个新的图式以容纳一个新鲜刺激的过程；思维是内化的行为；……本设计的要点是；通过一个精心选择出来的特殊图式，把三维问题归结到相对应的一个二维问题；一…     

中考数学压轴题的结构分类评析

中考数学压轴题,涉及知识点多,解答过程运用多种数学思想方法,具有一定的综合性、选拔性.这种题型多采用"组合型"的结构形式,搞清"组合型"压轴题中总条件与分题间及分题与分题间的结构关系,对于题目的圆满解决是十分必要的,根据题目的结构关系,压轴题常分为下列三种类型. 一、"串联式"结构 "串联式"结构的压轴题,除了总条件"统领"全题外,前一个分题的结论,可以作为后一个分题的条件来使用,没有前一分题解(证)的结论,就无法解(证)下一个分题. 它的结构示意图如图1所示.     

APOS视角下初中数学“问题教学”策略——以“圆周角定理”的教学为例

数学知识的获得理应是引导学生经历思维的操作、过程、对象等几个阶段,然后在反思和总结学习活动的基础上形成图式,进而帮助学生多维度理解知识、有效解决问题.而教师十分关注的"问题教学"不仅可以帮助学生进行反省抽象和思维运算,而且可以丰富教学活动,有效综合相关知识的形式定义和直观背景.     

线性空间若干问题的矩阵变换图解

随着计算机的发展和自动控制理论的需要,矩阵理论正在不断发展,矩阵作为一种重要数学工具也越来越广泛应用。本文根据矩阵有关理论,从数值计算角度研究了如何用构造矩阵变换图式解决国内外现行的线性代数(或高等代数)书中所涉及的有关线性空间的一些重要问题。所谓构造矩阵变换图式,就是针对不同研究对象(或要解决的问题)构造不同的运算矩阵,灵活运用矩阵的初等变换。文章就以下五个问题(见文章内小标题)作了研究。文章的研究,可以简化线性代数一些重要演算。加强线性代数有关内容的内在联系,这无论对线性代数研究、应用及计算机辅助教学都是很有用的。作者还认为从科技发展来看,矩阵初等变换的应用在线性代数教学中应值得特别重视。(文章后“附注1”是矩阵变换图式所依据的重要理论,“附注2”是行简化阶梯矩阵定义。) 这里只讨论如何通过构造矩阵变换图式解决实数域上n维向量空间“R”的有关问题,至于任意的n维线性空间“L”,若对选定的基向量{ε}(i=1,2,…,n),“L”中向量a_j(j=1,2,…,s)有坐标(a_(j_1),a_(j_2),…,a_(j_n)),则下面研究的所有结论都是适用的。     

高频金融数据“日历效应”的小波神经网络模型分析

高频金融数据的分析与建模是金融计量学的一个全新的研究领域.高频数据"日历效应"是金融市场微观结构研究领域的重要发现,但是金融市场微观结构理论主要是从定性的角度研究"日历效应".如何定量地刻画高频数据"日历效应"是进一步深入理解金融市场的关键.论文提出用小波神经网络(WNN)来定量研究高频金融数据"日历效应",实证研究表明小波神经网络(WNN)很好地刻画了"日历效应".     

指尖上的舞蹈

<正>"珠心算"作为中国珠算的创新与发展,是传统珠算和心算结合的产物。"珠心算"以"珠象"为媒介的数字感知和计算方式,通过人的视觉、听觉、触觉等多种感觉器官的参与,将算盘在脑子里想象出来,把抽象的数学变成直观的算珠影像,并在头脑中"打算盘",逐步形成"脑像图",通过"脑像图"的更迭完成运算(即心算)的方法。珠心算充分利用符号抽象性与图式具象性相统一的优势,经过一定量的练习,逐渐摆脱实物操作的限制,达到运算过程的高度内化,即对心里算盘的智     

值域更新问题

本文是有关"值域更新"问题的综述.首先简要回顾了随机游动(及Brown运动)有关值域问题研究的历史脉络.本文给出独立同分布(i.i.d.)/连分数/简单对称随机游动三类模型下的"值域更新"结构定理,并提出一些公开问题与猜测.     

基于APOS理论的“黄金分割”教学设计

APOS理论是由美国数学教育学家Dubin—sky20世纪80年代提出的一种关于数学概念学习的新理论,包含活动（Action）、程序（Process）、对象（Object）和图式（Schema）4个阶段．Dubinsky强调：活动、程序、对象也可以看作是数学知识的三种形态,而图式就是由这三种知识构成的一种认知结构．虽然在理论上具有一种层级关系,     

eO-代数簇公理

扩张Ockham代数簇$e{\bf O}$是由所有$(L;\wedge,\vee, f, k,0,1)$所组成的代数类,其中$(L;\wedge,\vee,0,1)$是有界分配格, $f$是$L$上的偶同态, $k$是$L$ 是$L$上的同态且满足条件: $fk=kf$. 在本文中,我们把Urquhart定理推广到$e{\bf O}$-代数类,并特别考虑$e{\bf O}$-代数的子代数类 $e_2{\bf M}$.在子代数类$e_2{\bf M}$中, $f$和$k$满足条件: $f^{2}=id_L$及$k^{2}=id_L$. 我们证明: 在子代数类$e_2{\bf M}$中,有19个非等价公理.同时我们给出其蕴含关系的表达图式.     

李代数$W(2,2)$上的Poisson结构

Poisson代数是指同时具有代数结构和李代数结构的一类代数,其乘法和李代数乘法满足Leibniz法则.李代数W(2,2)在权为2的向量生成的顶点算子代数的分类中起着重要作用.文章主要确定了李代数W(2,2)上的Poisson结构,并得到了Virasoro代数上一般的非结合的Poisson结构,改进了文[姚裕丰.Witt代数和Virasoro代数上的Poisson代数结构[J].数学年刊,2013,34A(1):111-128]的部分结果.