极坐标系下曲线与方程

一、曲线的极坐标方程在平面极坐标系下,平面上一条曲线,可以用含有ρ和θ两个变数的方程F(ρ,θ)=0或ρ=f(θ)来表示。这种方程,叫做曲线的极坐标方程,而这条曲线就叫做这个极坐标方程的曲线。无论在什么坐标系下,曲线的方程或方程的曲线的意义都是一致的。也就是说,“曲线     

浅析双曲线的极坐标方程

在学习圆锥曲线的统一的极坐标方程时,课本中指出当e>1时方程ρ=ep/(1-ecosθ)只表示双曲线的右支;如果允许ρ<0方程就表示整个双曲线。对此学生往往感到困惑不解。为了帮助同学们能正确理解双曲线的极坐标方程,本文仍按教材从直线θ=π/4(允许ρ<0)的方程入手,对双曲线的极坐标方程加以简析。 1.限定ρ>0,双曲线极坐标方程有两个。     

强奇系数拟线性拋物型方程的第一边值问题

本文在区域Q_T中考虑了拟线性抛物型方程第一边值问题:其中a_i和a分别满足而且g1≤g,g(x)∈L_m~(loc)(Ω),使得|f(x)|≤C或|φ_i(x)|≤C,例如g(x)=1/|x-x_0|或g(x)=ρ(x),在接近边界时ρ(x)～d~(-1)(x),d(x)表示x到边界Ω的距离,本文作者得到了这边值问题广义解的存在定理。     

从一道参数方程的习题的错解中得到的启示——直线上的定点问题

原题 已知直线l的参数方程为 ｛x=-1+√2/2 y=√2/2t(t为参数),曲线C的极坐标方程是ρ=sinθ/1-sinθ以极点为原点,极轴为z轴,正方向建立直角坐标系,点M(1,2),直线l与曲线C交于A、B两点. (1)写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程; (2)线段MA,MB长度分别记为|MA |,|MB|,求｜MA|·|MB|的值.     

一类新的Block空间及其应用

我们将引入一类新的Block空间并把它应用于奇异积分理论。首先引入一些记号和定义。设S~(n-1)是n维欧空间R~n中的n-1维单位球面,当n≥2时,以B(x,r)表示S~(n-1)中以x为中心,r为半径的球:B(x,r)={y∈S~(n-1):|x-y|≤r}。以ρ表示R~n中绕原点的旋转,|ρ|表示它的模,即|ρ|=|x-ρx|,其中|x|=1。设K(x)=Ω(x)/|x|~n是R~n\{0}上局部可积函数,Ω(x)是正性齐次且满足消失条件的函数,其中dσ(x)表示S~(n-1)上的Lebesgue测度。又设b(x)是有界的径向函数,H(x)=b(x)K(x)。考虑算子     

求曲线的极坐标方程的几种常见方法

求曲线的极坐标方程的几种常见方法邓光发（四川开江普安中学）求轨迹的极坐标方程和求直角坐标方程一样都是使用坐标法，其步骤和方法是：选择适当的极坐标系，将已知条件用动点的极坐标ρ、θ的关系式ｆ（ρ，θ）＝０表示出来，得到轨迹的极坐标方程．而寻求关系式ｆ（...     

一类二元最值问题的极坐标解法

我们知道,以直角坐标系中的坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.那么,点P的直角坐标(x,y)与它的极坐标(ρ,θ)之间有一组互化公式x=ρcosθ,y=ρsinθ(ρ≠0,θ∈R).利用这一组互化公式我们可以将点的直角坐标化为极坐标,将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程,近年来此类问题在新课改区的高考试卷中屡屡出现,其重要性不言而喻.     

极坐标的几个“特区“

极坐标给中学数学增添了一道风景 ,在运用中独树一帜 ,用它来解决圆锥曲线的问题非常方便 ,由于它与直角坐标的区别 ,常常使学生学习起来感到困难 .下面就极坐标的几个难点 ,学生易混淆的几个问题进行剖析 ,以给同学们提个醒 .1　坐标的多值性1 .1　教材 P1 2 4“一般地 ,如果 (ρ,θ)是一个点的极坐标 ,那么 (ρ,θ 2 nπ) ,( -ρ,θ ( 2 n 1 )π)都可以作为它的极坐标 ,n∈ N”,这就是极坐标的多值性 ,它与直角坐标系中点的坐标的唯一性不同 ,学生容易出错 .1 .2　教材 P1 2 6“由于在极坐标系中 ,曲线上的每一点坐标都有无穷多个 ,…     

绝对值几何意义的应用

我们知道 ,|x|的几何意义是表示数轴上点 (x)到原点的距离 ,由此 |x -a|的几何意义表示点 (x)到点 (a)的距离 ,同样 ,|x +a|的几何意义表示点 (x)到点 ( -a)的距离 .应用绝对值的几何意义去解含绝对值的一些题目 ,能使解题过程大为简化和直观 ,看下面几种题型的解法 .一、解绝对值方程例 1　解方程 |x -4 |+|x +1|=5 .解　由绝对值的几何意义知 :|x -4 |+|x +1|表示数轴上的点 (x)到点 ( 4 )的距离与点 (x)到点 ( -1)的距离之和 ,由图 1知点A( -1)与点B( 4 )之间的距离等于 5 ,当x为线段AB上的任一点P时 ,则P点到A、B两点的距离之和都为…     

关于Stein性质的一个注记

本文证明一个具有极点的Hermite流形,当它的径向曲率<(4ρ(z)~2)~(-1)和挠率之范数|T(z)|≤(2ρ(z))~(-1)时,此流形为Stein流形。 此处ρ(z)是点z与极点之间的距离。     

二次曲线的极坐标方程与标准直角坐标方程互化的一种简单方法

在十年制统编教材高中第二册中,我们知道二次曲线统一的极坐标方程是:ρ=ep/(1-ecosθ)(1)其中p是焦点是准线的距离,即焦距。e是二次曲线的离心率,当e<1时,曲线为椭圆,当e>1时,曲线为双曲线;当e=1时,曲线为抛物线。把二次曲线的极坐标方程(1)化成标准直角坐标方的程一般方法是: 由(1)得:ρ-eρcosθ=ep,ρ=ex+ep ∴ρ~2=e~2x~2+2e~2px+e~2p~2, ∴x~2+y~2=e~2x~2+2e~2px+e~2p~2 ∴(1-e~2)x~2+y~2-2e~2px-e~2p~2=0 (2) (1)当e=1时,方程(2)变成;     

零点分割定理

本文把古典的多项式和整函数的零点分割定理推广到单位圆和右半平面去。§1 单位圆若 f(z)在|z|<1中有界解析,于是它在圆周|z|=ρ(ρ<1)上的几何平均(?)是(0,1)上的有界增加函数.记 s(f)=(?) I(ρ) (1)定理1 若函数 f(z)在|z|<1中有界解析,它在|z|<1中的零点全在实轴上,又若存在     

在极坐标系下求点到直线的距离的简化

在极坐标系中求点到直线的距离时 ,通常采用的方法是将极坐标方程化为直角坐标系下的方程 ,点化为直角坐标系下点的坐标后再求解 ,而此法计算较繁 .本文介绍一简单方法 .首先回归到直线在极坐标系下一般方程的求法 .图 1　例 1图例 1　在极坐标系中 ,求倾斜角为α ,且过定点(ρ0 ,θ0 )的直线ｌ的方程 .解　如图 1,过极点作ｌ的垂线 ,及与ｌ平行的直线ｌ1,在直线ｌ上任取一点 (ρ ,θ) ,有 ρ·ｓｉｎ(θ-α) =ρ0 ·ｓｉｎ(θ0 -α) ,则直线ｌ的方程为 ρ·ｓｉｎ(θ-α) =ρ0 ·ｓｉｎ(θ0 -α) .注意　若设 ρ·ｓｉｎ(θ -α) =ρ0 ·ｓ…     

关于满足A(H)=3的图的存在问题

设 H 为任意的有限无向图.以 d_H(x,y)表示 H 的两个顶点 x,y 之间的距离.顶点 x在 H 中的联系数 e_H(x)=(?)d_H(x,y).图 H 的半径与直径分别为ρ(H)=(?)(x)与δ(H)=(?)(x).H 中以ρ(H)为联系数的顶点叫做 H 的中心点,全体中心点集的诱导子图叫做 H 的中心,记为 C(H).定义 A(H)=(?){|V(G)|-|V(H)|∶C(G)≌H}(G 为有限无向     

怎样把握曲线的极坐标方程

关于曲线的极坐标方程,多数同学感到困惑,虽也下了一番功夫,但稍一变化,便不知如何应付,灵活的同学将方程化为直角坐标方程,再做解答,有时变来变去,费了很多时间.本人就教学经验,介绍把握曲线极坐标方程的方法,相信同学们会有所得. 首先把握极坐标系下的几条线,几个圆. 1.五条线:(基本曲线)(ρ>0) (1)过极点的射线:θ=α·(ρ允许取负时为直线方程)     

圆锥曲线统一方程中是否包含圆的方程?

我们来推导到定点F和定值线l的距离之比为定值e的点的轨迹方程。取焦点F为极点O,过O而垂直于l的射线为极轴(如图)。设M(ρ,θ)为曲线上任一点,连MF,作MA⊥l于A,MB⊥OX轴(或其反向延长线)于B,那么曲线就是点集{M:|MF|/|MA|=e}。其中|MF|=±ρ,|MA|=|KB|     

小议圆锥曲线的另一极坐标方程

在六年制重点中学课本《解析几何》(平面)中,介绍了三种圆锥曲线的统一的极坐标方程ρ=ep/(1-ecosθ)。这里,谈谈中心在极点(抛物线的顶点在极点)、焦点(右)在极轴上的椭圆、双曲线、抛物线的极坐标方程与应用。 (一) 定理1 中心在极点、右焦点在极轴上的椭圆x~2/a~2+y~2/p~2=1(a>b>0)的极坐标方程为ρ~2=b~2/(1-e~2cosθ)(e为离心率) 证明:将x=ρcosθ、y=ρsinθ代入椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1得b~2ρ~2cos~2θ+a~2ρ~2sin~2θ=a~2b~2, ∴ρ~2=a~2b~2/(b~2cos~2θ+a~2sin~2θ)     

把直角坐标方程化为极坐标方程的等价问题

在直角坐标系中,点与坐标是一一对应的。若方程F_1(x,y)=0与方程F_2(x,y)=0同解时,这两个方程就表示同一曲线;反之,表示同一曲线的两个方程也必同解。但在极坐标系中,一个点对应无数个坐标((-1)~kρ,kπ θ),其中k∈Z。方程f_1(ρ,θ)=0与f_2(ρ,θ)=0若同解就表示同一曲线,但表示同一曲线的两个方程却不一定同解。如方程ρ=θ与p=2π θ表示同一曲线,但方程并不同解。我们在极坐标中把表示同一曲线的方程称为等价方程。显然所有的同解方程都是等价方程。     

用极坐标两点间距离公式证明定值问题

高中数学新课程标准又把《坐标系与参数方程》列入了选修系列4，使得极坐标这一传统教学内容又回到了高中数学之中，为说明极坐标在解题中的应用，本文现应用极坐标系中P1（ρ1，θ1）和P2（ρ2，θ2）两点间的距离公式：     

SOME PROBLEMS ON WALSH EQUICONVERGENCE

§1. Introduction Let A_ρ denote the collection of functions analytic in D_ρ:= {z:|z|<ρ} and having a singularity on the circle |z| =ρ. Next, for anyf(z)∈ A_ρ (ρ>1) and for any positive integer n, let p_(n_1)(z;f) denotethe Lagrange polynomial interpolation of f(z) in the n-th roots ofunity, and if