立体几何中两个论断的证明

本文对高中立体几何课本中两处未给出证明的论断予以证明,供中学教师教学参考。一、关于球面上两点间的距离课本指出:“在球面上,两点之间的最短距离,就是经过这两点间的线段劣弧的长度。”这就是要证明:在球面上连接两个非对径点(非同一直径的两个端点)的一切曲线中,最短的是大圆劣弧。有人将这论断转化为证明“在球面上连接这两点的诸圆劣弧中的大圆的弧长为最短”,这是以面概全,因为连接这两点的球面曲线不限于圆弧。     

由球面上的两点间的离距所想到的

高中数学课本第二册立体几何部分里有这样一句话:“球面上两点问的最短距离,就是经过这两点的大圆被它们所分威的两个弧中较小一个的弧长。”我们可以给予证明,为方便起见,将它转化为: 定理1:在大小不同的圆中,等长的弦所对的劣弧长不等,圆愈大,则弧长愈短。显然,球面上两点间的弦长为定值,则过这两点的诸圆的劣弧中以大圆的弧长为最短。在证明定理1之前,先证明一个     

距离不是无情物,放在球面更生辉——兼论教材上“球面距离”处理之疑义

1 问题的背景在球面上,两点之间最短连线段的长度,就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度.我们把这个弧长叫做两点间的球面距离,这就是教材上球面距离的定义.不难看出,这个所谓“定义”,不如说是一种“规定”,配套的教参提到了“最短连线段”取代原教科书上的“最短距离”,使其说法更合逻辑性.至于为什么这样的劣弧长最短,并未作任何交待,同时说明不要求证明.教师和学生也只是一轮轮,一遍遍地由几何直观认识它的正确性,实际问题的合理性,并不断地自觉运用于解题活动中.     

球面上两点间距离的微分学证明

在高中数学选修课程《球面上的几何》中,球面上两点间距离的概念依赖如下结论:结论1设A,B是球面上两点,在连接A,B两点的球面曲线段中,以过这两点的大圆弧中的劣弧长最短.教材对结论1作了一个直观解释,却并未给出严格证明,本文将用微分学知识对这个结论作一论证.引理1三面角中任意两个面角的和大于第三     

浅析“球面距离”概念的教学

一、问题的提出 “球面距离”是立体几何中的重要概念，上海市二期课改教材（高三年级）第41页关于“球面距离”的概念是这样阐述的：“可以证明，在连接球面上两点的路径中，通过该两点的大圆劣弧最短，因此该弧的长度就是这两点的球面距离．”最近在上海市青年数学教师教学评优中，     

球面距离的计算

现行高一《立体几何》课本中 ,介绍了球面距离的概念 ,但没有例题 ,而这方面的习题却很多 ,同学们学习时普遍感到困难 .下面给出这类习题解答的示范 ,以供同学们参考 .1　位于同一纬度线上两点的球面距离例 1　已知Ａ ,Ｂ两地都位于北纬 4 5°,又分别位于东经 30°和 6 0°,设地球半径为Ｒ ,求Ａ ,Ｂ的球面距离 .分析 :要求两点Ａ ,Ｂ的球面距离 ,过Ａ ,Ｂ作大圆 ,根据弧长公式 ,关键要求圆心角∠ＡＯＢ的大小 (见图 1) ,而要求∠ＡＯＢ往往首先要求弦ＡＢ的长 ,即要求两点的球面距离 ,往往要先求这两点的直线距离 .解　作出直观图 (见图 2 …     

角的测量

中学课本对于角的测量问题的处理,都是从同圆或等圆内中心角和其对弧的关系出发,如果圆的任一段弧可以测量,例如用圆周的1/(360)的弧作为1°,任一段弧都可以用多少度来表示,那末这段弧所对的中心角也可以测量,其度数恰等于对弧的度数,至于根据什么理由保证弧一定可以测量呢?有的课本作为一个公理,有的作为直观的结果,都没有依据逻辑推理的方法予以解决.这样的处理在教学上有其优点,     

一个几何命题的证明

一个几何命题的证明李迪淼（湖南洞口一中４２２３００）《立体几何》必修本Ｐ８３有这样一个未加证明的结论：“在球面上，两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度．”也就是说有如下的命题在球面上，经过两定点的大圆的劣弧长小于过这两点...     

球面S~(d-1)上的广义Ul'yanov型不等式

本文对于单位球面上的经典连续模,给出了一个非常有用的广义Ul'yanov型不等式.该不等式在球面多项式逼近、球面嵌入理论以及球面上函数空间的插值理论等领域有着非常重要的应用.我们的证明基于球面调和多项式展开的新的估计,这些估计本身也具有独立的意义.     

三维空间中的共形曲线论

本文对单位球面S~3中的曲线在Mbius变换下的性质进行了研究.给S~3中的曲线定义了一套由共形弧长参数、共形曲率和共形挠率组成的Mbius不变参数系统,并证明这个系统决定S~3中所有光滑曲线在Mbius变换下的分类.     

两平行球面间扩散层流进口段流动阻力的分析*

本文首先将В.В.Голубев方法推广到两平行球面间的扩散层流流动,由球坐标下边界层运动方程式,导出了平行球面间进口段层流边界层动量与能量积分关系式.再对动量积分关系式采用Picard逐次逼近法,求得进口段通道长随边界层厚度而改变的近似表达式.然后对进口段效应诸系数进行分析与计算.     

单位球面上的最优码的必要条件

本文研究了单位球面上的最优码的必要条件,为寻求单位球面的最优码提供了方法.为最终证明无限带宽的等能量码中正单纯形码是最优的这一著名猜测上开辟了一条新路.     

Teichmüller度量的凸性问题

在Teichmüller空间理论中一个悬而未决的问题是,在Teichmüller度量下每个球面是否对其测地线而言是严格凸的。本文证明了,任意一个第二类Fuchs群的Teichmüller空间中的球面都不是严格凸的。我们证明了在任意的这种球面上存在两个点使得连结它们的测地弧落在球面上,从而给上述问题以否定回答。至于第一类Fuchs群的情况,此问题仍悬而未决。     

圆锥曲线是椭圆双曲线和抛物线的解析证明

在一次讨论《高中数学课程标准》的会议上有人问如何证明一圆锥被一平面所截 ,得出截线是椭圆、双曲线或抛物线 .在《标准》选修 1系列课程的参考案例 4中画了一张立体图 ,意示可以用立体几何的办法加以证明 .其实这种证法大约最早是由G .Daudeliu在 1 82 2年给出的 .(可参阅[1 ]P .2 47)他给出了一个定理 :“如果两个球面内切于一个圆锥并且都与一个已知平面相切 ,该平面与圆锥交于一条圆锥曲线 ,那么球面与平面的接触点是圆锥曲线的焦点 ,球面与圆锥相切的圆所在的平面同已知平面的交线是圆锥曲线的准线 .”再根据平面与圆锥轴线的夹角…     

球面三角形中两个结论的另证

在高中数学选修课程《球面上的几何》第五讲——球面三角形的全等中,判定两个球面三角形全等的角边角(a,s,a)判定定理如下:如果两个球面三角形的两对角对应相等,且它们的夹边也相等,那么这两个球面三角形全等.     

线段和、差、倍、分的几种证明方式

线段的和、差、倍、分在几何证明中比较灵活 ,在解决问题中常用到的方法有 :截长法、补短法、加倍法、折半法等等 .1 .所谓截长法是指在较长的线段上截取一段等于其它两条线段中的一段 ,然后再证明截后所余线段等于两线段中的另一段 .所谓补短法即延长两线段中较短的一条 ,使其等于较短线段中的另一条 ,然后证明延长后所得的线段等于较长的线段 .以上两种方法常常用来解决两条线段的和、差等于另一条线段的问题 .例 1　如图 ,已知△ABC中 ,∠A =2∠B ,CD平分∠ACB .求证 :BC =AC +AD .证明 :(截长法 )在CB上截取CE =CA .∵CD平分…     

T-B样条曲线及其应用

给出一种基于三角函数的类B样条设计方法,称其为 T B样条,它具有 B样条曲线曲面的主要优点,它还能够无需有理形式即可精确表示圆弧、椭圆弧等二次曲线弧以及球面、椭球面等二次曲面片.     

切大葱的学问

小明的爸爸是一位数学老师.一天,爸爸把小明叫到厨房,拿了一棵圆柱形的大葱对小明说:"这里有两个数学问题,你来思考一下."小明的心中充满疑惑,爸爸用刀把大葱斜切成两段,拿起一段(图1)问小明:"这个截面的轮廓是什么曲线?"小明马上回答:"太简单了,是椭圆,我们数学课本里有证明过程."爸爸接着用刀轻轻地沿葱轴中心线方向把最外层葱皮划开(图2)、剥下,在菜板上把圆柱状的葱皮展开铺平(图3),"刚才的椭圆展平后变成了什么曲线?这个问题课本里没有,你自己研究一下."     

关于球面上的Lagrange插值

1引 言 单位球面上的插值问题一直是三元插值问题中比较受关注的部分.近年来,球面上的 Lagrange插值问题已经得到了很好地解决.例如[1]中给出了构造单位球面上的Lagrange 插值适定结点组的一种方法：添加圆周法.[2]和[3]中研究了单位球面上的多项式插值问题,给出了构造单位球面上的插值适定结点组的另外两种方法.     

高等数学视角下的弧微分公式推导及曲率公式适用条件

在利用弧微分公式推导曲率公式时,针对弧微分公式证明过程中“弧长和弦长的比值极限为1”假设不严谨的问题,本文在高等数学知识体系内,利用曲线直角坐标方程得到了弧长与有向弧段的值之间的关系,提出了一种证明弧微分公式的方法.之后,针对四种不同形式的曲线方程,推导并总结了不同方程下的曲率公式及其适用条件,并针对性地给出了两个典型例题.最后,给出了一个运用曲率公式求解实际工程问题的案例.