应用祖暅原理推导球缺体积

<正>在高中立体几何的学习过程中,我们开始与一些含有曲面的几何体打交道,但是由于掌握微积分的水平有限,尤其是在高二阶段,还未接触过微积分知识,所以求解曲面几何的体积问题就会无下手.有些公式虽然可以在学习过微积分入门后推导出来,但是微积分的光辉总还是让我们十分敬畏的.笔者认为,一些含曲面的立体的体积也可以利用祖暅原理进行求     

祖暅原理的探索性内涵

1教材关于半球体积的求法 在使用祖暅原理推出半球的体积时，高中数学教材《立体几何》使用的方法是：取一个底面半径和高都等于R的圆柱，从这个圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面中心为顶点的倒立圆锥，之后把所得的几何体和底面朝下的半球放在同一个平面α上，然后证明这两个几何体合乎祖暅原理的要求，断定它们的体积相等，从而求出半球的体积。     

用祖暅原理求椭球体积

文 [1 ]给出了证明球体积公式的又一参照体 ,读后很受启发 .笔者尝试构造椭球的两个参照体 ,分别利用祖日恒原理求椭球的体积 .预备知识1　若椭圆的长、短半轴长分别为a ,b ,则有 :S椭圆 =πab .下面利用面积射影公式S =S射影cosθ作简要证明 :图 1　圆柱如图 1 ,在底面半径为b的圆柱体中 ,作一倾斜角为arccos ba 的截面 ,那么 ,该截面是分别以a ,b为长、短半轴长的椭圆面 .它在圆柱底面上的射影恰好是底面 .由面积射影公式 ,可得 :S椭圆 =S底面cosθ=πb2ba=πab .2　从椭圆上任一点 (非短轴顶点 )引短轴的垂线段 .若垂足到中心的距离为l…     

祖暅原理——中华文化的瑰宝

<正>"幂势既同,则积不容异."这里的"幂"是面积,"势"是高.即界于两个平行平面之间的两个几何体,被任一平行于这两个平行的平面所截,如果两个截面的面积恒相等,则这两个几何体的体积相等.上述原理在我国被称为祖暅原理.在西方,直到17世纪,才由意大利数学家卡瓦列里(Cavalieri.B,1589-1647)发现.于     

妙用祖暅原理求几何体的体积

祖日恒原理是我国古代人民对数学的伟大贡献之一 ,利用祖日恒原理时体现出来的创新精神、实践能力是当前素质教育所大力提倡的 .因此祖日恒原理在培养学生的创新精神、实践能力方面提供了很好的素材 ,我们应该加以挖掘、充分利用 .为了利用祖日恒原理计算某个几何体的体积 ,常要构造一个几何体 ,此几何体必须符合两个条件 :①它的计算公式是已知的 ;②它符合祖日恒原理的条件 ,即该几何体与原几何体能夹在两个平行平面之间 ,且用平行于这两个平面的任意一个平面去截它们时 ,截得的截面面积总相等 .例 1　 ( 2 0 0 2年全国高中数学联赛 )由曲…     

祖暅之公理

我國古代的祖暅之公理,也就是现代一般人所說的卡瓦利利(Cavalieri)公理,是指下述公理而言的,即:界於二平行平面之間的兩個立體、被任一平行於二平面之平面所截,若其二截面面積常相等,則二立體體積亦必等。當我們承認了連續公理並且有了某些積分學的知識之後,這公理也可被證為是一個定理,這公理,或是說這定理在考慮立體體積時常常會用到,特別是在考慮未知的,比較複雜與不规則的立體體積時,由這公理,就可以用已知的比較規則的在等高處截面面積相等的另一立體去代替。卡瓦利利是17世纪纪上半纪意大利的數學家,他的生卒年代是1598—1647年。     

用祖暅原理求平面图形面积的探索

我们知道：能用初等方法求出面积的平面图形有圆与多边形（可分割成三角形来求）,除此以外就屈指可数了．本文与同学们一起探索用祖暅 原理求平面图形的面积,直到推导出椭圆的面积公式,一起来吧,其乐无穷。     

在“祖暅原理”的教学中进行爱国主义教育

如何在课堂教学中,在传授知识和技能的同时,进行思想教育,达到教书育人的目的.这是在当前教学改革中,值得探讨的问题.下面谈谈我在“祖(日恒)原理”的教学中,进行爱国主义教育的作法和体会。一、引入新课“我们伟大的祖国,是世界文明古国之一.古代数学有着极其光辉的成就.早在公元五世纪,祖冲之的儿子祖(日恒)就在实践的基础上,总结出研究几何体体积的祖(日恒)原理,并用它巧妙而简明地推导出球的体积公式.经过一     

应用祖暅原理求圆锥曲线绕轴旋转所得旋转体的体积

在立体几何里,我们曾应用祖暅原理成功地导出了球的体积公式.球可以看作是圆绕它的任一对称轴旋转所得的旋转体.而圆是圆锥曲线的一种,那么,能否应用祖暅原理求出其它三种圆锥曲线(椭圆、双曲线和抛物线)绕轴旋     

例析构造法在解题中的应用

构造法是解决数学问题的一种重要方法,更是培养学生创新思维的有效途径．解题中的构造法是依据题设的特点,用已知条件中的元素为“元件”,以已知数学关系为“支架”,构造出一种新的数学模型．沟通数学模型间的相互关系,转换命题．优美、自然的构造法常常是建立在学生已有的知识基础之上的,它生成于认知结构的最顶端,不仅能使学生强烈地感受到数学的美妙以及构造法的神奇,而用能够使学生激发起探索的意识和创新的欲望．     

例析构造法在解题中的应用

正构造法是解决数学问题的一种重要方法,更是培养学生创新思维的有效途径.解题中的构造法是依据题设的特点,用已知条件中的元素为元件,以已知数学关系为支架,构造出     

转化思想在解题中的应用例析

化归转化思想是指运用某种手段或方法把待解决的较为生疏或复杂的问题转化为熟悉的问题来解决的思想方法.在解题实践中,大部分试题的条件与目标的联系不明显,能否根据问题的特点和解题中出现的具体情况"随机应变",调整思路,转换策略,是我们顺利解题的一个关键因素,也是思维灵活性的一个重要体现,强化解题过程中的应变能力,有利于提高解决数学问题     

GeoGebra软件在数学教学中应用探索——以《祖暅原理及其应用》的设计为例

GeoGebra软件的应用可以利用计算机的动态变化特征,帮助学生在“变化”中发现“不变”的几何本质.基于此,本研究以祖暅原理及其应用设计为例,利用GeoGebra引导学生建构立体几何的直观模型,探索并发现新的结论.     

极端原理在解题中的应用

为了解决某些数学问题,设想极端,考察某些邻界的元素。例如,取函数的最值,研究距离、长度、面积、体积等的最大(或最小)情况,讨论问题的特殊情形,考虑图形的退化与极限位置等。利用考察极端状态实现解题的思维方法称为极端原理”。下面通过对各类问题的分析,探讨应用极端原理解题的思想方法。     

例析图形在解题中的作用

图形是数学解题的一个组成部分，平面几何和立体几何能借助图形形象地反映问题的条件与结论之间的内在联系，启发解题思路；代数中的许多问题可通过构造图形，揭示问题的隐含条件，发现简洁明了而富有创意的解题方法；试题中的选择题、填空题借助图形可以简化解题过程，检验解题结果；数学教学中通过优美图形的展示和简洁解法的讲授可以培养学生解题的创新能力．     

例析高阶思维结构图在高中数学解题中的应用

高中数学解题困难的一个重要原因是学生对题目解读的碎片化和对题意理解的不到位.学生在解题时,可以应用逆向思维、发散思维、组合思维和聚合思维等高阶思维技法,通过整理信息、选择结构、绘制图形、验证评价、修正完善五个流程,建立线性结构图、树形结构图、气泡结构图、环状结构图等高阶思维结构图.高阶思维结构图的绘制需要经历分析、评价、创造三个认知环节.高阶思维结构图能将题目信息整合并内化,实现思维的可视化表达,增强学生对题意的理解,培养学生的高阶思维,提升其解题能力.     

体积计算方法的剖析——从祖暅原理到三重积分

结合实例,对祖暅原理、定积分、二重积分和三重积分这四种计算立体体积方法的具体计算过程进行了梳理,以求展示这四种方法之间的内在联系及其适用范围.     

一个平凡原理在解题中的应用

一个平凡原理在解题中的应用孔凡哲，孙炳太（山东济宁师专数学系２７２１２５）非空的有限实数集必有最小数与最大数．简言之，亦即：有限多个（不少于一个）实数中必有最小数与最大数．这是一个极其平凡的原理！下文简称之为“最小数原理”．然而，在解题中恰如其分的运...     

例析三角代换在解题中的运用

三角函数是高考与竞赛中的重要内容,三角换元是解题的重要方法.在解题过程中,通过对题设与结论形式的联想、类比,找出题中看似陌生的面孔与熟知的三角函数的关系,实施三角代换,实现认知结构的迁移.例1设函数f(x)=|     

例析转化思想在解题中的运用

转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想,在研究问题时,我们通常是将复杂的问题转化为简单的问题,将抽象的问题转化为具体的问题,将实际问题转化为数学问题.在正多边形与圆的计算中,正多边形的边长、半径、边心距和中心角的有关计算问题,一般转化为解直角三角形问题.下面略举几例解析如下,谈谈正多边形与圆中的转化思想,供同学们参考.