函数解析式的几种求法

一、待定系数法已知函数解析式的基本形式,用待定系数法求解. 例1 已知二次函数y=f(x)的最大值等于13,且f(3)=f(-1)=5,求f(x)的表达式. 解法一利用二次函数的一般式求解. 设f(x)=ax2 bx c (a≠0), 由条件知,点(3,5),(-1,5),(1,13)在.f(x)的图像上,     

课外练习

高一年级1.若二次函数y=mx2 (m-3)x 1的图象与x轴的交点至少一个在原点的右侧,试求m的取值范围. (湖北钟祥市罗集二中(431925) 张先兵)2.已知f(x)=f((-1 x)/x)=1 x,其中x∈ R 且x≠1,求f(2).     

用定比分点公式巧解一题

题已知二次函数f(x)=ax2 bx c(a,b,c∈R)的图像经过点(-1,0),且x≤f(x)≤12(x2 1),对一切实数x都成立,求f(x).分析本题显然是一道不等式恒成立问题,利用一元二次不等式恒成立知识点来解决,其运算量较大,如果用定比分点公式来解,求解过程就会变得简单、明了.解设A(x),B(f(x)),C(12(x2 1))为数轴上的三点,则ABBC=,λ由于当x∈R时,总有x≤f(x)≤12(x2 1)恒成立,∵λ≥0,由定比分点公式得f(x)=x λ(x2 12)1 λ,又∵曲线y=f(x)经过点(-1,0),∴0=-1 λ1 λλ=1,∴f(x)=14x2 12x 14.本题若结合1≤f(1)≤1 f(1)=1,又f(-1)=0来求解,其运算量也较…     

关于二次函数迭代的一个定理的简证

对二次函数f(x)=x2 bx c进行n次迭代,得到f[n](x),其中f[1](x)=f(x).函数f(x)有无不动点(即方程f(x)=x有无实数根)对方程f[n](x)=x解的情况有何影响?文[1]、文[2]对此进行了探讨,得到一些颇有价值的结论.其中文[2]证明了下述结果:定理设f(x)=x2 bx c,Δ0=(b-1)2-4c,若方程f(x)=     

二次函数迭代的一个问题

众所周知,将二次函数f(x)=x2 bx c进行n次迭代,得到f[n](x),这是个2n次多项式,函数f(x)有无不动点(即方程f(x)=x有无实根)对方程f[n](x)=x的解的情况有何影响?本文拟对此进行一些探索.在本文中,我们规定f[0](x)=x.1函数f(x)没有不动点如果函数f(x)没有不动点,即方程x2 (b-1)x c     

用平面“可行域”解一种条件不等式

题目已知二次函数f(x)=ax2+bx,a≠0,且满足1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围. 在一次课堂上,教师让学生解这道题目, 出现了以下几种解决方案. 为简单,先作些必要的转化.因为f(-1) =a-b,f(1)=a+b,f(-2)=4a-2b,所以     

三次函数图像对称性的证明

<正>我们已经知道二次函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0)的图像关于直线x=-(b/2a)对称,那么三次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图像关于直线x=-(b/2a)对称,那么三次函数f(x)=ax³+bx3+bx²+cx+d(a≠0)有没有对称性呢?这类函数图像有对称中心,其对称中心为(-b/3a,f(-b/3a).下面我从多角度证明.证法1配方法f(x)=ax2+cx+d(a≠0)有没有对称性呢?这类函数图像有对称中心,其对称中心为(-b/3a,f(-b/3a).下面我从多角度证明.证法1配方法f(x)=ax³+bx3+bx²+cx+d     

三次函数图像的切线问题研究

三次函数的导函数是高中同学非常熟悉的二次函数,所以在学习导函数的应用问题时,经常要以三次函数为研究对象.首先看一个例题.已知三次函数f(x)=1/3x~3+4/3,①求曲线在点P(2,4)处的切线方程;②求曲线过点P(2,4)的切线方程.解显然点P(2,4)在三次函数f(x)=1/3     

浅谈迭代函数的零点问题

<正>我们先给出迭代函数的概念:一般地,如果给定一个函数f(x),它的值域是其定义域的子集,那么我们可以记f⁽¹⁾(x)=f(x),f(1)(x)=f(x),f⁽²⁾(x)=f(f(x)),f(2)(x)=f(f(x)),f⁽³⁾(x)=f(f(f(x))),……,f(3)(x)=f(f(f(x))),……,f⁽ⁿ⁾(x)=f(f(n)(x)=f(f^(n-1)(x))=(f(f(…f(x)…)))n个f并把它们依次叫做函数f(x)的一次迭代,二次迭代,三次迭代,……,n次迭代.n称为f(x)的迭代指数,显然,n次迭代就是同一函数的n次复合函数,下面讨论与二次迭代函数的零点     

三次函数对称中心再探

设三次函数的一般形式为f(x)=ax3 bx2 cx d(a≠0).f′(x)=3ax2 2bx c.易知二次函数f′(x)=3ax2 2bx c(a≠0)的顶点坐标是(-b3a,f′(-b3a)),点(-b3a,f(-b3a))在函数f(x)的图象上.设点M(x0,y0)是函数f(x)=ax3 bx2 cx d(a≠0)的图象上的任一点,M关于点(-b3a,f(-b3a))对称的点M′(-     

函数迭代中的循环现象

一、从一道例.谈拐金一l 劣例l已知函数I(二)=公一l 劣对于,〔N,解:(l)丫了式:)一了〔了:(·)〕一了(宁)-劣一l 劣定义f:(‘)=I(二),j.(x)=了叶一,(x)〕,(l)求f一(二);(2)求证:f。(x)=fa(x). l1一公1991年第9期数学通报‘吕‘·,一‘〔‘2‘·,〕一‘仁、)-六一,一万一=劣1一2.’.f一(x)二f[f:(工)〕二f(x)即了;(x)二(2)由(l)可知f:(x)=z f。(:)二f!(:).‘.f。(x)=f〔f;(x)〕二f〔f,(x)〕二fZ(x).‘.fe(x)二f〔fs(x)〕=f〔fZ(x)j二f3(x).从例1的解题过程可以发现:f,(x)二f一(I)=…=fa。,,(x)=劣一l 劣人(x)二人(x)二f。(二)二f。(x)二一…     

应用图象研究二次方程根的分布

二次方程的判别式只能判定根的虚实和异同,通过相应的二次函数的图象却能直观地确定根的分布情况,现举例说明如下.例1关于x的二次:亏程丫+2(k+3)x+Zk+4二0两个实根一个大于3,一个小于3,求k的范围. 二次函数f(x)二分+2(k+3)x+2庵+4的图象如图l所示,易见,城使x,<3(均,只要f(3)=     

三次函数零点个数问题的分类讨论标准

<正>形如f(x)=ax³+bx3+bx²+cx+d(a≠0)的函数称为三次函数.高中阶段需掌握三次函数性质如下:性质1 f(x)恒过定点(0,d).性质2若a>0,当x→+∞时,f(x)=+∞;当x→-∞时,f(x)=-∞.若a<0,当x→+∞时,f(x)=-∞;当x→-∞时,f(x)=+∞.说明:性质1虽然显而易见,却往往是学生画图时经常忽略的前提条件.性质2则是三次函数的无穷大性质,要求图像始终穿过x轴     

正难则反

精选妙题若二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p 1在区间[-1,1]上至少存在一点m,使f(m)>0,求实数p的取值范围.     

二次函数迭代的一个问题初探

对二次函数f(x)=x2 bx c进行n次迭代,得到f[n](x),函数f(x)有无不动点(即方程f(x)=x有无实根)对方程f[n](x)=x的解的情况有何影响?文[1]探讨了这个问题,并提出未解决的问题:方程f(x)=x有两个不等实根,方程f[n](x)=x何时只有两个不同的实数根,何时又有2n个不同的实数解?本文探讨     

学贵有疑--质疑、反思

文[1]“巧解”摘录:题已知二次函数f(x)=ax2 bx c(a,b,c∈R)的图像经过点(-1,0),且x≤f(x)≤12(x2 1)对一切实数x都成立,求f(x).原解设A(x),B(f(x)),C(x2 12)为数轴上的3点,则ABBC=λ.由于当x∈R时,总有x≤f(x)≤12(x2 1)恒成立,∴λ≥0.由定比分点公式得f(x)=x λ(x2 12)1 λ.     

不确定的 f~(-1)[f(x)]

题:若f(x)=3x-2,求f~(-1)[f(x)]。解法一∵f(x)=3x-2, ∴f[f(x)]=3f(x)-2=9x-8。 x=f[f(x)] 8/9; 故 f~(-1)[f(x)」=x 8/9。解法二∵f(x)=3x-2, ∴x=f(x) 2/3,f~(-1)(x)=x 2/3 故 f~(-1)[f(x)]=f(x) 2/3 =3x-2 2/3=x 解法三∵f(x)=3x-2, ∴确定函数f(x)的映射是从定义域集R到值域集R的一一映射,即f:x→3x→2=y。     

“解法辨析”之再辨析

文[1]分析了一类与二次函数有关的常见题型,并指出了文[2]解法的不足.我们分析后发现,文[1]题2、题3也存在严重疏漏,试分析如下:例1(文[1]题2)已知二次函数f(x)满足条件:(1)f(-1)=1;(2)对一切x∈R     

一道高考模拟题的探究

题已知二次函数f(x)=ax2 bx c(a>0)的图像与x轴有两个不同的公共点,若f(c)=0,且00.(1)试比较1a与c的大小;(2)求实数b的取值范围;(3)当c>1,t>0时,求证:t a2 t b1 ct>0.这是一道常见的高考模拟试题,经常出现在全国各地的高考模拟试题中,解决本题的关键是要抓住以下两点:①根据二次函数图像特征,确定b范围.②构造二次函数g(t),用分析法证明当t>0,g(t)>0的充分条件具备.为了充分挖掘本题的潜在价值,将其常见的解答提供如下:(1)解f(x)图像与x轴有两个公共点,∴f(x)=0有两个根x1,x2.∵f(c)=0,∴c是一根.又∵x1x2=ac,∴1a是另一根.c≠a…     

用函数图像解两道赛题

例1(2002年全国联赛试题)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)满足以下条件:(1)x∈R时,f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥x;