线面垂直判定定理的代数证明

线面垂直的判定定理是立体几何中一个十分重要的定理 ,对于大多数同学来说 ,该定理的证明是一个很大的困难 .那么 ,能否从代数的角度来尝试证明呢 ?从下面的证明中 ,我们可以领略代数与几何密切的内在联系 .根据异面直线所成角的定义 ,线面垂直的判定定理实际上等价于以下定理　如果直线AB、直线AC 平面α ,直线PA⊥AB ,PA⊥AC ,那么 ,直线PA⊥平面α .证明　不妨设AD是平面α内过点A且不同于AB ,AC的任何一条直线 ,且B ,C ,D三点共线 .如图 ,下面我们只要证明PA⊥AD .为书写方便 ,记PA =a ,PB =b ,PC =c ,PD =d ,AB=x,AD …     

线面垂直的判定定理的新证法

现行高中数学教科书人教版第九章 (A,B)对直线与平面垂直的判定定理的证明 ,仍是沿用以往教材中的传统证法 ,而课程改革要求我们尽可能地运用新知识处理问题 ,尽可能地用简明的方法解决问题 .我在教学中发现另一种证明定理的方法 .现给出证明过程 ,供大家教学参考 .直线和平面垂直的判定定理 :如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直 ,那么这条直线垂直于这个平面 .已知 :如图 1,m α,n α,m∩ n =B,l⊥ m,l⊥ n.求证 :l⊥α.证明　若 g是平面α内任意一条直线 ,设直线 l、m、n、g上分别有非零向量 l、m、n、g,由于 m、n是平面内…     

平行公理是一条平面几何公理

《中学生数学》2 0 0 1年 1 0月上期所发表的《用定义证明直线和平面平行的判定定理》是误解、误用平行公理之一例 .为了便于说明 ,先将该文证法照抄如下 :图 1已知 :直线ａ 平面α ,直线ｂ α ,ａ∥ｂ(如图 1 ) ,求证 :ａ∥α .证明　设点Ｐ是平面α内的任意一点 ,则Ｐ∈ｂ或Ｐ ｂ .若Ｐ∈ｂ ,由ａ∥ｂ ,知Ｐ ａ ;若Ｐ ｂ ,仍有Ｐ ａ .不然 ,则Ｐ∈ａ .在α内过Ｐ作直线ｃ∥ｂ ,又ａ∥ｂ ,根据过直线外一点有且只有一条直线与之平行 ,可知ａ、ｃ应为同一条直线 .从而ａ α ,与已知ａ α相矛盾 .因此 ,Ｐ ａ .综上 ,α内任意一点Ｐ…     

三垂线定理及其逆定理的学习

三垂线定理及其逆定理是立体几何中的重要定理 ,应用十分广泛 .学好三垂线定理及其逆定理 ,首先要弄清该定理中涉及的面及各条线之间的关系 .图 1无论三垂线定理还是逆定理 ,其结构都是“一面四线” ,如图 1所示 :平面α ,斜线PA ,射影AO ,垂线PO ,平面内直线l.其中一面是指α ,三垂线是指 :PO ,OA ,l .共涉及四个垂直关系 :PO⊥OA ,PO⊥l,AO⊥l ,PA⊥l.为了更好地帮助同学们认清定理的本质 ,消除模糊认识 ,配与以下例题 .例 1　判定下列命题是否正确 :①若a是平面α的斜线 ,直线b垂直于a在α内的射影 ,则a⊥b .②若a是平面α的斜线…     

巧证线面垂直的判定定理

线面垂直的判定定理,是立体几何中的重点与难点.教材利用镜面对称的方法,给出了该定理的一个几何证明.本文将从代数角度给出该定理的一个巧证.定理设aα,bα,a∩b=O,l⊥a,l⊥b,则l⊥α.证在平面α内任取一条直线g,根据异面直线所成角的定义,不妨设g,l都过点O.当g与a(或b)重合时     

在图形变换中学习三垂线定理

三垂线定理包含了三个垂直关系:(如图1) 直线PA⊥平面α,(1) 平面α内的直线AO⊥a,(2) 平面α的斜线PO⊥a。(3)     

用一个向量式解一组高考试题

向量是数学中的重要概念之一 .新的《全日制普通高级中学数学教学大纲》(试验修订版 )已将《平面向量》纳入教学计划 ,编入高中数学教材 .本文拟利用高中数学 (试验修订本.必修 )第一册 (下 ) P1 0 7例 5所得结论 ,即直线上的游动点公式解一组高考试题 .直线上的游动点公式 :设 O是点 A和 B的连线外一点 ,则点 P和 A、B共线的充要条件是存在实数λ,使得OP =λ OA ( 1 -λ) OB(如图 1 ) .图 1　　　　　　图 2例 1　已知两点 P( - 2 ,2 ) ,Q( 0 ,2 )以及一条直线 l:y =x,设长为 2的线段 AB在直线 l上移动 ,如图 2 .求直线 PA与 QB…     

高二年级期末复习自测题

选择题:1.不垂直的两条异面直线m,n在同一个平面α上的射影不可能是()(A)两条平行直线.(B)两条相互垂直的直线.(C)同一条直线.(D)一条直线及其外一点.2.设集合P={x,1},Q={y,1,2},其中x,y∈{1,2,3,4,5,6},且P Q.把满足上述条件的一对整数对(x,y)作为一个点的坐标,可以得到的不同     

立体几何中的唯一性效应

线面问题是立体几何中的重点之最 ,更是难点之最 .面对它的“定义多 ,定理多” ,人们都有“记忆难 ,理解更难”的同感 .本人在教学过程中发现 ,这些看似一盘散沙的定理及其理解竟然有着一条主线———唯一性 ,唯一性成了它们的主旋律 .1　引子———唯一性　在线线、线面、面面的平行与垂直中有四个唯一性 :1)过直线外一点与已知直线平行的直线唯一 ;2 )过平面外一点与已知平面平行的平面唯一 ;3)过一点与已知平面垂直的直线唯一 ;4 )过一点与已知直线垂直的平面唯一 ,其余情况均不唯一 .为了便于记忆 ,通俗概括为 :“同类平行唯一 ,异类垂…     

这样的直线有多少条?

不少报刊可能都刊载过这样的问题:过空间任意一点且与两已知直线成等角的直线有多少条?这个问题解决后,现在问:过空间任意一点且与两已知平面成等角的直钱又有多少条?本文对此问题作一探讨. 问题 已知P为空间任意一点,二面角α-l-β的大小为θ,则过点P且与α、β成等角(?)的直线m有几条? 解析 由已知,θ∈[0,π],(？)∈[0,π/2],1.若θ=0或π,不难得到(1)当(？)=π/2时,     

无棱二面角求解例析

无棱二面角是立体几何中一类典型问题,1 996和2 0 0 1年全国高考曾两度考过.有些同学由于作不出二面角的棱,从而找不到或作不出二面角的平面角.事实上,常见的无棱二面角主要有两类.以下分别加以例析,供同学们参考.1　找出与二面角的棱平行的已知直线,不必作出二面角的棱若图中两个平面已有一个公共点,依据公理2 ,直线∥平面(或平面∥平面)的性质定理,待求二面角的棱必过该公共点,且平行于已知图中的某一条(或多条)直线,此时,二面角的棱不必作出,只需依据已知直线确定出二面角的平面角.例1　如图1 ,四棱锥P -ABCD底面是正方形,PA⊥平面AB…     

求与已知直线夹角为定值的直线方程的定理

在现行全日制普通高级中学教科书(必修)《数学》第二册(上)(人民教育出版社,2004年6月第1版)中,在讲授了两直线互相平行或垂直的充要条件之后,分别给出了求过已知一点与已知直线平行或垂直的直线方程的例题.课本上的解题过程分为两步:先利用两直线平行或垂直的充     

三角形费马点的再推广

1问题的提出1640年,费尔马提出如下问题:“在平面上给出A、B、C三点,求一点P使距离和PA+PB+PC达到最小.”这就是数学史上著名的“费尔马问题”.特别地,点A、B、C三点不共线时,使PA+PB+PC最小的点P称为△ABC的费尔马点.文[1]把费马点问题推广到“两定点、一条定直线”的情形,下面笔者再对“费马点”问题做出如下推广:推广一在平面内,已知三条定直线l1、l2、l3,在平面内求一点P,使点P到直线l1、l2、l3的距离之和最小.     

空间向量,夹角与距离

1.本单元重、难点分析本单元的重点是:空间向量的概念和运算,空间向量的坐标运算,直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念,两种角(斜线与平面所成的角,二面角)的概念和计算,两个平面垂直的判定和性质,空间四种距离的定义和计算.本单元的难点是:对概念的准确理解和掌握,运用向量工具研究空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,计算有关角和距离.2.典型例题选讲图1例题图例题已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=21AB=1,M是PB的中点.(Ⅰ)证明:面PAD⊥面…     

一道高考试题的类比探究与题源探究

1原题呈现试题如图1,过坐标原点的直线交椭圆x2/4+y2/2=1于P、A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k.求证:对任意k＞0,均有PA⊥PB(2011年高考江苏卷理科第18题的第三小题).     

认识三余弦公式

<正>高中数学在讲解第九章《直线、平面、简单几何体》（B）直线与平面所成的角时,出现了下面一个关系式:cosθ= cosθ₁ cosθ₂.如图1,PA⊥α,θ₁=∠PBA,是斜线BP与α所成的角;θ₂=∠ABC,是射影BA与α内经过B点的任意一条     

角平分面的性质及应用

<正>我们首先引进角平分面的概念,设OC是∠AOB的角平分线,过点O作∠AOB所在平面的垂线l,把由直线l和射线OC确定的半平面叫做∠AOB的角平分面.通过研究发现角平分面有如下性质:性质1角平分面内的任意一条直线和角的两边所成的角相等(如图1).证明设直线m是∠AOB的角平分面内任意一条直线,(1)当m是角平分线或平行于角平分线,或者m⊥平面AOB时,显然成     

到两线段“距离”相等的点的轨迹

在平面上,已知直线l与l外一点P,任取直线l上的点Q,连接PQ,那么,当PQ⊥l,线段PQ的长度最短,称点P到直线l的距离就是该垂线段的长度.直线是无限延伸的,可是如果l不是直线,而是线段,那么,距离该怎么理解?下面我们来看看2011年高考上海卷中的这道题:已知平面上的线段l及点P,任取l上一点Q,线段PQ的长度的最小值称为点P到线     

妙用最大角原理解立体几何题

<正>立体儿何小题在浙江高考中多扮演把关的角色,试题往往背景深刻,内涵十-富,是考生取到高分的瓶颈.本文从二面角与线面角的关系出发,结合近期的一些模考题,给出简洁的解法,以飨读者.如图,P是平面α外一点,PO⊥α,O是垂足,直线lα,点P与直线l所确定的平面为β,点B∈l.设PB与平面α所成的角     

考点29 线线、线面、面面关系

1.(全国卷,2)正方体ABCD-A1B1C1D1中,P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点,那么,正方体的过P、Q、R的截面图形是().(A)三角形(B)四边形(C)五边形(D)六边形2.(天津卷,4)设α、β、γ为平面,m、n、l为直线,则m⊥β的一个充分条件是().(A)α⊥β,α∩β=l,m⊥l(B)α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γ(C)α⊥γ,β⊥γ,m⊥α(D)n⊥α,n⊥β,m⊥α3.(福建卷,4)已知直线m、n与平面α、β,给出下列三个命题:1若m∥α,n∥α,则m∥n;2若m∥α,n⊥α,则n⊥m;3若m⊥α,m∥β,则α⊥β.其中真命题的个数是().(A)0(B)1(C)2(D)34.(辽宁卷,4)已知m、n是两条不…