综合向量法求解二面角

笔者在贵刊文[1]给出求解二面角的一个有效方法———法向量截面法,即求出两半平面的法向量,并判断其相对二面角的方向(判定两法向量夹角与其平面角是相等还是互补,关键就在这里),进而准确求解平面角.本文再给出一种更加快捷有效的方法———综合向量法,"综合"是指传统的几何方法,如求二面角的"一作二证三计算",     

多方位把握二面角的平面角的求作

二面角的平面角是立体几何中的一个重要内容 ,其求作方法 ,既是学习中的难点 ,也是高考命题的热点 ,其关键是如何根据所给空间图形正确找出二面角的平面角 .作二面角的平面角时 ,有一个最基本的要求 ,就是便于应用和计算 ,因此 ,二面角的平面角并不是随便作出的 ,必须在不同的条件下 ,选择适当的作法 .下面结合二面角的平面角的定义总结出二面角的平面角的七种常用作法 .1　二面角平面角的定义图 1　二面角及其平面角示意图从一条直线出发的两个半平面形成一个二面角 .如图 1,α -ｌ - β是一个二面角 ,在二面角的棱ｌ上取点Ｏ ,过Ｏ在半平…     

“棱法向量”求二面角

<正>向量法求解二面角,将面与面的平面角转化为两平面法向量的夹角,回避了复杂程度高的几何技能.但是,二面角的大小与法向量的夹角是"相等"还是"互补"的问题,一直困扰着大家.本文立足二面角的定义,利用棱法向量,给出一种简捷、有效的方法.我们把二面角的半平面内与棱垂直且以垂足为起点的向量,称为二面角的棱法向量.     

二面角的平面角的基本构造法

空间的角是最基本的几何量之一.二面角的平面角是其中很重要的一类角,空间图形中点、线、面的位置关系常用它进行定量分析.它的构造是解题的关键所在.只有找到题目中二面角的平面角的恰当位置,才能搭起已知与未知之间的桥梁.因此,熟悉和掌握基本图形结构中各种二面角的平面角的构造方法,是同学们求解与二面角相关问题的必经之路.下文从二面角结构的“棱”和“半平面的垂线”入手,例谈三种二面角的平面角的基本构造方法.二面角的平面角的构造要符合准确性、可求性、易求性三原则.     

结合高考试题谈二面角及其平面角

二面角及其平面角是立体几何教学中的重点和难点．在立体几何中，两平面的位置关系主要是用它们所成的二面角来刻画的，而将二面角这个空间图形数量化，采用的是构造二面角的平面角的手法，使问题转化为平面几何问题来研究．二面角的平面角所在平面与二面角的棱垂直（线面...     

无棱二面角求解例析

无棱二面角是立体几何中一类典型问题,1 996和2 0 0 1年全国高考曾两度考过.有些同学由于作不出二面角的棱,从而找不到或作不出二面角的平面角.事实上,常见的无棱二面角主要有两类.以下分别加以例析,供同学们参考.1　找出与二面角的棱平行的已知直线,不必作出二面角的棱若图中两个平面已有一个公共点,依据公理2 ,直线∥平面(或平面∥平面)的性质定理,待求二面角的棱必过该公共点,且平行于已知图中的某一条(或多条)直线,此时,二面角的棱不必作出,只需依据已知直线确定出二面角的平面角.例1　如图1 ,四棱锥P -ABCD底面是正方形,PA⊥平面AB…     

二面角

二面角是立体几何的基本概念之一,是组成空间图形的重要元素．涉及二面角的度数或二面角彼此相等时,一般应先考虑它的平面角,我们可以根据定义在给定图形中找出二面角的平面角,若题设图形中没有给出,则需要根据图形的实际情况作出平面角．     

求解二面角问题的基本方法

二面角问题因其需要充分运用立体几何第一章的线线、线面、面面关系 ,具有综合性强 ,灵活性大的特点 ,因此 ,一直成为高考、会考的热点 .求解二面角问题一般可分为直接法和间接法二大类 .1　直接法直接法就是根据已知条件 ,首先作出二面角的平面角 ,再求平面角大小的方法 ,求作二面角平面角的方法主要有 :①利用定义即在二面角α -ｌ- β的棱ｌ上任取一点 ,然后在两个半平面内分别作棱的垂线ａ ,ｂ ,则这两条垂线ａ ,ｂ所成的角即为二面角的平面角 .例 1　在三棱锥Ｐ-ＡＢＣ中 ,∠ＡＰＢ =∠ＢＰＣ=∠ＣＰＡ =6 0°,求二面角Ａ-ＰＢ-Ｃ的余…     

“无棱”二面角的棱的定位

求二面角大小一直是高考的一个热点,其中“无棱”二面角问题,可以利用面积射影法或空间向量法求解,也可作平面角直接求解．对“无棱”二面角,由于没有给出公共棱,欲作平面角,其关键是先得作公共棱,这历来是同学们解题的难点．本文就二面角的棱的确定问题作些探讨．1找公共点定位特别地,当题目中已经给出二个半平面有一个公共点时,可再另找一个公共点,二点相     

未知棱的二面角的一种求法

求二面角的大小是立体几何的一个重点和难点 ,其关键在于作二面角的平面角 ,但在实际解题过程中 ,我们常会遇到未知二面角的棱 ,仅知二面角两个面的一个交点 ,而求二面角的大小的问题 ,通常需先作出二面角的棱 ,再找平面角 ,这就增加了作二面角的平面角的难度 .这里我们介绍一个定理 ,不须作二面角的棱而可直接作出平面角 .定理　如果有两条平行直线分别在二面角图 1的两个半平面内 ,过二面角棱上的一点 ,作它们的垂线 ,则两垂线所成的角即为二面角的平面角 .利用线面平行的判定及性质和二面角平面角的定义即可证明这个结论 .如图 1 :二面角…     

二面角计算公式的推广及应用

求二面角大小通常的方法是先作出二面角的平面角 ,把空间问题转化成平面问题加以解决 ,这是立体几何的一个难点 .而当二面角的棱没有事先给出的情形 ,要作出其平面角更显得困难 .为此 ,本文把一些常用的二面角计算公式作了推广 .这样 ,即可依据已知条件 ,无需作出平面角或添加辅助面 (线 ) ,直接确定其二面角的大小 .不难看到 ,采用这些公式对于解决某一类涉及二面角计算的问题相当见效 .设∠ＡＰＢ在平面Ｍ的一侧 ,顶点Ｐ在平面Ｍ上 ,边ＰＡ、ＰＢ与平面Ｍ所成角分别为α ,β(0 ≤α ,β <π2 ) ,在平面Ｍ上的射影分别为ＰＡ1 ,ＰＢ1 .平面…     

四法求解无棱二面角

众所周知,二面角既是立体几何的一个重点,也是立体几何的一个难点,难主要难在不知如何作出二面角的平面角,特别是无棱（所求二面角中两个平面没有公共棱）二面角更不知从何下手．我在学习之余收集了几个这方面的题目,并加以整理,介绍求解无棱二面角大致的几种方法,希望能对大家有所启迪．     

二面角及其平面角

二面角及其平面角江苏省宝应县文教局教研室齐家谈江苏省宝应县西安丰中学乐金科【基本概念】二面角，就是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．二面角的大小是用它的平面角来度量的．以二面角棱上任意一点为端...     

如何求作二面角的平面角

同学们在平常求解关于求二面角的大小的习题时总觉比较棘手,究其原因,主要是不知如何作出二面角的平面角。事实上,二面角的平面角大都可通过垂直关系(线线垂直,线面垂直,面面垂直)作出来,下面通过几个例题说明。     

通过一题多解与一题多变掌握二面角的平面角的求法

二面角的平面角是立体几何中三种角(异面直线所成角、直线与平面所成角、平面与平面所成角)之一,也是最难计算的角,常给同学们造成困难.本文通过一道题的多变与一道题的多解来介绍二面角的平面角的求法,供同学们参考.     

§9.6.1二面角

教学目标1.使学生正确理解和掌握"二面角"、"二面角的平面角"的概念.2.引导学生探索和研究"二面角的平面角"应该如何定义,在概念形成的过程中,发展学生的思维能力.     

二面角的平面角的研究

<正>学习立体几何对培养同学们的逻辑思维能力和空间想象力有着不可替代的作用.然而在学习过程中,包括笔者在内的很多同学对二面角的平面角概念有些模糊,除了二面角的平面角唯一性之外,最值性也是它被用来度量二面角的重要原因.本文将使用数形结合的方法探讨二面角的平面角的最值性.我们在已知二面角的棱上取一点,过这一点在两个半平面上各引一条射线,它们的夹角     

以线定位作二面角的平面角

求二面角时,通常要作其平面角,常用方法有:1)根据定义;2)通过三垂线定理;3)通过作棱的垂面,如图1.图1　三种方法示意图这三种方法是视已知点Ｐ的位置不同而出现的三种相应的作法.即当点Ｐ在二面角的棱上时,直接根据定义作出平面角;当点Ｐ在二面角的一个半平面内时,可利用三垂线定理作出平面角;当点Ｐ在二面角的二个半平面外时,通过作棱的垂面而作出平面角.其实质是平面角所在的平面是由点Ｐ来定位的(简称以点定位).有了这三种方法,问题似乎全部可解决.但在复杂的图形中,由于点的个数较多,以哪个点作为定位点就难以决定.即使点已选定,平面角…     

求一类二面角的取值范围

做题时,碰到一个好题目,颇有想法,现提供出来,与大家共享: 在正四棱锥P-ABCD中,求二面角A-PB-C的平面角的取值范围. 分析一要求二面角的平面角的取值范围,可先作出其平面角,然后在这个平面角所在的某个三角形中,求这个角的某个三角函数值的取值范围,最后得到所求平面     

二面角求法面面观

<正>空间角是立体几何的重要内容,也是高考必考知识点,特别是求二面角的大小,既考查空间想象能力和逻辑推理能力,又考查运算求解能力.下面以高考题为例,谈谈二面角的平面角作法和求法,供参考.1.几何法作出二面角的平面角,解此角所在的直角三角形,可得二面角的大小.