巧添圆求最值三例

<正>有些最值问题,做题时如果心中有圆,能从题目中发现其隐藏在图形中的圆,画出圆,说不定会有出其不意的解题效果.现从中考题选取三例说明:例1(2016年安徽)如图1,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个动点,且满足∠PAB=∠PBC,则线段CP长的最小值为().     

巧添辅助圆,求解相关最值问题

<正>在动态问题中求解最值是近几年中考的一大热点.本文结合部分与圆相关的最值问题具体谈谈如何巧添辅助圆,顺利求解最值问题.例1如图1(1),在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=6,点D是边BC的中点,点E是边AB上的任意一点(点E不与点B重合),沿DE翻折△DBE使点B落在点F处,连接AF,则线段AF长的最小值是     

三角形的一个外心判定定理及其应用

一、判定定理如图1,若OA=OB=OC,则点O为△ABC的外心.简证以点O为圆心,以OA长为半径画圆,如图2所示,由于OA=OB=OC,因此⊙O必经过A、B、C,即⊙O为△ABC的外接圆,故点O为△ABC的外心.二、应用举例例1(《中学生数学》2007(6)·P8)如图3,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AC=AD=3,BC=2,求对角线BD的长.解由AB=AC=AD知点A为△DBC的外心,延长BA交△ABC的外接圆于E,连DE,由AB∥DC知DE=BC=2,又EB=2AB=2×3=6,     

用勾股定理列方程组求多边形的面积

<正>一、构造方程组求三角形的面积例1如图1,△ABC中,∠BAC=60°,AB=2AC,点P在△ABC内,且PA=槡3,PB=5,PC=2,求△ABC的面积.解过点P作PD⊥BC于点D,作PE⊥AC于点E,则∠AEP=∠PDC=∠PDB=90°.因为∠BAC=60°,AB=2AC,     

一个作图试题的解答和思考

<正>1案例如图1,△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,射线AD//BC,点P和点Q分别是AD,BC上的动点,且AP=CQ,问BP+BQ是否存在最小值?如果存在,在图2中请用尺规作图在图中确定P,Q的位置,并计算BP+BQ的最小值;如果不存在,请说明理由.     

教材多次渗透的好方法——面积法

学习数学掌握解题方法很重要,解题方法对头则事半功倍,面积法就是一种常用的解题方法,教材中多次渗透,下面让我们走进教材去看一看.图1例1(人教版七年级数学下册第76页第7题)如图1,△ABC中,AB=2cm,BC=4cm.△ABC的高AD与CE的比是多少?(提示:利用三角形的面积公式.)分析根据提示S△ABC=12AD.BC=12CE.AB,又AB=2cm,BC=4cm.所以21AD×4=21CE×2,变形得AD∶CE=1∶2.提示的目的就是让我们使用面积法解题,也让学生初步接触面积法.例2(人教版八年级数学下册第78页第8题)在△ABC中∠C=90°,AC=2.1cm,BC=2.8cm.(1)求△ABC的面积;(2)求斜边AB;(3)求高CD.分析(1)S△ABC=21AC.BC=21×2.1×2.8=2.94(cm2).(2)根据勾股定理易求得AB=3.5cm.(3)根据面积得S△ABC=12AB.CD=12×3.5×CD=2.94,解得CD=1.68(cm).这里虽然没有提示,然而通过问题在一步一步地引导着我们使用面积法求斜边上的高.而若不用面积法求CD,此题的难度就太大了.图2例3(人教版八年级数学下册...     

问题征解

一、本期问题征解 1.已知47~(100)是168位数,试求47~(25)的位数。 2.已知x、y为正整数,且xy=24,求函数1/(x~2+y~2)的极大值。 3.在△ABC和△A′B′C′中,已知∠B=∠B′,BC=B′C′,AB+AC=A′B′+A′C′, 求证△ABC≌△A′B′C′。 4.在△ABC中,AB=AC,在AB上取一点D,AC延长线上取一点E,使DB=EC,连接DE交BC于G,求证DG=GE。黄冈上巴河标云岗中学熊红英 5.M为BC边的中点,AD为∠A的平分线。过A、D、M三点作圆设交AB、AC于E、F点,求证BE=CF。     

锐角三角函数在计算圆的半径中的应用

<正>已知三角形一边和对角可以计算三角形外接圆半径,附加三角形为等腰三角形条件,可以确定三角形内切圆的半径.例1(2012年湖北武汉中考第22题)在锐角△ABC中,BC=5,sinA=4/5,(1)如图1,求△ABC的外接圆的直径;(2)如图2,点I为△ABC的内心,若BA=BC,求AI的长.     

从一般性角度优化解法

题目如图1,Rt△ABC两直角边的边长为AC=1,BC=2.(1)如图2,⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X,与边CB相切于点Y.请你在图2中作出并标明⊙O的圆心O;(用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明)(2)P是这个Rt△ABC上和其内部的动点,以P为圆心     

“折、剪、拼、量“的中考数学试题

2005年全国各地中考数学试题中,涌现出了许多题型活泼、设计新颖、富有创意的动手操作型试题,本文对这类试题分类评析,供参考.一、折叠问题1.1求线段的长例1:(05深圳)如图,ABCD中,点E在边AD上,以BE为折痕,将△ABE向上翻折,点A正好落在CD上的点F,若△FDE的周长为8,△FCB的周长为22,则FC的长为.解:因为△ABE向上翻折成为△FBE,所以△ABE≌△FBE,所以EF=AE,BF=AB,∵DE EF DF=8,∴AD DF=8,∵BF BC CF=22,∴AB BC CF=22,∴AD DF AB BC CF=8 22即AB BC=15∴CF=7.1.2探求角度问题例2:(05扬州)如图:将一张矩形纸片…     

深入研究 多解一道例题

<正>近日阅读贵刊2018年3月下,周春荔教授的几何专题讲座《圆的基本问题(下)》,其中的例题20引发笔者的兴趣.原例题如下:如图1,△ABC中,AB=BC,∠ABC=20°,在AB上取一点M,使得BM=AC.求∠AMC的度数.解答中首先以BC为边在△ABC外作正△KBC,如何想出作正△KBC;其次,怎么顺势连接KM,而能利用点B、M、C在以K为圆心,KB为     

一个模型的生长点

<正>图1模型如图1,在直线l的同侧有两点A、C,在直线l上找一点B使AB+BC的值最小.如图1,显然我们先找到点A关于直线l的对称点A′,连结A′C交直线l于点B,则此时AB+BC=A′C最小.证明简单,这里从略.生长点一一个动点图2例1(第16届希望杯赛题)如图2,正△ABC的边长为a,D是BC的中点,P是AC上的动点,连结PB和PD得到△PBD.求:(1)当点P运动到AC的中点时,△PBD的周长;(2)△PBD的周长的最小值.简析(1)略;(2)△PBD中,因为点B和点D是定点,所以BD的长度唯一确定,又正△ABC的边长为a,即BD=12a,所以若求△PBD的周长的最小值,只需求出PB+PD的最小值即可,此时已经     

一道中考压轴题的求解途径及其拓展

题目 (2010年上海市中考数学第25题)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,半径为1的⊙A与边AB相交于点D,与边AC相交于点E,连接DE并延长,与线段BC的延长线交于点P.(1)当∠B=30°时,连接AP,若△AEP与△BDP相似,求CE的长;(2)若CE=2,BD=BC,求∠BPD的正切值;(3)若tan∠BPD=1/3,设CE=x,△ABC的周长为y,求y关于x的函数关系式.     

三角形中的“五心”向量定理

<正>一、问题的提出在△ABC中AB=BC=2,AC=3,设I是△ABC的内心,若AI→=pAB→+qAC→,则p/q的值为_______.解如图1,设⊙I与AC相切于D,因为AB=BC=2,则D为AC中点,且B、I、D,三点共线.由内角平分得DI/IB=AD/AB=3/2/2=3/4,     

直角三角形的最小内接定形直角三角形

本文的起源是《数学通报》问题栏问题1526.问题1526△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,D、E、F分别是AB、AC、BC上的点,若△DEF为等腰直角三角形,且∠EDF=90°,求△DEF面积的最小值.《数学通报》2005年第1期刊出了问题提供者利用三角法给出的解答,但该解答未给出△DEF面积最小时     

一道中考几何题的“先猜后证”

<正>本文以2017年北京中考的几何综合题为例,说明解题中"先猜后证"的思考过程,供参考.一、原题呈现(2017年北京市中考第28题)如图1,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,P是线段BC上一动点(与点B、C不重合),连接AP,延长BC至点Q,使得CQ=CP,过点Q作QH⊥AP于点H,交AB于点M.(1)若∠PAC=α,求∠AMQ的大小(用含α的式子表示).     

避开相似 充分利用三角函数

<正>对于有公共角或等角的直角三角形,我们可以避开相似,充分利用三角函数的定义解题,这样更为简洁,下面举例说明.引例如图1,CD是Rt△ABC的斜边上的高,求证:(1)BC2=AB·BD;(2)CD2=AD·BD.证明(1)∵Rt△ABC中,cos∠B=BC AB,而在Rt△BCD中,cos∠B=BD/BC,∴BC AB=BD/BC,即BC2=AB·BD.(2)∵∠B、∠ACD都与∠A互余,∴∠B=∠ACD.∵Rt△BCD中,tan∠B=CD/BD,     

例析全等和相似的构造

<正>构造法是解决数学问题时实现问题转化最具有活力的方法之一.本文以2019年武汉市的一道中考题来例析图形中全等和相似形构造的灵活巧用解题.例如图1,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB/BC=n,M是BC边上一点,连接AM.过点B作BP丄AM,P为     

关于内切圆

<正>本文对有关三角形内切圆的一些结论进行了梳理,并对利用这些结论解决内切圆问题举几例给予说明.图1结论1如图1,△ABC的内切圆⊙O与CA、AB、BC分别相切于点D、E、F,⊙O的半径为r,△ABC的周长为l,那么S△ABC=12lr.     

一道初中数学联赛试题的四种解法

<正>试题(2017年全国初中数学联合竞赛福建省赛区初赛)如图1,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=12,AC=13.若以AC为边作正方形ACDE,那么△BCE的面积等于____.解法1如图2,过点E作直线AB的垂线,交BA的延长线于点G,则EG∥BC.在Rt△ABC中,由勾股定理易知