数学问题解答

20 0 3年 1 1月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 461　如图 :四面体D -ABC中 ,△ABC是边长为 1的正三角形 ,面DAB ⊥面ABC ,面ADC⊥面BDC ,求四面体体积的最大值 .解　过点A作AE ⊥CD交CD于点E ,则AE ⊥面DBC .过点D作DF⊥AB交AB于点F ,则DF ⊥面ACB ,设｜DF→｜=x ,根据题意 ,只需求x的最大值 .设AF→ =λAB→ ,则FB→ =( 1 -λ) AB→DE→ =μDC→ ,则EC→ =( 1 - μ) DC→AE→ =AD→ +DE→ =AF→ +FD→ + μDC→=λAB→+FD→ + μ( DB→ +BC→)=λAB→+ FD→ + μ( DF→ + FB→ + BC→)=(λ+ …     

一道中考数学模拟试题的多种证法

<正>(2016年北京市通州区初三模拟考试数学试卷第28题)在△ABC中,∠ABC=45°,AB≠BC,BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D.(1)如图1,作∠ADB的角平分线DF交BE于点F,连接AF.求证:∠FAB=∠FBA;(2)如图2,连接DE,点G与点D关于直线AC对称,连接DG、EG.(1)依据题意补全图形;(2)用等式表示线段AE、BE、DG之间的数量关系,并加以证明.     

一道竞赛题的探源

在2005年卡西欧杯全国初中数学竞赛B卷中,出现了这样一道几何题 :如图1,分别以锐角△ABC的边AB、BC、CA为斜边向外作等腰Rt△DAB、等腰Rt△E BC,等腰Rt△FAC,求证:(1)AE=DF;(2)AE⊥DF.     

一道考试题的多种解法

<正>看下面的题目:已知:四边形ABCD是正方形,E是AB边上一点,连接DE,过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F,连接EF.(1)如图1,求证:DE=DF;(2)如图2,连接AC、EF交于点M,求证:AB+AE=槡2AM.这是我市八年级期末考试的一道题目,第一问比较简单,只要证明△ADE与△CDF全等就可以了,在这里就不再赘述.下面先给出     

对一道拓广探索题的再拓广

人教版八年级《数学》上P27页有一道拓广探索题:如图1,△ABC中,AD是它的角平分线,求证:S△ABD∶S△ACD=AB∶AC.分析这是角平分线性质的运用.按照书上的提示:作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,则由角平分线性质有DE=DF.     

初二几何第二学期期末自测题

A组一、填空题(每小题4分,共40分) 1、直角三角形斜边上的中线与斜边的比是. 2、已知a/b=c/d=e/f=2/3,则b+d+f/a+c+e的值是. 3、已知:如图,l1∥l2∥l3,AB/BC=4/5,则DE/DF=.(第3题) 4、等边三角形的角平分线与边长的比是. 5、如图,ED∥BC,DF∥AB,AE=1.8cm,BF=1.6cm,FC=1.2cm,则BE=. 6、如图,∠1=∠2,AD/DB=DE/DC,则图中能判定相似     

构造图形证几何题一例

题目已知△ABC为等边三角形,延长BC到D,延长BA到E,且使AE=BD,连结CE、DE.求证:CE=DE. 一、从构造全等三角形证明三角形全等来实现,有证法1～4: 1.延长BD到F,使CF=AE,则BC=DF,BA AE=BC CF,即BE=BF,     

一道课外习题的多种证法和说明

<正>《中学生数学》2020年8月下(初中版)课外练习初二年级第3题:问题呈现已知如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,CM⊥AB于点M,点D在BC上,且AC=CD=DB,AD与CM交于点E.求证:2AE=ED.本题看似繁复,实则简单.它是一直角边为另一直角边2倍的直角三角形,在正方形问题中经常出现,只不过把它从正方形分离出来,变化为直角三角形的问题.     

一道折叠问题的多种解法

<正>原题呈现现有一张矩形纸片ABCD(如图1),其中AB=4cm,BC=6cm,点E是BC的中点,将纸片沿着直线AE折叠,点B落在四边形AECD内,记为点F,则线段FC=____.(答案是18/5cm)解法探究1.面积法结合勾股定理解法1连接BF交AE于点O,如图2,由折叠可知BF⊥AE,OB=OF;因为点E是BC的中点,可知BE=EC=3cm,利用勾股定     

利用基本图形进行课本习题的挖掘和深化

原题1 已知:如图1,∠ABC、∠ACB角平分线交于点F,过F作DE∥BC交AB于D,交AC于E,求证:BD EC=DE.(初中《几何》第二册P85) 略证∵BF平分∠ABC,CF平分∠ACB,DE∥BC, ∴ △DBF、△EFC是等腰三角形, DF=BD,EF=EC, ∴ BD EC=DE. 原题2(初中《几何》)第二册P116,15题,题略)     

例谈线段相等的证明技巧

<正>线段相等的证明灵活多变,在初中几何证明中频频登场．以下举例浅谈解这类问题的多种技巧,供同学们参考．1通过证明三角形全等来证明对应边相等例1如图1,AB∥CD,AB=CD,CE=BF,求证:DF=AE．分析欲证线段DF=AE,只需证明△CFD≌△BEA.证明因为AB∥CD,所以∠B=∠C．又因为CE=BF,所以CE-EF=BF-EF,即CF=BE.     

一道全国初中数学联赛试题的解法探析

<正>1.原题(2005年全国初中数学联赛初赛)如图1,AB是⊙O的直径,AB=d,过点A作⊙O的切线并在其上取一点C,使AC=AB,连结OC交⊙O于点D,BD的延长线交AC于E,求AE的长.2.巧添平行线,转化线段比思路要求AE的长,可转化为求AE/AC     

一道竞赛题的开放性探索

2001年江苏省第十五届初中数学竞赛第二试初二第17题为:如图1,△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D是AC上一点,AE⊥BD交BD的延长线于E,且AE=1/2BD,求证:BD是∠ABC的角平分线. 这是一道看似简单却内涵丰富的好题,本文对此题作如下开放性探索.     

三角形等角线的一个新性质

本文将给出三角形等角线的一个新性质 :定理　设 AD、AE是△ ABC的等角线(∠ BAD =∠ CAE,如图 1 ) ,且△ ABD、△ ACE的内切圆分别与BC相切于点 M和 N,则1MB 1MD=1NC 1NE.图 1证明　如图 1 ,由切线长公式得MB =12 ( AB BD - AD) ,MD =12 ( AD BD - AB) ,NC =12 ( AC CE - AE) ,NE =12 ( AE CE - AC) .所以 ,有BD .NC .NE= BD4( AC CE - AE) ( AE CE - AC)= BD4( CE2 - AC2 - AE2 2 AC .AE)= 14[BD( CE2 - AC2 - AE2 ) 2 BD.AC.AE],1CE .MB .MD= CE4( AB BD - AD) (…     

对1842号问题及一个相关内容的再探讨

1842号原题 △ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c.D、E、F分别是AB、AC、BC上的点,若△DEF是等腰三角形,且∠EDF=90°.求△DEF面积的最大值.贵刊在2010年第4期上登载了该问题的解答.现对该问题及一个相关内容再作如下探讨,用另一种方法求出△DEF面积的最大值和最小值.如图1,△DEF就是符合题设的三角形.过点D分别作DM⊥CA、DN⊥CB,垂足分别为M、N.因为∠DME=∠DNF=90°,DE＝DF,又易证∠1=∠2,所以Rt△DME≌Rt△DNF.所以DM=DN.所以点D在∠ACB的平分线上.当DE⊥CA时,必有DF⊥CB,反之亦然.这时直接可得点D在∠ACB的平分线上.又点D在AB上,因此,点D是唯一的.由此可知:所有符合题设的△DEF均以唯一的点D为公共顶点.连结CD,CD即为Rt△ABC的角平分线.     

一道抛物线问题的思路突破与教学微设——以2021年常州市中考卷抛物线问题为例

<正>1考题呈现,思路突破1.1考题呈现考题（2021年常州市中考卷第28题）如图1所示,在平面直角坐标系xOy中,正比例函数y=kx (k≠0）和二次函数■的图象都经过点A(4,3）和B,过点A作OA的垂线交x轴于点C.D是线段AB上的一点（点D与点A,O,B不重合）,E是射线AC上的一点,且AE=OD,连接DE,过点D作x轴的垂线交抛物线于点F,以DE,DF为邻边作平行四边形DEGF.     

由图形位置而引起的数学讨论

由于对图形可能产生的各种位置考虑得不全面,从而造成解题错误的现象,是广泛存在的。如: 例1 已知△ABC,AB=15,AC=20,高AD=12。求:角平分线AE的长。人教社出版的“教参”中,得到如下解答: 如图1,根据勾股定理得 BD=9 DC=16 由角平分线性质得 20/15=CE/25-CE可得 CE=100/7,∴DE=16-100/7=12/7 在Rt△ADE中,由勾股定理得AE=2(1/60)/7。     

菱形中的一道精彩试题

<正>题目已知:如图1,△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,AE是角平分线,交CD于点F,EG⊥AB,G为垂足.求证:四边形CEGF是菱形.一、一题多证思路分析1先证四边形CEGF是平行四边形,再证EG=EC.证法一如图1,∵AE平分∠BAC,EC⊥AC,图1EG⊥AB,∴EC=EG,EG∥CF.又∵∠ACD+∠CAD=90°,     

“空间四点定球”的探索

在平面几何中,不在同一直线上的三点可以确定一个圆:若三点连线组成三角形,且三角形的三边己知,则此三角形的外接圆的半径可以求出。在空间中不在同一平面内的四点可以确定一个球,若四点连线组成四面体,且四面体的六条棱长已知,那末此四面体的外接球半径是否可以求出?本文对此问题进行探索。设四面体D—ABC中,BC=a、AC=b、AB=c其相对棱DA、DB、DC的长分别为a、b、c,求DABC的外接球的半径。解:在平面ABC中过A作AE⊥BC于E,在平面DBC中过D作DF⊥BC于F,则平面ABC与平面DBC所成二面角的平面角,是异面直线DF与AE所成的角,或此角的补角,由于棱长已知,所以各个     

几何条件梳理，思路突破探究——以2021年苏州市中考几何综合题为例

<正>1 考题再现图1考题 (2021年苏州市中考数学试卷第28题)如图1所示,在矩形ABCD中,线段EF,GH分别平行于AD,AB,它们相交于点P,点P1,P2分别在线段PF,PH上,PP1=PG,PP2=PE,连接P1H,P2F,P1H与P2F相交于点Q.已知AG∶GD=AE∶EB=1∶2.设AG =a,AE=b.(1)四边形EBHP的面积______四边形GPFD的面积(填“>”“=”或“<”);(2)求证：