一题多解

我在学人民教育出版社初中几何第一册P119B7的习题时,觉得该题很有趣味,于是决定探究一下。如图,已知AB∥EF,求证:么∠F=∠B ∠F.     

最值一题探究质疑

文[1]中,笔者见到这样一道题,不妨称为题1.题1在∠A内有一定点P,过P作直线交两边于B,C,问1/PB+1/PC何时取得最大值?     

一赛题的另解

<正>题目在△ABC中,∠BAC=40°,∠ABC=60°,若D和E分别是边AC和AB上的点,且使∠CBD=40°,∠BCE=70°,F是BD和CE的交点,连结AF,求证:AF⊥BC.此题是2013年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题第四题,竞赛组委会所提供的答案是采用多组"四点共圆"进行证明的.本文再给出另外几种证法,供读者赏析.     

布列方程组,解决几何探究题

<正>布列方程组的方法也可以巧妙应用在几何题的探究证明中.下面几道例题,与同学们交流分享.例1已知△ABC中,(1)若∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O,如图1所示,试求∠O与∠A的关系;(2)若∠ABC和∠ACB的三等分线(即将一个角平均分成三等分的射线)相交于O,O_1,如图2所示,试求∠O与∠A的关系;(3)如此类推,若∠ABC和∠ACB的n等分线自下而上依次相     

解题教学要引导学生“回到概念”——以七年级上学期期末模拟测试考题为例

最近,笔者所在七年级数学组为了"备战"期末考试,安排了模拟测试,最后一道题选用了北京某区七年级期末卷上的一道把关题,由于学生考试时间有限,很少有学生能完整解决该题,也使得这道习题呈现了一定的区分功能.本文对这道较难几何题展开讲评,希望引发大家深入思考这类问题的解题策略、讲评技巧.一、题例与思路讲解例1已知∠AOB=α(30°<α<45°),∠AOB的余角为∠AOC,∠AOB的补角为∠BOD,OM平分∠AOC,ON平     

三角形题的解法探讨

<正>问题在△ABC中,∠C=90°,M是边BC中点,若sin∠BAM=1/3,则sin∠BAC=_____.这是2013年浙江高考数学的第16题.考场中解答小题要求快而准,但在平时练习时就得用常规思路求解.下面结合图形探讨这道题的几种解法.解法一选择运用正弦定理、三角函数定义、诱导公式以及相关定理解决与几何计算有关问题.考查考生灵活利用公式的能力.     

一题多解杂谈

本文以新编初中几何教材为例,略述一题多解在教学中的作用。不妥之处,敬请老师们指正。一、以少胜多为了减轻学生负担,不宜布置过多的“课外”作业,更不应搞题海战术。但为了保证教学质量,又要求学生作足够数量的习题,这就是一个矛盾。为了解决这一矛盾,常用的办法是“精选”适量的课外初充题。但笔者认为充分发挥教材习题的作用,用一题多解来做到以少胜多,也是解决矛盾的一个有效方法。下面举一简单例子,说明对同一题目从不同的角度去使用,就可使学生受到不同的训练。例1 (几何一册235页第25题)如图,∠XOY=120,OZ是∠XOY的平分线,直线PRQ分别交OX、OZ、     

一题多解

一题多解合江县合江中学袁志学圆这一章基本上可以说融会贯通通了初中平面几何的知识，垂径定理及其推论在圆这一章又占了重要的位置，下面从一道几何题的多种解法可看出几何知识在这部分的相互渗透。已知：△ＡＢＣ内接于○Ｏ，Ｄ是ＢＣ（的中点，ＤＥ是直径，且∠ＡＢＣ...     

几何一题多解

<正>题目在△ABC中,BD平分∠ABC,E为△ABC外一点,且∠EAB+∠ACB=180°,AE=DC.求证:EF=DF.一、利用截长构造全等三角形方法一在线段BA上截取一点H,使得BC=BH,连结DH.根据BD平分∠ABC以及辅助线,易证△BHD≌△BCD (SAS),所以     

一道中考几何题的“先猜后证”

<正>本文以2017年北京中考的几何综合题为例,说明解题中"先猜后证"的思考过程,供参考.一、原题呈现(2017年北京市中考第28题)如图1,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,P是线段BC上一动点(与点B、C不重合),连接AP,延长BC至点Q,使得CQ=CP,过点Q作QH⊥AP于点H,交AB于点M.(1)若∠PAC=α,求∠AMQ的大小(用含α的式子表示).     

一道初中选拔联题的探究

2011年全国初中数学联赛武汉市选拔赛第14题:图1如图1:已知点A在BG上,四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形,其面积分别为7、11,则△CDE的面积为.这是一道不算难的题,利用sin∠CDE=sin(180°-∠ADG)=sin∠ADG,有S△CDE=12CD·DE·sin∠CDE=12AD·DG·sin∠ADG=12AD·AG=12槡7·槡11-7=槡7.笔者在研究这道题的过程中,发现还可以探得这个图中其它有意思的结论:分别求S△ADE和S△BDE的面积;并指出面积S△CDE、S△ADE、S△BDE三者之间的关系(如图2).     

第35届IMO第2题的又一证法

第３５届ＩＭＯ第２题的又一证法李纯红（四川师范学院数学系６３７００２）第３５届ＩＭＯ第２题如下所述：题Ｎ为∠ＢＡＣ的角平分线上一点，点Ｐ及点Ｏ分别在直线ＡＢ和ＡＮ上，其中∠ＡＮＰ＝９０°＝∠ＡＰＯ．在ＮＰ中任取一点Ｑ，过点Ｑ任作直线交ＡＢ和ＡＣ分别于...     

构造全等 解联赛几何题

<正>2017年全国初中数学联赛四川初二初赛第11题难度不大,图形简洁,但解法众多.下面用多种构造全等的方法求解这道题,供大家参考.题目如图1,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD上的一点,且AD=DC,∠DEC=∠ABC,求证:AB=CE.解法一如图1,在BC上取一点F,使AF=AD.则∠1=∠2,可得∠3=∠4,又∠ABC=∠DEC,AF=AD=CD,故△AFB≌△CDE,     

一道条件多余的赛题

2010年北京市中学生数学竞赛初二试题第2题:如图1,直线k∥l,∠4-∠3=∠3-∠2=∠2-∠1=d>0,其中∠3<90°,∠1=50°,则∠4的最大可能整数值是(     

一题多解一例

题以直角三角形ABC的弦AB为边,在直角顶点另侧做正方形ABDE,设BC=a,AC=b,AB=c.试求直角顶点C到正方形中心的距离. 解法1(利用正弦定理)设Q是所作正方形的中心(图1),则∠AQB=90°,于是A、C、B、Q四点共圆,即Q在△ABC的外接圆周上.AB是这外接圆的直径.对△AQC,应用正弦定理有:     

全等三角形的开放型题例析

全等三角形知识是初中几何的一个重点内容 ,也是几何证明的基础 .因此 ,全等三角形往往是历年中考的基本考点之一 .自国家教育部基础教育司颁发《关于2 0 0 0年初中毕业、升学考试改革的指导意见》之后 ,全国各省市的中考命题都有了较大的改革 ,出现了很多新颖别致的开放性题目 .以“全等三角形”为内容的开放题就是其中的一道亮丽的风景 .本文以近几年的中考题为例 ,分析“全等三角形”的各类开放型题 ,以飨读者 .一 .补充型题这是近几年出现较多的以全等三角形为内容的一类开放题型 ,它通常以填空题形式出现 .这类题是给定一部分条件 ,要求补充一个条件 ,使其两个三角形全等 .所要补充的条件往往是不唯一的 ,具有多种解答 .例如 :例 1　 (2 0 0 2年海南省中考题 )如图 1 ,ＡＢ =ＤＢ ,∠ 1 =∠ 2 ,请你添加一个条件 ,使△ＡＢＣ≌ △ＤＢＥ .则需要添加的条件是 .分析 :如图 1 ,由∠ 1 =∠ 2 ,易证∠ＡＢＣ =∠ＤＢＥ .又∵ＢＡ =ＢＤ ,因此 ,要使△ＡＢＣ≌ △ＤＢＥ ,根据全等三角形的判定定理 ,必须加上另外一个条件 :或ＢＣ =ＢＥ ,或∠Ａ =∠Ｄ ,或∠Ｃ =∠ＢＥＤ...     

一道初中几何题与国内外竞赛题

题1　在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4,求证:1a=1b 1c.这是一道常见的平面几何题,证法如下:延长CB到D,使BD=c,∴　∠D=∠BAD,　　∠CBA=2∠D.∵　∠CBA=2∠CAB,　∴　∠CAB=∠D.∵　∠C公共,　∴　△CAB∽△CDA,∴　CACD=CBCA,　即　ba c=ab,则有　　　　　　b2-a2=ac,(1)同理可证　　　c2-b2=ba.(2)(1) (2)得　c2=ac ab a2=a(a b c),∴　1a=a b cc2=a bc2 1c=a bab b2 1c,∴　　　　1a=1b 1c.(3)下面把题1引申,由于(1)式的证明步步可逆,立得　　题2　在△ABC中,若b2-a2=ac,则∠B=2∠A.由(3)式得　　　　bc=ac ab,(4)(…     

一道三角函数题的多种解法

<正>笔者近年来一直担任初三毕业班的数学教学,教学中发现了许多一题多解的题目,因为这些一题多解涉及整个初中的各个知识点,同时它对锻炼学生的发散性思维及激发学生对数学学习的兴趣也很有益.现以初三第一轮复习解直角三角形为例,课堂上同学们对下题的第(2)问给出了四种不同的解法.图1题目(2012年上海)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是边AB的中点,BE⊥CD,垂足为E,已知AC=15,cos A=35.(1)求线段CD的长;(2)求sin∠DBE的值.(以下只讨论第(2)问.)解法1利用锐角三角函数法.解∵△ABC为直角三角形,且CD是斜边上的中线.∴∠ECB=∠ABC,∴cos∠ECB=cos∠ABC,即CE CB=CB AB.∵CB=20,AB=25.∴CE=16,     

这道题可以推广

一、原题《中学生数学》2011(3)·P9《由角平分线的性质想到的辅助线》中例题:如图1,△ABC中,∠ABC=100°.∠ACB的平分线交AB于E,在AC上取点D,使∠CBD=20°,连接DE,求∠CED的度数.二、推广如图2,△ABC中,∠ACB的平分线交AB     

用旋转变换揭示一道平面几何题的结构本质

<正>(人民教育出版社八年级数学下册(2013年审定,2020年印刷)第十八章《平行四边形》第68页"拓广探索"第14题)如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证AE=EF.(提示:取AB的中点G,连接EG)根据提示,取AB的中点G,连接EG构造出△AGE,如图2.根据题意及构造条件知AG=EC,∠AGE=∠ECF,而∠BAE与∠AEB互余,∠AEB与∠FEC互余,