例谈三棱锥外接球问题的求解策略

<正>三棱锥的外接球是其球面经过三棱锥的四个顶点的球,如何解决三棱锥的外接球问题?本文介绍三种基本方法.1定义法例1(2020年广东省高考二模试题)如图1,在矩形ABCD中,已知AB=2AD=2a,E是AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成A_1DE,连接A_1C.若当三棱锥A_1-CDE的体积取得最大值时,     

新题征展(54)

A　题组新编1 .反比例函数 y =kx( k >0 )的图象是双曲线 ,则其渐近线方程是 ;对称轴方程是 ,顶点坐标是 ;离心率是;焦点坐标是 ;准线方程是.2 .( 1 )在三棱锥 V -ABC中 ,VA⊥底面 ABC,∠ ABC =90°若 VA =1 ,AB =2 ,BC =3,则三棱锥外接球的半径为.( 2 )棱长为 2的正四面体外接球的体积为 ;( 3)在正三棱锥 S- ABC中 ,M,N分别为棱 SC,BC的中点 ,并且 AM⊥ MN ,若 SA= 2 3,则正三棱锥 S - ABC的外接球的表面积为 .B　藏题新掘3.在平面直角坐标系中 ,x轴负半轴上有5个点 ,y轴正半轴上有 3个点 ,将 x轴上的 5个点与 y轴上的 3个…     

确定球心、球半径的通法

<正>近几年,有关三棱锥的外接球问题是各级考试中的高频考点.此类问题也是学生的学习立体几何的难点之一.它要求学生具有良好的空间想象能力,外接球的球心在哪儿?半径是多少?是解决此类问题的关键.对于特殊的三棱锥通过补形,构造长方体、或对于正三棱锥利用其对称性知外接球球心在其高所在直线上,容易解决.那么,对一般三棱锥如何确定其外接球球心、外接球半径呢?事实上,我们可以类比圆心的确定、圆的半径的求法解决球的相关问题.     

几何体的外接球问题

<正>我们在解题时,常常会碰到一些关于几何体的外接球的表面积、体积等问题.经过一段时间的归纳总结,我发现解决这一类问题的关键是找到外接球的球心,而找球心一般有以下三种类型:第一种类型:外接球的球心即几何体底面多边形的外心.例1三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的表面上,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,又     

三棱锥的外接球半径的计算方法

<正>纵观近几年全国卷和其他各省市高考卷,对于简单多面体外接球的考查几乎成了高考必考题之一,其中又以对三棱锥的外接球的考查居多.学生在平时学习中,对三棱锥的外接球相关问题的求解普遍感觉困难,主要是因为不善于抓住几何体的结构特征,不能正确寻找球心和半径,下面主要介绍求三种常见类型的三棱锥的外接球半径的计算方法.     

一道高考题的多角度思考

图1题目图题目(2006年高考山东卷)如图1,在等腰梯形ABCD中,AB=2CD=2,∠DAB=60°,E为AB的中点,将△ADE与△BEC分别沿ED,EC向上折起,使A,B重合于点P,则三棱锥P-DCE的外接球的体积为()(A)4273π.(B)26π.(C)86π.(D)264π.解法1由已知可得三棱锥P-DCE的各棱长图2解法1图均为1,因此三棱锥P-DCE为正四面体,如图2,取PD中点M,CE中点N,连MN,则易证MN⊥PD,MN⊥EC,取MN的中点O,则易求得OE=ON2 EN2=(42)2 (12)2=46,同理OD=OC=OP=46,故O为三棱锥P-DCE的外接球的球心且外接球的半径R=46,体积V=43πR3=86π,故选(C).解…     

构造法巧解一题 (一个问题的巧解与反思)

<正>题目（武汉市2008年2月调研题）在三棱锥A—BCD中,三组对棱棱长分别相等且依次为5、34^1/2、41^1/2,求三棱锥A—BCD的体积和外接球的半径.解析联想到长方休的相对两个面的四条对角线相等,且不共面的四个顶点可构成三棱锥的四个顶点.如图,构造长方体,长、宽、高分别为a,b,c.取BC=     

一道高考题的多角度思考

题目 （2006年高考山东卷）如图1，在等腰梯形ABCD中，AB=2CD=2，∠DAB=60°,E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED，EC向上折起，使A，B重合于点P．则三棱锥P-DCE的外接球的体积为 （ ）     

关于三棱锥顶点在底面上射影的位置

在解决三棱锥的问题时,常常要作三棱锥的高。只要抓住了其垂足在底面上的位置,问题就较易解决。因此掌握在各种条件下的三棱锥顶点在底面上射影的位置是解决有关三棱锥问题的关键。现分以下几种情形讨论: 一、(如图):三棱锥P-ABC,当三条侧棱PA=PB=PC时,则顶点P在底面上射影点O为△ABC的外心。     

莫斯科大学1989年入学考试试题

1.解方程(3~)~x27~=9~.2.解不等式(log (8-2)~(1/2)(2x-1))(log_2(1+2x-x~2))≥0.3.经过ΔABC的顶点A与ΔABC的中位线(该中位线与边AC平行)的中点的直线将ΔABC分为两部分的面积之比是多少?4.已知x_1、x_2是二次三项式x~2+ax+a-1/2的实数根,求a为何值时(x_1-5x_2)(x_2-5x_1)取最大值。5.已知三棱锥S-ABC的底是边长为4的正ΔABC,且知AS=BS=(19)~(1/2),CS=3,求该三棱锥外接球的面积。     

外接球问题的探究

<正>外接球问题在近几年高考中时常考查,这类问题对我们高三复习的学习和解题困难也很大,为此本人总结了高考外接球中常见的几类问题,供同学们相互学习.一、构造法构造长方体或正方体,利用长方体(或正方体)体对角线就是外接球的直径来解决外接球的问题.例1(2013年辽宁卷理10)已知直三棱柱ABC-A_1B_1C_1的6个顶点都在球O的球面     

善分割 速解题

巧补图形可使某些立几问题迅速准确获解 ,同样适当地分割图形 ,也可使某些立几问题趋于简单 ,从而为问题的顺利解决提供了方便 .【例 1】　如图 ,三棱锥P -ABC中 ,已知PA⊥BC ,PA=BC =l,PA、BC的公垂线段DE =h .求三棱锥P-ABC的体积 .( 87年高考理 )分析 :直接考虑会因条件用不上感到束手无策 .如考虑过DE、BC的平面分割三棱锥P -ABC为两个三棱锥P -BCD和A-BCD .则问题简捷解出 .解 :∵PA⊥BC ,PA⊥DE ,∴PA⊥面BCD .∴VP-BCD =13 ·S△BDC·PD= 13 ·12 ·l·h·PD VA-BCD =13 ·S△BCD·AD= 13 ·12 ·l·h…     

由高考试题引出的一个体积公式

87年高考试卷理工类第四题是: 如图,三棱锥P-ABC中,已知PA(?)BC,PA=BC=l,PA、BC的公垂线ED=h,求证三棱锥P-ABC的体积V=1/6b~2h这是一道由已知三棱锥的一组对棱的长以及它们的相对位置(所成的角和距离)计算其体积的问题。如果使问题一般化,即令对棱PA、BC所成角为α,则有下列关于三棱锥体积的一个定理。定理三棱锥的一组对棱长分别为a、b,它们的距离和所成的角分别为h、a,则三棱锥体积V=1/6abhsinα。     

探究正四面体的中心

一正四面体的棱长为a,它的内切球和外接球体积各为多少？问题是数学的灵魂,解决这个问题的关键是找到正四面体的中心所在．只要找到中心,就容易求内切球和外接球的半径,进而求出体积．下面探究四面体的中心位置．     

长方体同心球的几条性质

《数学通报》数学问题1813是: 正方体内切球的半径为R,P为球上任一点,P到正方体各面的距离分别为PNi(i=1,2,…,6).证明:∑6i=1PN2i=8R2,∑6i=1PN3i=12R3. 此题凸显了长方体同心球的一些性质. 所谓长方体的同心球,是指球心在长方体中心的球,长方体的外接球是它的特例,当长方体正好是正方体时,其内切球也是它的同心球.     

外接球、内切球球心重合的四面体是正四面体吗？

外接球、内切球球心重合的四面体是正四面体吗？４４３０００宜昌师专数学系９３２１班丁评虎以前，我一直认为，外接球、内切球球心重合的四面体是正四面体．后来，仔细研究这一问题时，我吃惊的发现上述结论竞是错误的．定理四面体外接球、内切球球心重合的充要条件是四...     

探寻四面体外接球球心位置

如何处理多面体的外接球的问题？关键在于确定球心,由球心的位置求出半径,从而解决其他问题．由于空间不共面的四个定点确定唯一的球面,对于任何多面体的外接球面的问题,都可以先选定四个顶点确定其外接球球心,求出半径,再解决与其他顶点相关的问题．     

对棱相等三棱锥例说

在三棱锥中 ,如果三组对棱分别相等 ,我们通常把这样的三棱锥称为对棱相等三棱锥 .在长方体中以不相邻四个顶点为顶点所成的三棱锥就是一个对棱相等三棱锥 .受此启发 ,我们常构造长方体来解答与对棱相等三棱锥有关的问题 .例 1　如图 1 ,三棱锥 A - BCD中 ,AB=CD =a,AC =BD =b,AD =BC =c,求异面直线 AB与 CD所成角的大小 .解　如图 2 ,构造长方体 ,使三棱锥 A -BCD的对棱分别为长方体相对面的对角线 .∵　 A′ B′∥ CD,∴　 AB与 A′ B′所成角即为 AB与 CD所成角 .图 1　　　　　　图 2设长方体的三条棱 AC′、AB′、AA…     

两道2012年全国课标卷理科选择题的解析

2012年高考全国课标卷理科选择题的第11、12题难度较大,本文谈谈这两道试题的解析和警示.题目1(2012年全国课标卷11题)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为()     

例谈棱柱与棱锥外接球球心的确定

球是高中数学中的重要内容之一,在历年高考题中,有关简单空间几何体的外接球问题屡见不鲜.解决这类问题的关键是球心的确定,此时应紧抓一个关键点:球心到各顶点距离都相等,下面仅就棱柱与棱锥的外接球问题浅谈如何确定简单空间几何体外接球的球心.