看似无圆 实则有圆

<正>有一类题目条件中没有直接给出圆的相关信息,需要通过对条件进行表征而得出一个圆(或圆的方程),从而最终可以用圆的知识来解决,这类问题我们把它称为"隐形圆"问题.如何发现隐形圆(或圆的方程)是解决这类问题的关键,针对此类问题,让学生熟悉生成"隐形圆"的一些常见条件,对迅速找到解题的突破口是很有帮助的.本文通过剖析近年来的一些高考题和模拟题,谈谈发现"隐形圆"的常用策略,期望对读者有所启发和帮助.     

看似无圆实有圆的一类最值问题

<正>初中阶段,几何最值问题是比较难的一类题型,属于中考常考题型,往往很难入手,但是有时候如果加入圆的元素后,难度将会大大降低.就像一座很难攻破的城池,加入强力武器后,瞬间便可瓦解,下面举例说明.例1如图1,Rt△ABC中,AB丄BC,AB=8,BC=3,P是△ABC内部的一个动点,且满足∠APB=90°,则线段CP长的最小值为____.     

一类连比几何题的解

DO一OE筋一货 本文应用几何一定理对一类连化题进行求解。 一、定理如图!,在△A配中,E和F分别是淞和AB(或其延长线)上的点,刀百交俘 力F打FL’(了=丽一万’丽~一碑,C召CA于0,求证:(l)若 刀尸 F’A 注百=’”,丽一“,了仿十从,“十l月C一飞牙一~-「~二丽‘。二刀O则下1;=,拄(I ,已); U口(2)若 C召 召乃 月了,二1n,而~”,故豁-同理可证二、应用,,‘:书一,“(l ,:). 矛之十IC(少丁下二二In(!十r己).t沪户则器一。(1 。).图l 证明过E作那//A刀交cF于G,则易证△召口口叻△肠欣,,△亡召口叻△口通尸. 例1已知在△A淤中,E、F为衅三等…     

构造辅助圆 巧解几何题

在解几何问题时,常会遇到一些用常规方法很难解决的问题．这时,如果构造适当的图形来给以辅助,往往能促使问题转化,从而简捷地解决问题．对于有些求角度、求线段长度、证线段相等问题,可以根据问题的题设或结论或图形中某些与圆的性质相似的信息,构造出与题目相关的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决．这种方法利用数形结合,使代数与几何等知识相互渗透,综合应用,它不但能较好的达到解题的目的,还有利于培养学生分析问题的能力．     

巧用圆的定义解几何题

理解和掌握概念,是学好数学的重要环节之一.圆的定义就是一个很好的例子.当题目的条件中给出了有公共端点的等长线段时,巧用圆的定义,以公共端点为圆心,以等长线段为半径作圆便可解决一类几何题.这样做不仅可以加深对概念的理解和掌握,提高运用概念分析、解决问题的能力,而且可以开阔分析问题的思路简化解题过程.举例如下:     

一类有趣的几何连比题

应用九年义务教材初中《几何》第二册第 2 5 5页第1 7题“过△ＡＢＣ的顶点Ｃ任作一直线 ,与边ＡＢ及中线ＡＤ分别交于点Ｆ和Ｅ ,求证 :ＡＥ∶ＥＤ =2ＡＦ∶ＦＢ”(图 1 ,图 2 )可巧解一类有趣的几何连比问题例 1　如图 3 ,△ＡＢＣ中 ,ＡＤ是中线 ,Ｅ在ＡＣ上 ,Ｆ在ＡＢ上 ,且ＡＥ∶ＥＣ =5∶4,ＡＦ∶ＦＢ =2∶3 .又ＣＦ ,ＢＥ分别交ＡＤ于Ｇ ,Ｈ ,则ＡＧ∶ＧＨ∶ＨＤ =.解 :设ＡＧ =ｘ ,ＧＨ =ｙ,ＨＤ =ｚ ,则由课本习题结论得　ｘｙ +ｚ=2ＡＦＦＢ =2× 23 =43 ,ｘ +ｙｚ =2ＡＥＥＣ =2× 54=52 .化简得 3ｘ -4ｙ =4ｚ ,2ｘ +2 ｙ =5ｚ .…     

一类有趣的几何题及其解法

在近几年来的数学竞赛中,经常可以见到已知某一多边形的各个内角都相等的一类几 120°,何题,它们的解法大体是一致的,就是根据各内角相等添加辅助线,使其成为一个特殊的几何图形(如正三角形、正方形、矩形等),以便利用这些特殊的图形的性质,使问题顺利地得到解决,下面举数例予以说明。例1 (1988年上海市初二数学竞赛题)一个六边形的六个内角都是120°,连续四边的长依次是1、3、3、2,求此六边形的周长。解如图1,AB、BC、CD、DE的长分别是1、3、3、2,双向延长AF、ED、BC得△GHI。∵六边形ABCDEF的每一内角都是120°。∴这个六边形的每个外角都是60°。∴△AGB、△FHE、△CDI都是正三角形,从而△GHI也是正三角形。设EF=x,AF=y,由CH=HI=GI,得     

一类有几何背景的条件方程组

文中,谈及利用图形构造性解法解决一类条件方程组的问题,文中选取的第二届全国数学奥林匹克集训考试试题如下：     

一道关于圆的几何题的多解

<正>例已知△ABC内接于⊙O,(1)如图1,AD⊥BC,证明∠BAD=∠OAC;(2)运用(1)结论,如图2,H为△ABC的垂心,若∠ABC的平分线BE⊥HO,交⊙O于E,⊙O的半径为10,求弦AC的长.(1)证明如图1,延长AO交⊙O于K,连接CK.∵AK为⊙O直径,AD⊥BC,∴∠BDA=∠KCA=90°.又∠B=∠K,由三角形内角和知∠BAD=∠OAC.对于第二问,提供以下四种解题思路.思路1构造等边三角形(2)解如图3,连接BH,BO,连CH并延长交AB于G,交⊙O于F,连接BF,作直     

看似不同却相同 同构函数蕴其中

<正>同构函数的思想是指,当一个方程或不等式左右两边结构形式相同时,用同一个函数来描述问题的思想方法.如何发现同构函数并运用同构函数呢?这要同学们多观察题目所给式子的结构来选择恰当方法.1参数分离直接构造法例1 (2020年全国Ⅱ卷11题)若2^x-2x-2^y<3y<3^(-x)-3(-x)-3^(-y),则().(A)ln(y-x+1)>0(B)ln(y-x+1)<0(C)ln|x-y|>0(D)ln|x-y|<0     

一类无完整解数列题剖析

[题目]设数列{a_n}的前n项之和S_n,a_1=1且a_m~2+1=S_(n+1)+S_n(n∈N),求数列{a_n}的通项公式。(摘自新江《中学教研》1992年第七期《培养学生观察能力浅见》一文) 此题常见解法是: ∵a_(n+1)~2-a+_n~2=S_(n+1)-S_(n-1)=a_(n+1)+a_n (1) a_(n+1)~2-a_n~2=(a_(n+1)-a_n)(a_(n+1)+a_n) (2) 由(1)、(2)得:a_(n+1)-a_n=1 (3) 或a_(n+1)+a_n=0 (4) ∴数列{a_n}是公差为1的等差数列或公比为-1的等比数列。故a_n=a_1+(n-1)·1=n 或a_n=a_1(-1)~(n-1)=(-1)~(n-1) 此解法似无懈可击。现有一个不同于其解答的数列{b_m}:1、2、3、-3、-2、-1、1、-1、0、1、-1、…(其中当m≥10时,b_n=(-1)~n)也满足题设条件a_1=1和     

一对几何定理的证明与一类趣题

<正>本文拟证明一对几何定理,并运用其证明一类有趣的几何问题.1.定理及证明定理1如图1,⊙O1与⊙O2内切于点P,过⊙O1上的点A作⊙O2的切点AB,切线为B,设⊙O1与⊙O2的半径分别为R与r,则有AP=     

运用直线与圆位置关系研究一类几何最值问题

<正>最值问题是几何综合题中的常见问题,近年来在中考数学中难度有一定程度的降低,可是很多同学仍不得要领,其实几何最值往往可以归结到两个基本原理上,一是两点之间线段最短,比如求两条线段长度和的最小值时的"将军饮马"模型;二是垂线段最短,本文将借助于直线与圆位置关系使用此原理.     

赛题中圆与圆

<正>圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情形;为了沟通两圆,常常添加与两圆都有联系的一些线段,如公共弦、公切线、连心线,以及两圆公共部分相关的角和线段,这是解圆与圆位置关系问题的常用辅助线.1只有两个圆(或弧)的情况例1(希望杯邀请赛试题)如图1,在边长为1的正方形ABCD中,以A为圆心,AB为半径的弧与以DC为直径的半圆交于点E,连接DE并延长     

由课本题引申出的一类几何极值问题及求解策略

在实际教学中,笔者发现有一类几何极值问题成为初中数学教学的难点,由于它涉及的知识点较多,学生思维起步较困难,许多学生认为它很神秘.其实这类问题正是由一道课本习题引申出来的.笔者从这道课本题开始,论述这类几何极值问题及其求解策略,帮助教师和学生化解这一教学难点,提升学生运用数学模型的学科核心素养.     

关于一类几何极值问题

设平面上边长为１和２的闭矩形区域为Ｒ，Ｓ是Ｒ上一个有限点集，ｆ（Ｓ）是Ｓ中任意两点之间的最小距离，ｆＲ（ｎ）＝ｍａｘｆ（Ｓ），本文给出了当２≤ｎ≤６时，ｆＲ（ｎ）的精确值以及相应的图形．     

从一道高考题谈一类动圆过定点问题的几何背景

解析几何中的定点问题一直是高考的一个热点问题,笔者最近在研究高考试题时发现2008年江苏卷第18题的动圆过定点问题很有趣,深入研究后发现其命制背景甚为简洁,本文通过该题来谈谈此类动圆过定点问题的几何背景．     

剖析一道几何题

本文根据"平行线"的特点,利用同底等高的两个三角形面积相等的性质,巧作辅助线,方法巧妙,供欣赏.     

跷跷板中的几何题

王娟和张丽正在玩跷跷板,她们玩得真高兴(图1).这时她们的数学老师刘老师走过来,观察一会儿说:这个跷跷板中有一个几何问题昵.图1王娟和张丽数学成绩在班里都是名列前茅的,听说有几何题,急忙问:什么题啊?刘老师在他的备课本上一边画一边说出了下面的几何题.